高考数学一轮总复习 第八章 第7节 曲线与方程课件.ppt

第八章平面解析几何 第7节曲线与方程 1 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 2 了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法 3 能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程 要点梳理 1 曲线与方程在平面直角坐标系中 如果曲线c与方程f x y 0之间具有如下关系 1 曲线c上点的坐标都是 2 以方程f x y 0的解为坐标的点都 那么这个方程叫做 这条曲线叫做 方程f x y 0的解 在曲线c上 曲线的方程 方程的曲线 2 求动点的轨迹方程的一般步骤 1 建系 建立适当的坐标系 2 设点 设轨迹上的任一点p x y 3 列式 列出动点p所满足的关系式 4 代换 依条件式的特点 选用距离公式 斜率公式等将其转化为x y的方程式 并化简 5 证明 证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程 3 两曲线的交点 1 由曲线方程的定义可知 两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解 即两个曲线方程组成的方程组的实数解 反过来 方程组有几组解 两条曲线就有几个交点 方程组无解 两条曲线就没有交点 2 两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解 可见 求曲线的交点问题 就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题 解析 由题意知 m为pq中点 设q x y 则p为 2 x 4 y 代入2x y 3 0得2x y 5 0 答案 d 解析 如图所示 设三个切点分别为m n q pf1 pf2 pf1 pm f2n f1n f2n f1f2 2 f2n 2a f2n a c n点是椭圆的右顶点 cn x轴 圆心c的轨迹为直线 答案 d 4 已知点a 2 0 b 3 0 动点p x y 满足 x2 6 则点p的轨迹方程是 5 已知m 2 0 n 2 0 则以mn为斜边的直角三角形的直角顶点p的轨迹方程是 解析 设p x y 因为 mpn为直角三角形 mp 2 np 2 mn 2 x 2 2 y2 x 2 2 y2 16 整理得 x2 y2 4 m n p不共线 x 2 轨迹方程为x2 y2 4 x 2 答案 x2 y2 4 x 2 拓展提高 1 用直接法求轨迹方程的步骤 建系 设点 列方程化简 其关键是根据条件列出方程来 2 求轨迹方程时 最后要注意它的完备性与纯粹性 多余的点要去掉 遗漏的点要补上 活学活用1如图所示 过点p 2 4 作互相垂直的直线l1 l2 若l1交x轴于a l2交y轴于b 求线段ab中点m的轨迹方程 考向二定义法求轨迹方程例2已知两个定圆o1和o2 它们的半径分别是1和2 且 o1o2 4 动圆m与圆o1内切 又与圆o2外切 建立适当的坐标系 求动圆圆心m的轨迹方程 并说明轨迹是何种曲线 思路点拨利用两圆内 外切的充要条件找出点m满足的几何条件 结合双曲线的定义求解 解 如图所示 以o1o2的中点o为原点 o1o2所在直线为x轴建立平面直角坐标系 由 o1o2 4 得o1 2 0 o2 2 0 设动圆m的半径为r 则由动圆m与圆o1内切 有 mo1 r 1 拓展提高求曲线的轨迹方程时 应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型 从而再用待定系数法求出轨迹的方程 这样可以减少运算量 提高解题速度与质量 提醒 弄清各种常见曲线的定义是用定义法求轨迹方程的关键 活学活用2如图 点a为圆形纸片内不同于圆心c的定点 动点m在圆周上 将纸片折起 使点m与点a重合 设折痕m交线段cm于点n 现将圆形纸片放在平面直角坐标系xoy中 设圆c x 1 2 y2 4a2 a 1 a 1 0 记点n的轨迹为曲线e 思想方法18利用参数法求轨迹方程典例已知抛物线y2 4px p 0 o为顶点 a b为抛物线上的两动点 且满足oa ob 如果om ab于m点 则点m的轨迹为 审题视角 1 点m的运动是由a点的运动引起的 而a的变动又和oa的斜率有关 2 若oa的斜率确定 a的坐标确定 m的坐标也确定 所以可选oa的斜率为参数 解析 设点m的坐标为 x y 直线oa的方程为y kx 可知m点的坐标同时满足 由 及 消去k得4px x2 y2 即 x 2p 2 y2 4p2 x 0 当k 1时 容易验证m点的坐标仍适合上述方程 故点m的轨迹方程为 x 2p 2 y2 4p2 x 0 其轨迹是以点 2p 0 为圆心 以2p为半径的圆 答案 以点 2p 0 为圆心 以2p为半径的圆 方法点睛 1 本题通过引入参数 用参数法求解较为简捷 但很多考生找不到破解问题的切入口 无从入手 2 个别考生由于参数选取不恰当 造成计算繁杂冗长 难以求出最终结论 3 应用参数法求轨迹方程时 首先要选择恰当的参数 参数必须能刻画动点的运动变化 而且与动点坐标有直接的内在联系 如果需要 还应顾及消去参数的方便 选定参数之后 即可当作已知数 运用轨迹条件 求出动点的坐标 即得轨迹的参数方程 消去参数即得轨迹的普通方程 解析 直线l过点m 0 1 当斜率存在时 设其斜率为k 则l的方程为y kx 1 设a x1 y1 b x2 y2 由题设可得点a b的坐标 x1 y1 x2 y2 是方程组 思维升华 方法与技巧 求轨迹的方法 1 直接法 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量 如距离与角 的等量关系 或这些几何条件简单明了且易于表达 我们只需把这种关系转化为x y的等式就得到曲线的轨迹方程 2 定义法 其动点的轨迹符合某一基本轨迹 如直线或圆锥曲线 的定义 则可根据定义采用设方程 求方程系数得到动点的轨迹方程 3 代入法 相关点法 当所求动点m是随着另一动点p 称之为相关点 而运动 如果相关点p所满足某一曲线方程 这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标 再把相关点代入曲线方程 就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程 这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法 失误与