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数量关系讲义整理行测解题逻辑以选项为中心：注意选项的布局题目难度分析 数字推理5=3+2、10=5+3+2 数学运算10=5+3+2、15=8+4+3 资料分析4=2+1+1不要奢望全部都会做，先扫视一遍题目重点做熟悉的题，适当放弃。题目越难越没有陷阱，简单题要注意陷阱。两则理论：一、条件反射 要强化记忆基本公式、技巧，提高熟练程度，形成条件反射。 二、内外兼修 通过反复的练习，化为内在素质。上篇 数学运算第一节 代入排除思想代入排除法： 是指将题目的选项直接代入题干当中判断选项正误的方法。这是处理客观单选题”非常行之有效的方法，广泛应用到各种题型当中。可以与数字特征等其它方法配合使用。例九比例问题答案还是比例，甲付出比乙多，甲比乙大例十消化的三倍是五的倍数 第二节 特例思想如果题中比例关系较多，可用特例法去做。设当满足条件的一种情况代入计算如果是加水溶液浓度是减小的，且减小幅度是递减的;如果是蒸发水，溶液浓度是增加的，且增加幅度是递增的。第三节 数字特性思想 数字特性法是指不直接求得最终结果，而只需要考虑最终计算结果的某种 数字特性”，从而达到排除错误选项的方法。掌握数字特性法的关键，是掌握一些最基本的数字特性规律。 （下列规律仅限自然数内讨论） 奇偶运算基本法则 【基础】奇数奇数=偶数 偶数偶数=偶数 偶数奇数=奇数 奇数偶数=奇数 【推论】 一、任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。 二、任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。 整除判定基本法则 一、能被2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性 能被2（或 5 ）整除的数，末一位数字能被2（或 5 ）整除； 能被4（或25）整除的数，末两位数字能被4 （或25）整除； 能被8（或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除； 一个数被2（或 5 ）除得的余数，就是 末一位数字被2（或 5）除得的余数一个数被4 （或25）除得的余数，就是 末两位数字被4（或25）除得的余数 一个数被8（或125）除得的余数，就是 末三位数字被8（或125）除得的余数 二、能被3、9 整除的数的数字特性 能被3 （或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。 一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。 倍数关系核心判定特征 如果a :b= m :n (m,n互质) ，则 a 是m的倍数； b是n的倍数。 如果a= b(m,n互质) ，则 a 是m的倍数； b 是n的倍数。 如果a :b= m :n (m,n互质) ，则a b 应该是 m n 的倍数。求3个连续自然然数的最小公倍数，用它们的乘积除以其中两个的最大公约数。第四节 方程思想广泛适用于：经济利润类问题、和差倍比问题、行程问题、牛吃草问题、比例问题等。 一、设未知数原则 1 以便于理解为准，设出来的未知数要便于列方程； 2 设题目所求的量为未知量。 二、消未知数原则 1 方程组消未知数时，应注意保留题目所求未知量，消去其它未知量 2 消未知数时注重整体代换 三、在实际做题时，还可以用有意义的汉字来代替未知数，这样会使题目更加简单直观 定方程(一般求其中的一个数量)，主要运用整体消去法。 不定方程（一般求整体），我们可以假设其中系数比较大的一个未知数等于0，使不定方程转化成定方程，则方程可解。第一章 计算问题模块第一节 裂项相加法裂项和=( ) （“小”指分母中最小的一个数，“大”指分母中最大的一个数，“差”指分母中一组的大数减小数）第二节 乘方尾数问题 乘方尾数问题核心口诀 1) 底数留个位 2) 指数末两位除以4 留余数(余数为0 则看作4)3) 尾数是0、1、5、6的数，乘方尾数是不变的。第三节 整体消去法例题：1996199719971996-1996199619971997（把大数字改写成小数字加1）例题：（1+）（+）-（1+）（+）（可把减号左右公共部分分设为a、b）注意知识点：1、四位重复数字等于本身乘10001（即先写一个1，再补3个0和1个1，三、五位重复数字可依次类推）如：20092009=200910001 678678=6781001 200920092009=2009100010001 1001=711132、平均数思想：看到平均数就应该算出总和，等差数列中，总项数为奇数项平均数为（总项数+1）2项，总项数为偶数项则为总项数除以2所得项与后一项的平均数。第二章 初等数学模块第一节 多位数问题多位数问题常用方法： 直接代入法在解决多位数问题时显得非常重要。 对于数页码问题，解题思路是：把个位页码、十位页码、百位页码分开来数。 页码（3位数）=+36 页码（4位数）=9第二节 余数相关问题余数问题核心基础公式 余数基本关系式：被除数除数=商余数 （0余数除数） 余数基本恒等式：被除数=除数商余数 同余问题核心口诀 “余同加余，和同加和，差同减差，除数最小公倍数作周期”余数问题：求具体数字，运用直接代入法。求数字个数：第一步，求一共有多少数字。第二步求最小公倍数。第三步一共有多少个数字除以最小公倍数，商是几就有几个，余数不看。第三节 星期日期问题一年有52个星期加1天。一年以后是星期几：平年加1，闰日加2.第四节 等差数列问题求和公式：和=平均数项数=中位数项数项数公式：项数=+1末项=首项+（项数-1）公差级差公式：第N项第M项=（NM）公差第五节 周期相关问题第三章 比例问题模块 第一节 工程问题工程总量设为最小公倍数。第二节 浓度问题特例法十字交叉法：当出现了两种比例混合为总体比例时（即用增长之后增长率求得增长之前量的比），往往是十字交叉的应用，需要注意两点：1.分母要保持一致。2.减完之后的差距之比是前一个时间点的人数(质量)之比。3.如是下降率则以为负数，大小顺序可改变。可解决所有混合型问题。第三节 概率问题1. 单独概率 2. 分步概率满足条件的每个步骤概率之积 3. 总体概率满足条件的各种情况概率之和 第四章 行程问题模块 第一节 平均速度问题 等距离平均速度公式：= 速度平均数比平均速度略小。= 当=1时，=（即时间相等时，路程比等于速度比） 当=1时，=（即速度相等时，路程比等于时间比） 当=1时，=（即路程相等时，时间和速度成反比）第三节 流水行船问题 流水行船问题提示： 船速 （静水速）+水速=顺水速、船速 （静水速）-水速=逆水速； 船速 （静水速）= 、水速= 第四节 环形运动问题 环形运动问题中：异向而行，则相邻两次相遇的路程和为周长 同向而行，则相邻两次相遇的路程差为周长 同向而行相遇时间=周长速度和 异向而行相遇时间=周长速度差第五节 钟面问题1.快慢钟问题：用比例关系求解2.相交（重合）问题：分针速度每分钟1格，时针速度每分钟格，相对速度差为，可以把它转为追及问题求解。基本公式为T=+.(T为追及所用时间，为假设时针不动，分针和时针达到题目所要求的状态时分针所单独走的时间，即初始时间。)分、时针每隔小时重合一次，12小时重合11次，垂直22次。3.角度问题：分钟每走1分钟，时针转动0.5度，5分钟即一大格是30度，所有求角度问题均可变为已知角度加减时针角度。第五章 计数问题模块 第一节 排列组合问题 排列组合问题是考生最头 的问题之一，形式多样，对思维的要求相对比较高。 掌握排列组合问题的关键是明确基本概念、熟练基本题型、背诵常用数字。 核心概念： 加法原理：分类用加法 乘法原理：分步用乘法 组合：与顺序无关 排列：与顺序有关第二节 容斥原理容斥原理核心公式： 1. 两个集合容斥：满足条件1 的个数+满足条件2 的个数-两个都满足的个数=总个数-两个 都不满足的个数 2. 三个集合容斥：如果是文字类的三个集合容斥题目，则用图示法解决，填写时从内向外，有时候可用代入法解决某些难题；如果是图形类的三个集合容斥题目，则用公式解决：|A B C|=|A|+|B|+|C|-|A B|-|B C|-|A C|+|A BC|。 第三节 概率问题发生概率=发生次数除以总次数不发生概率=1-发生概率分类概率=各类概率和分布概率=各步概率积构造类题目 第四节 抽屉原理问题 处理数学运算当中抽屉原理问题最常用方法：运用 “最不利原则”。 第五节 植树即为 多“1”少“1”问题植树问题：1.线性植树（直线、折线、曲线）特征：首尾不相连：棵树=总长间距+1 2.环形植树（圆、三角形、长方形）特征：首尾相连 ：棵树=总长间距3.楼间植树棵树=总长间距-1 纸张对折把一张纸连续对折N次，形成2N层。 剪绳问题核心公式 一根绳连续对折n次，从中M 刀，则被剪成了(2M+1)段第六节 方阵问题假设方阵最外层一边人数为N ，则： 1、最外层人数=（N 1）4 ，也可以推知a边形为an-a人。 2、实心方阵人数=N N=（最外层人数4+1）2 每边的人数=四边总人数4+1外边一层每边比里边一层每边多2人，外边一层总共比里边一层总共多8人。第七节 过河问题一、需要有一人将船划回； 二、最后一次过河只去不回”； 三、计算时间的时候多注意是“过一次分钟”还是 往返一次分钟”M个人过河，船上能载N个人，由于需要一人划船，故共需过河次（如a个人划船，就需要减a）。第六章 几何问题模块第一节 周长相关问题在处理三角形周长相关问题时要注意“三角形两边和大于第三边，两边差小于第三边。”第二节 面积相关问题几何最佳理论：1.平面图形中，若周长一定，越接近于圆，面积越大。2.平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。3.立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。4.立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小。等比例放缩特性：一个几何图形其尺度变为原来的M倍，1.对应角度不发生变化。2.对应长度变为原来的M倍。3.对应面积变为原来的M2倍。4.对应体积变为原来的M3倍。特殊扇形面积等于半径乘直径。第三节表面积问题无论是堆放正方体还是挖正方体一次多4个面。第四节 体积问题切一刀多两面。第七章 杂题模块 第一节 年龄问题 “年龄”问题核心公式： 一、每过N 年，每个人都长N 岁。（适用于简单列方程解答的年龄问题）。 二、两个人的年龄差在任何时候都是固定不变的。 三、直接代入法。 四、两个年龄之间的倍数关系是随着年份的递增而递减的。 五、等差数列解法。六、多人多时间点问题：运用表格法，从已知条件入手。甲对乙说：当我的岁数是你现在岁数时，你才4 岁。乙对甲说：当我的岁数到你现在岁数时，你将有67 岁。甲乙现在各有？第一步：大数减小数算出3倍年龄差第二步：除以3算出年龄差。第三步：小数字加年龄差是小的现在，大数字减年龄差得大的现在。第二节 经济利润相关问题经济利润相关问题核心公式： 一、总价单价销售量；总利润单件利润销售量 二、利润额售价成本；利润率利润/成本（售价成本）/成本 成本利润率=利润三、“二折”，即现价为原价的20% ，“九折”，即现价为原价的90%第三节 牛吃草问题牛吃草问题核心公式： 草场原有草量=（牛数-每天长草量）天数 总数差除以时间差得单位时间变量总数差/时间差=每天增减量1. 因为我们不知道牛吃草的速度，不妨假设每头牛每单位时间吃草的量是 1”，牛数也就是牛数每单位时间吃草的量； 2. 草场上原有的草量是固定不变的，长草量即每单位时间草的生长速度，一般假设是X， 天数泛指时间，小时、天、年等； 3. 这里存在一个重要的识别特征，当考生看到“若用12 个注水管注水，9 小时可注满水池，若用9 个注水管，24 小时可注满水，现在用8 个注水管注水，那么可用多少小时注满水池？”等类似排比句的出现时，直接代入牛吃草问题公式，原有草量= （牛数-变量）时间，且注意牛吃草速度 1”及变量X 的变化形式。第四节 统筹问题即最优化A、B、C、D 四人同时去某单位和总经理洽谈业务，A 谈完要18 分钟，B 谈完要12 分钟，C 谈完要25 分钟，D 谈完要6 分钟。如果使四人留住这个单位的时间总和最少，那么这个时间是多少分钟?（谁用的时间最短谁先谈，浪费其它人时间则为：64+123+182+25=121） 第五节 杂题专辑鸡兔同笼：一般情况下采用列方程的方法 。拆数求积问题的核心法则：将一个正整数拆成若干自然数之和，要使这些自然数的乘积尽可能大，那么我们应该这样来拆：全部拆成若干个3和少量2（1个2或者2个2）之和（也就是说只能拆成2 和3，而且要尽可能多的拆成3，2 的个数不多于两个。）即可。换瓶子问题：把空瓶换酒转化为几空瓶等于几空瓶加一瓶酒。即新换瓶数= (结果只取整数部分，不四舍五入用去尾法)。注意只有求新换的才用去尾法，原来的还要用四舍五入法。翻硬币问题：前提是一个东西要改变状态一定要基数次，N （N 必须为偶数）枚硬币，每次同时翻转 中N-1 枚，至少需要N 次才能使其完全改变状态；当N 为奇数时，每次同时翻转其中偶数枚硬币，无论如何翻转都不能完全改变状态（每个经过基数次状态改变，偶数个奇数相加的偶数，就不能改变状态）。杯子、开关等比赛计数问题：淘汰赛决出冠、亚军需要N-1场，决1、2、3、4名需N场。循环赛单循环为，双循环为(N为球队数)插板法：例题：把M个相同的球分为N组每组至少一个，有多少种方法？公式为：。注意限制条件：1.球相同。2.每组至少一个。错位排序问题：常数需要记忆。1人0种，2人1种，3人2种，4人9种，5人44种，6人265种。下篇数字推理备考重点方向： 基础数列类型、六大基本题型、基本运算速度、少量计算技巧 数字推理解题逻辑第零章 基础数列类型基本数列： 注意质数数列与等比数列 1、常数数列 【例】7、7、7、7、7、7、7、7、7 2、等差数列 【例】2、5、8、11、14、17、20、23 3、 等比数列 【例】5、15、45、135、405、1215、3645、10935 注意等比数列小数化（只有一组小数可以命题0.5、1、1.5、2、2.5、）数列中有两个一样的数字可能属于等比数列。4、 所有的自然数可以分为1和素数、合数三类。除去1以外，有的数除了1和它本身以外，不能再被别的整数整除，如2、3、5、7、11、13、17、.等，这种数称作素数(也称质数)。有的数除了1和它本身以外，还能被别的整数整除，这种数就叫合数，如4、6、8、9、10、12、14、.等，就是合数。1这个数比较特殊，它既不算素数也不算合数。质数数列:一不是质数也不是合数 1000以内质数表:2、 3 、5、 7 、11、 13、 17 、19、 23、 29、 31、 37、 41、 43、 47、 53、 59、 61、 67、 71、 73、 79、 83、 89、 97101、 103、 107、 109、 113 、127、 131、 137、 139、 149、 151、 157、 163、 167、 173、 179、 181、 191、 193、 197、 199、211、 223、 227、 229、 233、 239、 241、 251、 257、 263、 269、 271、 277、 281 、283、 293307、 311、 313 、317、 331、 337 、347、 349、 353、 359、 367、 373、 379 、383 、389、 397401 、409、 419、 421、 431 、433、 439、 443 、449、 457 、461、 463、 467 、479 、487、 491、 499503 、509 、521、 523 、541、 547、 557 、563 、569、 571 、577 、587、 593、 599601、 607、 613、 617、 619、 631、 641、 643、 647、 653、 659、 661、 673、 677、 683、 691701、 709、 719 、727、 733、 739、 743、 751、 757、 761、 769、 773、 787、 797809、 811、 821、 823、 827、 829、 839、 853、 857、 859、 863、 877、 881、 883、 887907、 911、 919、 929、 937、 941 、947 、953 、967、 971、 977、 983、 991、 997 合数数列 【注】 1 既不是质数、也不是合数。100以内的合数表：4.6.8.9.1012.14.15.16.1820.21.22.24.25.26.27.2830.32.33.34.35.36.38.3940.42.44.45.46.48.4950.51.52.54.55.56.57.5860.62.63.64.65.66.68.6970.72.74.75.76.77.7880.81.82.84.85.86.87.8890.91.92.93.94.95.96.98.99.100经典分解： 200 以内质数表 91 = 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41 111= 43、47、53、59、61、67、71、73、79、 119= 101、103、107、109、113、127、131、137、139、149、151 133= 157、163、167、173、179、181、191、193、197、199100以内的合数4=1,2,4 6=1,2,3,6 8=1,2,4,8 9=1,3,9 10=1,5,2,10 12=1,2,3,4,6,1214=1,2,7,14 15=1,3,5,15 16=1,2,4,8,16 18=1,2,9,18 20=1,2,4,5,10,20 21=1,3,7,21 22=1,11,22,2 24=1,2,3,4,6,12,8,24 25=1,5,25 26=1,2,13,2627=1,3,9,27 28=1,2,4,7,14 30=1,2,3,5,6,10,15 32=1,2,4,8,16,32 33=1,3,11,33 34=1,2,17,34 35=1,5,7,35 36=1,2,3,4,6,9,12,18,3638=1,2,19,38 39=1,3,13,39 40=1,2,4,5,8,10,20,40 42=1,3,6,7,14,4244=1,2,11,4,22,44 45=1,5,9,45,3,15 46=1,2,23,46 48=1,2,3,4,6,8,12,16,24,48 49=1,7,49 50=1,2,5,10,25,50 51=1,51,3,17 52=1,52,2,26,4,13 54=1,54,2,27,3,18,9,655=1,55,11,5 56=1,56,2,28,4,14,7,8 57=1,57,3,19 58=1,58,2,2960=1,60,2,30,3,20,4,15,5,12,6,10 62=1,62,2,31 63=1,63,3,3164=1,64,2,32,4,16,8 65=1,65,5,13 66=1,66,2,33,3,22,6,1168=1,68,2,34,4,17 69=1,69,3,23 70=1,70,2,35,5,14,7,1072=1,72,2,36,3,24,4,18,6,12,8,9 74=1,74,2,37 75=1,75,5,15,3,2576=1,76,2,38 77=1,77,11,7 78=1,78,2,39,3,26,6,1380=1,80,2,40,4,20,5,16,8,1081=1,81,3,27,9 82=1,82,2,41 84=1,84,2,42,3,28,4,21,7,12,6,1485=1,85,5,17 86=1,86,2,43 87=1,87,3,29 88=1,88,2,44,8,1190=1,90,2,45,5,18,6,15,10,9,3,30 91=1,91,7,1392=1,92,2,46, 93=1,93,3,31 94=1,94,2,47 95=1,95,5,2996=1,96,2,48,3,32,4,24,6,16,8,12 98=1,98,2,49,7,1499=1,99,3,33,9,11 100=1,100,2,50,4,25,5,20,10 经典分解： 200 以内质数表 91 = 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41 111= 43、47、53、59、61、67、71、73、79、 119= 101、103、107、109、113、127、131、137、139、149、151 133= 157、163、167、173、179、181、191、193、197、1995、 周期数列或循环数列 【例】1、3、4、1、3、4 6、对称数列 【例】1、3、2、5、2、3、17、 递推数列 【例】1、1、2、3、5、8、13 发展趋势： 大数化、小数化、分数化、振荡化、无理化、综合化数字敏感100以内平方数：1*1=1；2*2=4；3*3=9；4*4=16；5*5=25；6*6=36；7*7=49；8*8=64；9*9=8110*10=100（用十位数乘积加上个位数乘积）11*11=121；12*12=144；13*13=169；14*14=196；15*15=225；16*16=256；17*17=289；18*18=324；19*19=36120*20=400；21*21=441；22*22=484；23*23=529；24*24=576；25*25=625；26*26=676；27*27=729；28*28=784；29*29=84130*30=900；31*31=961；32*32=1024；33*33=1089；34*34=1156；35*35=1225；36*36=1296；37*37=1369；38*38=1444；39*39=152140*40=1600；41*41=1681；42*42=1764；43*43=1849；44*44=1936；45*45=2025；46*46=2116；47*47=2209；48*48=2304；49*49=2401；50*50=2500；51*51=2601；52*52=2704；53*53=2809；54*54=2916；55*55=3025；56*56=3136；57*57=3249；58*58=3364；59*59=348160*60=3600；61*61=3721；62*62=3844；63*63=3969；64*64=4096；65*65=4225；66*66=4356；67*67=4489；68*68=4624；69*69=476170*70=4900；71*71=5041；72*72=5184；73*73=5329；74*74=5476；75*75=5625；76*76=5776；77*77=5929；78*78=6084；79*79=624180*80=6400；81*81=6561；82*82=6724；83*83=6889；84*84=7056；85*85=7225；86*86=7396；87*87=7569；88*88=7744；89*89=792190*90=8100；91*91=8281；92*92=8464；93*93=8649；94*94=8836；95*95=9025；96*96=9216；97*97=9409；98*98=9604；99*99=9801；100*100=1000050以内的立方：13=1 ；23=8 ；33=27 ；43=64 ；53=125 ；63=216 ；73=343 ；83=512 ；93=729 103=1000； 113=1331 ；123=1728 ；133=2197 ；143=2744 ；153=3375 ；163=4096 ；173=4913 ；183=5832 ；193=6859 203=8000 ；213=9261 ；223=10648 ；233=12167 ；243=13824 ；253=15625 ；263=17576 ；273=19683 ；283=21952 ；293=24389 303=27000 ；313=29791 ；323=32768 ；333=35937 ；343=39304 ；353=42875 ；363=46656 ；373=50653 ；383=54872 ；393=59319 403=64000 ；413=68921 ；423=74088 ；433=79507 ；443=85184 ；453=91125 ；463=97336 ；473=103823 ；483=110592 ；493=117649 ；503=125000十以内的阶乘1！=1；2！=2；3！=6；4！=24；5！=120；6！=720；7！=5040；8！=40320；9！=362880；10！=3628800第一章 多级数列第一节 二级数列两两加减乘除，出现频率从高到低为：减、除、加、乘。减与除是一回事所以先试减，再试加。第二节 三级数列多级数列是目前数字推理考核中难度较低的一种题型，但缺点是难于识别，考生很难一眼看出就是多级数列。如果数列的题干和选项都是整数且大小波动不剧烈，不存在其它明显特征时，要谨记“两两做差”是数字推理考核的最本原，而做差多级数列也是目前每年必考的题型。三级数列只有减与加，加非常少见。 第二章 多重数列间隔数列的本质规律是奇数项、偶数项各自成规律，其识别特征是：数列比较长（大于等于八项）；数字大小比较接近；有时有两个括号。分组数列也存在类似的识别特征，往往是两两分组的加减乘除。所谓奇偶项一体成规律是指：奇数项和偶数项互相依赖成规律，并不是各自单独成规律。有时候会出现偶数项等于前后两数之和或差。第三章 分式数列当一列数几乎都是分数时 ，它基本就是分式数列，我们要注意观察分式数列的分子、分母是一直递增、递减或者不变，并以此为依据找到突破口，通过“约