2018_2019学年高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理练习新人教A版.docx

2.1.1 合情推理 A基础达标1.给出下列三个类比结论：类比axayaxy，则有axayaxy；类比loga（xy）logaxlogay，则有sin（）sin sin ；类比（ab）ca（bc），则有（xy）zx（yz）.其中结论正确的个数是（）A.0 B.1C.2 D.3解析：选C.根据指数的运算法则知axayaxy，故正确；根据三角函数的运算法则知：sin（）sin sin ，不正确；根据乘法结合律知：（xy）zx（yz），正确.2.观察：（x2）2x，（x4）4x3，（cos x）sin x，由归纳推理可得：若定义域在R上的函数f（x）满足f（x）f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（x）等于（）A.f（x） B.f（x）C.g（x） D.g（x）解析：选D.通过观察可归纳推理出一般结论：若f（x）为偶函数，则导函数g（x）为奇函数.故选D.3.已知数列：1，aa2，a2a3a4，a3a4a5a6，则该数列的第k（kN*）项为（）A.akak1a2kB.ak1aka2k1C.ak1aka2kD.ak1aka2k2解析：选D.由已知数列的前4项归纳可得，该数列的第k项是从以1为首项，a为公比的等比数列的第k项ak1开始的连续k项的和，故该数列的第k项为ak1aka2k2.4.观察下列各式：112，23432，3456752，4567891072，可以得出的一般结论是（）A.n（n1）（n2）（3n2）n2B.n（n1）（n2）（3n2）（2n1）2C.n（n1）（n2）（3n1）n2D.n（n1）（n2）（3n1）（2n1）2解析：选B.可以发现：第一个式子的第一个数是1，第二个式子的第一个数是2，故第n个式子的第一个数是n；第一个式子中有1个数相加，第二个式子中有3个数相加，故第n个式子中有2n1个数相加；第一个式子的结果是1的平方，第二个式子的结果是3的平方，故第n个式子应该是2n1的平方，故可以得到n（n1）（n2）（3n2）（2n1）2.5.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算的，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种，如图，当表示一个多位数时，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，遇零则置空.例如6 613用算筹表示就是，则8 335用算筹可表示为（）A. B.C. D.解析：选B.由题意，知8 335用算筹可表示为.6.我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是.解析：平面图形与立体图形的类比：周长表面积，正方形正方体，面积体积，矩形长方体，圆球.答案：表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大7.根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有个点.解析：观察图形的变化规律可得：图（2）从中心点向两边各增加1个点，图（3）从中心点向三边各增加2个点，图（4）从中心点向四边各增加3个点，如此，第n个图从中心点向n边各增加（n1）个点，易得答案：1n（n1）n2n1.答案：n2n18.将全体正整数排成一个三角形数阵（如图）：按照以上排列的规律，第n（n3，nN*）行从左向右的第3个数为.解析：前（n1）行共有正整数12（n1）（个），因此第n行第3个数是全体正整数中第个，即为.答案：9.如图所示为m行m1列的士兵方阵（mN*，m2）.（1）写出一个数列，用它表示当m分别是2，3，4，5，时，方阵中士兵的人数；（2）若把（1）中的数列记为an，归纳该数列的通项公式；（3）求a10，并说明a10表示的实际意义；（4）已知an9 900，问：an是数列的第几项？解：（1）当m2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m3，4，5，时的士兵人数分别为12，20，30，故所求数列为6，12，20，30，.（2）因为a123，a234，a345，所以猜想an（n1）（n2），nN*.（3）a101112132，a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.（4）令（n1）（n2）9 900，解得n98，即an是数列的第98项，此时方阵为99行100列.10.观察下列两个等式：sin210cos240sin 10cos 40；sin26cos236sin 6cos 36.由上面两个等式的结构特征，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想.解：由知若两角差为30，则它们的相关形式的函数运算式的值均为.猜想：sin2cos2（30）sin cos（30）.下面进行证明：左边sin cos（30）sin （cos cos 30sin sin 30）cos 2cos 2sin 2sin 2右边.故sin2cos2（30）sin cos（30）.B能力提升11.如图，椭圆的中心在坐标原点，F为其左焦点，当时，椭圆的离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”可得“黄金双曲线”的离心率为（）A. B.C.1 D.1解析：选A.设双曲线方程为1（a0，b0）.F（c，0），B（0，b），A（a，0），则（c，b），（a，b）.因为，所以acb20.又b2c2a2，所以c2aca20，即e2e10，解得e.又e1，所以e.故选A.12.如图，直角坐标系中每个单元格的边长为1，由下往上的6个点1，2，3，4，5，6的横纵坐标xi，yi（i1，2，3，4，5，6）分别对应数列an（nN*）的前12项，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此规律下去，则a2 017a2 018a2 019的值为.解析：由题图，知a1x11，a3x21，a5x32，a7x42，则a1a3a5a7a2 017a2 0190.又a2y11，a4y22，a6y33，则a2 018y1 0091 009，所以a2 017a2 018a2 0191 009.答案：1 00913.观察下面两式：（1）tan 10tan 20tan 20tan 60tan 60tan 101；（2）tan 5tan 10tan 10tan 75tan 75tan 51.分析上面两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并证明你的结论.解：猜想：如果，都不为，则tan tan tan tan tan tan 1.证明如下：因为，所以，所以tan（）tan，所以tan tan tan tan tan tan tan tan （tan tan ）tan tan tan tan（）（1tan tan ）tan tan tan （1tan tan ）tan tan t