高中数学 4.2 实际问题的函数建模课件 北师大版必修1.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 必修1 函数应用 第四章 2实际问题的函数建模 第四章 课前自主预习 课堂典例讲练 易错疑难辨析 课后强化作业 某商场销售一批名牌衬衫 平均每天可售出20件 每件盈利40元 为了扩大销售 增加盈利 尽快减少库存 商场决定采取适当降价措施 经调查发现 如果每件衬衫每降价1元 商场平均每天多售出2件 于是商场经理决定每件衬衫降阶15元 那么经理的决定正确吗 这需要把实际问题转化为数学问题用函数模型来解决 情境引入导学 1 用数学思想 方法 知识解决实际问题的过程叫作 用图示表示数学建模的过程如图所示 知能自主梳理 数学建模 2 常见函数模型 kx b k 0 k 0 ax2 bx c 1 一辆汽车的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示 那么图像所对应的函数模型是 a 一次函数模型b 二次函数模型c 指数函数模型d 对数函数模型 答案 a 解析 由图像是一条射线知其所对应的函数模型是一次函数模型 预习效果展示 2 某研究小组在一项实验中获得一组数据 将其整理得到如图所示的散点图 下列函数中 最能近似刻画y与t之间关系的是 a y 2tb y 2t2c y t3d y log2t 答案 d 解析 把点的坐标代入检验可知 只有d正确 3 在一次数学实验中 采集到如下一组数据 答案 b 解析 散点图如图所示 由散点图可知 此函数图像不是直线 排除a 此函数图像是上升的 是增函数 排除c d 故选b 5 据某校环保小组调查 某区垃圾量的年增长率为b 2010年产生的垃圾量为a吨 由此预测该区2015年的垃圾量应为 吨 答案 a 1 b 5 解析 下一年的垃圾量为a 1 b 吨 从2010年开始经过5年到2015年时该区的垃圾量应为a 1 b 5吨 为了发展电信事业方便用户 电信公司对移动电话采用不同的收费方式 其中所使用的 如意卡 与 便民卡 在某市范围内每月 30天 的通话时间x 分 与通话费y 元 的关系如图所示 一次函数模型的应用 1 分别求出通话费y1 y2与通话时间x之间的函数解析式 2 请帮助用户计算 在一个月内使用哪种卡便宜 思路分析 利用待定系数法求y1 y2与x的函数关系 然后比较y1与y2的大小 确定答案 规律总结 1 一次函数模型层次性不高 求解也较为容易 一般情况下可以用 问什么 设什么 列什么 这一方法来处理 2 这是一个一次函数在实际问题中的应用的题目 认真读题 审题 弄清题意 明确题目中的数量关系 可充分借助图像 表格信息确定解析式 同时要特别注意定义域 某报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0 35元 卖出的价格是每份0 50元 卖不掉的报纸还可以每份0 08元的价格退回报社 在一个月 30天 里 有20天每天可卖出400份 其余10天每天只能卖出250份 设每天从报社买进的报纸的数量相同 则应该每天从报社买进多少份 才能使每月所获得的利润最大 并计算该销售点一个月最多可赚得多少元 分析 每月所赚得的钱 卖报收入的总价 付给报社的总价 而收入的总数分为3部分 1 在可卖出400份的20天里 收入为0 5x 20 2 在可卖出250份的10天里 在x份报纸中 有250份报纸可卖出 收入为0 5 250 10 3 没有卖掉的 x 250 份报纸可退回报社 报社付出 x 250 0 08 10的钱 注意写出函数式的定义域 解析 设每天应从报社买x份 易知250 x 400 设每月赚y元 得y 0 5 x 20 0 5 250 10 x 250 0 08 10 0 35 x 30 0 3x 1050 x 250 400 因为y 0 3x 1050是定义域上的增函数 所以当x 400时 ymax 120 1050 1170 元 可知每天应从报社买400份报纸 获得利润最大 每月可赚1170元 二次函数模型应用 某租赁公司拥有汽车100辆 当每辆车的月租金为3000元时 可全部租出 当每辆车的月租金每增加50元时 未租出的车将会增加一辆 租出的车每辆每月需要维护费150元 未租出的车每辆每月需要维护费50元 1 当每辆车的月租金定为3600元时 能租出多少辆车 2 当每辆车的月租金定为多少元时 租赁公司的月收益最大 最大月收益是多少元 思路分析 1 月租金增加时 未租出的车辆数也随之增加 只需求出现在有多少辆车未租出 就可求出能租出多少辆车 2 公司的月收益 租出的车辆数 租金 租出车辆的维护费 未租出的车辆数 未租出的车辆维护费 规律总结 1 思维方法是依月收入来建立函数解析式 同时要活用配方法 本题主要考查应用函数知识解答实际问题的能力 这恰恰体现了 以能力立意 的命题指导思想 应用题型正是近几年的高考热点和重点题型 2 在函数模型中 二次函数模型占有重要的地位 因为根据实际问题建立函数解析式后 可利用配方法 判别式法 换元法 函数的单调性等方法来求函数的最值 从而解决实际问题中的最大 最小等问题 某桶装水经营部每天房租 工作人员工资等固定成本为200元 每桶水进价为5元 销售单价与日销售量的关系如下表 请根据以上数据作出分析 这个经营部怎样定价才能获得最大利润 最大利润是多少 分析 解答本题可先分析表格 从中找到单价每增加1元 则日销量就减少40桶 然后设出有关未知量 建立函数模型 进而解决问题 解析 设每桶水在原来的基础上上涨x元 利润为y元 由表格中的数据可以得到 价格每上涨1元 日销售量就减少40桶 所以涨价x元后 日销售的桶数为 指数函数型模型的应用 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防 将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验 经检测 病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表 已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候 小白鼠将会死亡 如注射某种药物 可杀死其体内该病毒细胞的98 思路分析 根据题意 建立病毒细胞个数y与时间t的函数关系y 2t 1 然后利用不等式求解 规范解答 1 由题意知 病毒细胞的个数关于时间t的函数为y 2t 1 则由2t 1 108两边取对数得 t 1 lg2 8 得t 27 6 即第一次最迟应在第27天注射该种药物 规律总结 随着新课标的逐渐铺开 如计算器的广泛使用 以往对于指数运算的困难便已不再是困难 换句话说 指数函数的应用型问题将可以堂而皇之地进入到各级各类考试中 就本题而言 难度并不大 在读懂题意的基础上 只需要最基本的归纳推理能力和观察能力 便能发现病毒细胞个数关于时间的函数关系式 在此基础上问题的解决只是计算上的问题了 对于a年成材的树木 在此期间的年生长率为a 以后的年生长率则为b a b 树木成材后 即可以出售树木 重新栽新苗 也可以让其继续生长 1 哪一种方案可获得较大的木材量 2 对于5年成材的树木 哪种方案可获得较大的木材量 对数函数模型的应用 1 求 长征 二号f型火箭的最大飞行速度y km s 与燃料质量x t 之间的函数关系式y f x 2 已知 长征 二号f型火箭的起飞质量是479 8t 则应装载多少吨燃料 精确到0 1t 才能使火箭的最大飞行速度达到8km s 顺利地把飞船发送到预定的椭圆轨道上 思路分析 根据题意直接求解 规律总结 本题第 1 问是通过已知条件求出函数的解析式 第 2 问是利用函数的解析式解决实际问题 在这两个问题的解答中都用到了方程的思想 注意m的取值 需用火箭的起飞质量减去燃料的质量 20世纪30年代 查尔斯 里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度 就是使用测震仪衡量地震能量的等级 地震能量越大 测震仪记录的地震曲线的振幅就越大 这就是我们常说的里氏震级m 其计算公式为m lga lga0 其中 a是被测地震的最大振幅 a0是 标准地震 的振幅 使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差 1 假设在一次地震中 一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20 此时标准地震的振幅是0 001 计算这次地震的震级 精确到0 1 2 5级地震给人震感已比较明显 计算8级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍 某工厂今年前五个月每月生产某种产品的总量c 件 关于时间t 月 的函数图像如图所示 下列说法正确的是 a 1月至3月每月生产总量逐月增加 4 5两月生产总量逐月减少b 1月至3月生产总量逐月增加 4 5两月生产总量与3月持平c 1月至3月每月生产总量逐月增加 4 5两月均停止生产d 1月至3月每月生产总量不变 4 5两月均停止生产 错解 c 辨析 对4 5月份的图像含义不明确 误以为这两个月停产 正解 b观察图像可知 该厂生产这种产品 1月份生产总量是c1 2月份生