高中数学 第一章 §4 数学归纳法课件 北师大版选修22.ppt

第一章 4 理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练 考点一 考点二 考点三 在学校 我们经常会看到这样一种现象 排成一排的自行车 如果一个同学不小心将第一辆自行车弄倒了 那么整排自行车就会倒下 问题1 试想要使整排自行车倒下 需要具备哪几个条件 提示 1 第一辆自行车倒下 2 任意相邻的两辆自行车 前一辆倒下一定导致后一辆倒下 问题2 这种现象对你有何启发 提示 这种现象使我们想到一些与正整数n有关的数学问题 数学归纳法及其基本步骤 数学归纳法是用来证明某些与有关的数学命题的一种方法 它的基本步骤是 1 验证 时 命题成立 2 在假设当时命题成立的前提下 推出当时 命题成立 根据 1 2 可以断定命题对一切正整数n都成立 正整数n n 1 n k k 1 n k 1 1 数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题的证明 2 应用数学归纳法时应注意 1 验证是证明的基础 递推是证明的关键 二者缺一不可 2 在证明n k 1命题成立时 必须使用归纳假设的结论 否则就不是数学归纳法 思路点拨 运用数学归纳法由n k到n k 1 等式左边增加了两项 结合等式右边的结构特点 进一步确定所需要的项及多余项 最后凑成所需要的结构形式即可 一点通 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题 关键在于 看项 弄清等式两边的构成规律 等式的两边各有多少项 项的多少与n的取值是否有关 由n k到n k 1时 等式两边会增加多少项 增加了怎样的项 1 用数学归纳法证明 1 4 2 7 3 10 n 3n 1 n n 1 2 其中n n 证明 当n 1时 左边 1 4 4 右边 1 22 4 左边 右边 等式成立 假设当n k k n 时等式成立 即1 4 2 7 3 10 k 3k 1 k k 1 2 那么 当n k 1时 1 4 2 7 3 10 k 3k 1 k 1 3 k 1 1 k k 1 2 k 1 3 k 1 1 k 1 k2 4k 4 k 1 k 1 1 2 即当n k 1时等式也成立 根据 和 可知等式对任何n n 都成立 2 证明12 22 32 42 2n 1 2 2n 2 n 2n 1 证明 当n 1时 左边 12 22 3 右边 1 2 1 1 3 左边 右边 等式成立 假设当n k k 1 时等式成立 即12 22 32 42 2k 1 2 2k 2 k 2k 1 成立 则当n k 1时 左边 12 22 32 42 2k 1 2 2k 2 2 k 1 1 2 2 k 1 2 k 2k 1 2k 1 2 2k 2 2 2k 1 k 1 4 k 1 2 k 1 2k 1 4 k 1 k 1 2k 3 k 1 2 k 1 1 当n k 1时等式成立 由 可知对于任意正整数n 等式都成立 思路点拨 在由n k到n k 1的推证过程中可考虑使用 放缩法 使问题简单化 这是利用数学归纳法证明不等式的常用方法之一 一点通 对于与正整数有关的不等式的证明 如果用其他方法比较困难 此时可考虑使用数学归纳法证明 使用数学归纳法的难点在第二个步骤上 这时除了一定要运用归纳假设外 还要较多地运用不等式证明的其他方法 对所要证明的不等式加以变形 寻求其与归纳假设相联系的突破口 3 若n n 且n 5 求证2n n2 证明 当n 5时 25 52 不等式成立 假设n k k 5 k n 时 2k k2 则当n k 1时 2k 1 2 2k 2k 2k k2 k2 k2 2k 1 k 1 2 即n k 1时不等式成立 由 知 当n n 且n 5时 不等式2n n2成立 4 用数学归纳法证明 当n n 时 1 22 32 nn n 1 n 证明 当n 1时 左边 1 右边 2 1 2 不等式成立 假设当n k k n 时不等式成立 即1 22 33 kk k 1 k 那么 当n k 1时 左边 12 22 33 kk k 1 k 1 k 1 k k 1 k 1 k 1 k k 2 k 2 k 1 k 1 1 k 1 右边 即左边 右边 即当n k 1时不等式也成立 根据 和 可知不等式对任意n n 都成立 一点通 观察 归纳 猜想 证明 模式的题目的解法 观察 由已知条件写出前几项 归纳 根据前几项的规律 找到项与项数的关系 猜想 猜想一般项的表达式 证明 用数学归纳法证明猜想的结论 解 1 a2 s1 a1 5 a3 s2 a1 a2 10 a4 s3 a1 a2 a3 5 5 10 20 猜想an 5 2n 2 n 2 n n 2 证明 当n 2时 a2 5 22 2 5 猜想成立 假设n k时成立 即ak 5 2k 2 k 2 k n 当n k 1时 由已知条件和假设有 6 平面内有n n 2 个圆 其中每两个圆都相交于两点 并且每三个圆都不相交于同一点 记这n个圆的交点个数为f n 猜想f n 的表达式 并用数学归纳法证明 解 n 2时 f 2 2 1 2 n 3时 f 3 2 4 6 2 3 n 4时 f 4 6 6 12 3 4 n 5时 f 5 12 8 20 4 5 猜想f n n n 1 n 2 证明 当n 2时 f 2 2 2 2 1 猜想成立 假设当n k k 2 时猜想成立 即f k k k 1 则n k 1时 其中圆o与其余k个圆各有两个交点 而由假设知这k个圆有f k 个交点 所以这k 1个圆的交点个数f k 1 f k 2k k k 1 2k k2 k k 1 k 1 1 即n k 1时猜想成立 由 知 f n n n 1 n 2 运用数学归