高中数学 第1部分 第2章 2.4 第一课时 向量数量积的概念及运算律课件 苏教版必修4.ppt

应用创新演练 第2章平面向量 2 4向量的数量积 理解教材新知 把握热点考向 考点一 考点二 考点三 第一课时向量数量积的概念及运算律 知识点一 知识点二 知识点三 问题 一个物体在力f的作用下位移为s 则力f所做功w f s cos 为f和位移s的夹角 试想功w是力f和位移s的乘积吗 提示 不是 1 数量积的定义已知两非零向量a与b 它们的夹角为 则把数量叫做a与b的 或 记作 即a b 2 规定零向量与任一向量的数量积为 数量积 内积 0 a b a b cos a b cos 如图 abc为等边三角形 问题1 向量与向量的夹角的大小是多少 提示 60 问题2 向量与向量的夹角的大小是多少 提示 120 0 同向 反向 垂直 a b 已知向量a和b都是非零向量 为a与b的夹角 问题1 若 90 求a b 若a b 0 求 提示 若 90 则a b a b cos90 0 若a b 0 则 a b cos 0 cos 0 又 0 180 90 问题2 若 0 求a b 若 180 求a b 提示 若 0 则a b a b cos0 a b 若 180 则a b a b cos180 a b a b a b b a b a b a c b c 1 两个向量的数量积是一个数量 而不是向量 其大小与两个向量的长度及其夹角都有关 符号由夹角的余弦值的符号决定 2 向量数量积的几何意义 是一个向量的长度乘以另一向量在该向量方向上的投影值 这个投影值可正可负也可以为零 向量的数量积的结果是一个实数 3 数量积的运算只适合交换律 加乘分配律及数乘结合律 但不适合乘法结合律 即 a b c a b c 这是因为a b b c都是实数 a b c与向量c方向相同或相反 a b c 与向量a方向相同或相反 而a与c不一定共线 就是a与c共线 a b c与a b c 也不一定相等 例1 已知 a 6 b 4 a与b的夹角为60 求 a 2b a 3b 思路点拨 根据向量数量积的性质及运算律 用 a b 以及a b表示 a 2b a 3b 即可求解 精解详析 a 2b a 3b a a 3a b 2b a 6b2 a2 a b 6b2 a 2 a b cos60 6 b 2 62 6 4 cos60 6 42 36 12 96 72 一点通 求平面向量的数量积时 常用到以下结论 1 a2 a 2 2 xa yb mc nd xma c xna d ymb c ynb d 其中x y m n r 类似于多项式的乘法法则 3 a b 2 a2 2a b b2 4 a b c 2 a2 b2 c2 2a b 2b c 2a c 1 若 a 4 b 6 a与b的夹角为135 则a b 答案 16 一点通 关系式a2 a 2可使向量的长度与向量数量积互相转化 利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用 要掌握此类问题的处理方法 特别注意不要忘记开方 4 已知向量a b满足a b 0 a 1 b 2 则 2a b 6 已知向量a b满足 a 2 b 3 a b 4 求 a b 7 已知 a 1 b 6 a b a 2 则向量a与向量b的夹角为 8 若 a 1 b 2 c a b 且c a 则向量a与向量b的夹角 为 答案 120 9 已知单位向量e1 e2的夹角为60 求向量a e1 e2 b e