湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 2.2.2椭圆及其简单几何性质（1）课件 新人教版选修21.ppt

2 2 2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质 a x a b y b b x b a y a 椭圆的简单几何性质 坐标轴 0 0 c 0 c 0 0 c 0 c 2c 2c a 0 a 0 0 b 0 b 0 a 0 a b 0 b 0 2a 2b 2a 2b 0 1 0 1 判断 正确的打 错误的打 1 椭圆的顶点是椭圆与坐标轴的交点 2 椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a c 3 椭圆的离心率e越接近于1 椭圆越圆 提示 1 错误 只有椭圆方程是标准方程时 此说法才正确 而此处并未说明是标准方程 故不正确 2 正确 椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a c 最小值为a c 3 错误 离心率e越接近于1 即c越大 这时b越小 椭圆越扁 答案 1 2 3 知识点拨 对椭圆几何性质的六点说明 1 椭圆的焦点决定了椭圆的位置 在a b 0时 方程的焦点在x轴上 方程的焦点在y轴上 2 椭圆的范围决定了椭圆的大小 即椭圆位于四条直线x a y b围成的矩形内 3 椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度 具体影响如下 4 椭圆是轴对称与中心对称图形 具体如下 5 椭圆的长轴和短轴都是线段 并不是直线 所以它们有长度 长轴长是2a 短轴长是2b 6 在椭圆中 a b c都具有实际的具体意义 其中a 长半轴长 b 短半轴长 c 半焦距 它们之间的关系是a2 b2 c2 类型一利用标准方程研究几何性质 典型例题 1 2013 北京高二检测 椭圆x2 8y2 1的短轴的端点坐标是 a 0 0 b 1 0 1 0 c 2 0 2 0 d 0 2 0 2 2 设椭圆方程为mx2 4y2 4m m 0 的离心率为 试求椭圆的长轴的长和短轴的长 焦点坐标及顶点坐标 解题探究 1 题1中的方程是标准形式吗 如何在标准形式下区分焦点所在的坐标轴 2 题2中的方程首先应如何处理 能判断出焦点的位置吗 探究提示 1 题1中的方程不是椭圆的标准形式 标准形式是 m n且m 0 n 0 当m n 0时 焦点在x轴上 当n m 0时 焦点在y轴上 2 首先把此方程化成标准形式 因为不确定焦点的位置 故需要讨论处理 解析 1 选a 把方程化为标准形式得 焦点在x轴上 b2 b 故椭圆短轴的端点坐标为 0 2 椭圆方程可化为 1 当0 m 4时 a 2 b c e m 3 b c 1 椭圆的长轴的长和短轴的长分别是4 2 焦点坐标为f1 1 0 f2 1 0 顶点坐标为a1 2 0 a2 2 0 b1 0 b2 0 2 当m 4时 a b 2 c e 解得m a c 椭圆的长轴的长和短轴的长分别为 4 焦点坐标为f1 f2 顶点坐标为a1 a2 b1 2 0 b2 2 0 拓展提升 确定椭圆的几何性质的四个步骤 1 化标准 把椭圆方程化成标准形式 2 定位置 根据标准方程分母大小确定焦点位置 3 求参数 写出a b的值 并求出c的值 4 写性质 按要求写出椭圆的简单几何性质 变式训练 求椭圆64x2 25y2 400的长轴长 短轴长 焦距 离心率 焦点和顶点坐标 解析 椭圆的方程可化为 16 焦点在y轴上 并且长半轴长a 4 短半轴长b 半焦距 长轴长2a 8 短轴长2b 5 焦距2c 离心率e 焦点坐标为 0 0 顶点坐标为 0 0 0 4 0 4 类型二利用几何性质求标准方程 典型例题 1 2013 宜春高二检测 焦距为6 离心率e 焦点在x轴上的椭圆的标准方程是 a b c d 2 2013 大理高二检测 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍 且经过点a 2 0 求椭圆的标准方程 解题探究 1 如果只给离心率的值 方程能够确定吗 2 题2中椭圆的焦点的位置是确定的吗 探究提示 1 方程不能确定 离心率的值只决定扁平程度 不能确定椭圆的方程 2 题中给出的条件只是定量条件 并不能确定焦点位置 所以解题时应分情况讨论 解析 1 选d 由条件知2c 6且解得c 3 a 5 从而b2 a2 c2 16 又 椭圆焦点在x轴上 所以椭圆的标准方程为2 若椭圆的焦点在x轴上 设椭圆方程为 a b 0 椭圆过点a 2 0 1 a 2 2a 2 2b b 1 方程为 y2 1 若椭圆的焦点在y轴上 设椭圆方程为 1 a b 0 椭圆过点a 2 0 b 2 由2a 2 2b a 4 方程为综上所述 椭圆的标准方程为 y2 1或 1 互动探究 1 题1中 把 焦点在x轴上 去掉 结果如何 解析 焦点可能在x轴上 也可能在y轴上 由于a 5 b2 16 故标准方程为或 2 题2中 把 经过点a 2 0 改为 焦点为 2 0 结果如何 解析 焦点为 2 0 椭圆的焦点在x轴上且c 2 由条件知2a 2 2b a 2b 又a2 b2 c2 2b 2 b2 4 即b2 a2 椭圆的标准方程为 拓展提升 1 根据几何性质求椭圆方程的两个关键 2 求椭圆标准方程的一般方法及步骤 1 基本方法 待定系数法 2 一般步骤 类型三与离心率有关的问题 典型例题 1 2013 大理高二检测 椭圆的离心率为 2 2012 江西高考 椭圆 a b 0 的左 右顶点分别是a b 左 右焦点分别是f1 f2 若 af1 f1f2 f1b 成等比数列 则此椭圆的离心率为 a b c d 23 椭圆 a b 0 的右顶点是a a 0 其上存在一点p 使 apo 90 求椭圆的离心率的取值范围 解题探究 1 利用公式求离心率的关键是什么 2 椭圆的长轴上的顶点到焦点的距离如何表示 3 求离心率的取值范围的关键是什么 探究提示 1 利用公式求离心率的关键是准确确定a和c的值 2 长轴的顶点到相应焦点的距离为a c 到另一侧焦点的距离为a c 3 求离心率的取值范围的关键是建立a b c的齐次不等关系式 解析 1 选d 方程中 a2 16 c2 16 8 8 离心率2 选b 因为a b为左 右顶点 f1 f2为左 右焦点 所以 af1 a c f1f2 2c bf1 a c 又因为 af1 f1f2 bf1 成等比数列 所以 a c a c 4c2 即a2 5c2 所以离心率e 3 设p x y 由 apo 90 知 p点在以oa为直径的圆上 圆的方程是 x 2 y2 2 y2 ax x2 又p点在椭圆上 故 把 代入 得 a2 b2 x2 a3x a2b2 0 故 x a a2 b2 x ab2 0 x a x 0 又0又 0 e 1 故所求的椭圆离心率的取值范围是 e 1 拓展提升 椭圆离心率及范围的求法椭圆的离心率是刻画椭圆扁平程度的量 它是椭圆的半焦距和长半轴长的比值 由于a b c的关系 这个比值可以通过三个量中的任意两个量来刻画 在解决问题的过程中我们更多地用a c描述 因此 求e的值或范围问题就是寻求它们的方程或不等式 具体如下 1 定义法 若给定椭圆的方程 则根据焦点位置确定a2 b2 求出a c的值 利用公式e 直接求解 2 方程法 若椭圆的方程未知 则根据条件建立a b c满足的关系式 化为关于a c的齐次方程或不等式 再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂 得到关于e的方程或不等式 即可求得e的值或范围 变式训练 2013 安阳高二检测 以正方形abcd的相对顶点a c为焦点的椭圆 恰好过正方形四边的中点 则该椭圆的离心率为 解题指南 解题时可先画出草图 结合条件和草图表示出某边中点到a c的距离 建立方程求出离心率 解析 如图 设正方形的边长为2a 令cd的中点为p 则 pa a pc a ac 2a 即长轴长为 1 a 焦距长为2a 离心率答案 易错误区 忽视椭圆焦点的位置情况致误 典例 2013 大理高二检测 若椭圆的离心率为 则k 解析 当焦点在x轴上时 a2 k 4 b2 4 c2 k e 即 当焦点在y轴上时 a2 4 b2 k 4 c2 k 由e k 1 综上可知 k 或k 1 答案 或 1 误区警示 防范措施 1 性质的转化应用椭圆的性质是高考的重要内容 特别是与离心率有关的问题 在利用性质解决问题时要注意题目中的条件转化 如本例离心率为 可以转化为k的方程求解 2 隐含条件的提防在解决椭圆方程问题时 要提防题干中的隐含条件 如本例方程中 形式上好像是k 4 4 但当k 0时 k 4 4 这时要分情况讨论 类题试解 2013 南京高二检测 已知椭圆的长轴长为20 离心率为 则该椭圆的标准方程为 解析 2a 20 e a 10 c 6 b2 a2 c2 64 由于椭圆的焦点可能在x轴上 也可能在y轴上 所以所求椭圆的标准方程为或答案 或 1 椭圆以两条坐标轴为对称轴 一个顶点是 0 13 另一个顶点是 10 0 则焦点坐标为 a 13 0 b 0 10 c 0 13 d 0 解析 选d 由条件知 椭圆的焦点在y轴上 且a 13 b 10 c2 a2 b2 169 100 69 焦点坐标为 0 2 若m是2和8的等比中项 则椭圆x2 1的离心率为 a b c d 解析 选a m是2和8的等比中项 m2 2 8 解得m 4 m 0 m 4 解得e 3 椭圆25x2 9y2 225的长轴长 短轴长 离心率依次是 a 5 3 0 8b 10 6 0 8c 5 3 0 6d 10 6 0 6 解析 选b 把椭圆的方程写成标准形式为知a 5 b 3 c 4 2a 10 2b 6 0 8 4 椭圆6x2 5y2 30上的点到其焦点的距离的最大值是 最小值是 解析 把方程化成标准形式得这里a2 6 b2 5 c2 a2 b2 1 最大值为a c 1 最小值为a c 1 答案 1 1 5 已知与椭圆有相同的离心率且长轴长与的