高中数学（自主初探+核心归纳+案例展示）第二章 2.3.3直线与平面垂直的性质课件 新人教A版必修2.ppt

2 3 3直线与平面垂直的性质 直线与平面垂直的性质定理 平行 思考 一个平面的垂线有多少条 这些直线有什么关系 提示 一个平面的垂线有无数条 这些直线是互相平行的 知识点拨 对线面垂直的性质定理的两点说明 1 作用 证明两条直线平行 即线面垂直 线线平行 构造平行线 2 本质 以平面为桥梁 实现了 平行 与 垂直 之间的相互转化 同一平面的垂线方向是相同的 平面位置确定后其垂线的方向也就确定了 类型一线面垂直的性质定理的应用 典型例题 1 abc所在的平面为 直线l ab l ac 直线m bc m ac 则直线l m的位置关系是 a 相交b 异面c 平行d 不确定2 已知a b是异面直线 m a m b n a n b 求证 m n 解题探究 1 直线l m与平面 的位置关系是什么 2 如何用线面垂直的性质定理说明m n 探究提示 1 直线l m与平面 都垂直 2 可用平移法把两异面直线平移到同一平面内再用定理说明 解析 1 选c 因为l ab l ac ab ac 且ab ac a 所以l 同理可证m 所以l m 2 如图 过a上任意一点p作b b 得到相交直线a b 设a与b 所确定的平面为 因为m b b b 所以m b 又m a且a b 是 内的两条相交直线 所以m 同理n 所以m n 互动探究 根据题2的解答 请思考过空间一点如何作出与两条异面直线都垂直的直线 能作几条 解析 作法 1 过其中一条直线上一点作另外一条直线的平行线 得到两条相交直线 2 这两条相交直线确定一个平面 3 过空间一点作该平面的垂线 就与两条异面直线都垂直 结论 这样的直线只有一条 理由 根据以下三点可知所作垂线只有一条 第 1 步中选点不同所得的平面不同 但是这些平面是互相平行的 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个 则它必垂直于另一个平面 拓展提升 1 线面垂直的性质定理和判定定理的应用线面垂直的性质定理结合其判定定理 其核心思想是转化思想 即实现了线面垂直 线线垂直的相互转化 而且沟通了平行和垂直的内在联系 实现了平行和垂直的相互转化 2 证明线线平行的方法 1 在平面内证明线线平行的方法 三角形 梯形中位线的性质 平行四边形对边平行的性质 平行线分线段成比例的性质 两直线平行的判定 如两直线被第三条直线所截 若同位角相等 则两直线平行 2 空间中两直线平行的判定 线线平行的定义 证共面且无公共点 平行公理 线面平行的性质定理 面面平行的性质定理 线面垂直的性质定理 变式训练 如图所示 正方体a1b1c1d1 abcd中 ef与异面直线ac a1d都垂直相交 求证 ef bd1 证明 如图所示 连接ab1 b1d1 b1c bd 因为dd1 平面abcd ac 平面abcd 所以dd1 ac 又ac bd dd1 bd d 所以ac 平面bdd1b1 又bd1 平面bdd1b1 所以ac bd1 同理可证bd1 b1c 又b1c ac c 所以bd1 平面ab1c 因为ef ac ef a1d 又a1d b1c 所以ef b1c 又ac b1c c 所以ef 平面ab1c 所以ef bd1 类型二线面垂直的其他性质 典型例题 1 2013 金华高一检测 平面 平面 直线a 直线b 那么直线a与直线b的位置关系一定是 a 平行b 异面c 垂直d 不相交 2 2013 台州高二检测 如图 在四棱锥p abcd中 pd 平面abcd 四边形abcd是菱形 ac 6 bd e是pb上任意一点 1 求证 ac de 2 当 aec面积的最小值是9时 求证 ec 平面pab 解题探究 1 a与 的位置关系是什么 b与 的位置关系是什么 2 证明两条异面直线垂直的常用方法有哪些 aec中ac边上的高是哪条线段 探究提示 1 由题目条件可知a 或a b 2 1 证明两条异面直线垂直的常用方法有 作出异面直线所成角 并证其为直角 转化为证明其中一条直线垂直于经过另一条直线的平面 即由线面垂直推出线线垂直 2 设bd与ac的交点为f 则 aec中ac边上的高是ef 解析 1 选c 因为平面 平面 直线b 所以b 因为平面 平面 直线a 所以a 或a 若a 则a b 若a 设过a的平面与平面 的交线为c 则a c 由b c知a b 综上知a b 2 1 设ac与bd相交于点f 因为四边形abcd是菱形 所以ac bd 又因为pd 平面abcd ac 平面abcd 所以pd ac 而pd bd d 所以ac 平面pdb 因为e为pb上任意一点 所以de 平面pbd 所以ac de 2 连接ef 由 1 知ac 平面pbd ef 平面pbd 所以ac ef s ace ac ef 在 ace面积最小时 ef最小 则ef pb s ace ac ef 6 ef 9 解得ef 3 由pb ef且pb ac得pb 平面aec 则pb ec 又由ef af fc 3得ec ae 而pb ae e 故ec 平面pab 拓展提升 直线与平面垂直的性质 5 若a 于点a ap a 则ap 变式训练 关于直线a b c以及平面 给出下面说法 若a a 则 若a b b c 则a c 若a b b c a 则c 其中正确说法的编号是 写出所有正确说法的编号 解析 正确 过a作平面 与平面 相交于直线c 因为a 所以a c 因为a 所以c 又c 所以 正确 因为b c 所以b c 又a b 所以a c 正确 因为a b b c 所以a c 又a 所以c 答案 类型三线面垂直的综合应用 典型例题 1 2013 瑞安高一检测 如图 边长为a的正 abc的中线af与中位线de相交于g 已知 a ed是 aed绕de旋转过程中的一个图形 现给出下列结论 其中正确的结论有 填上所有正确结论的序号 1 动点a 在平面abc上的射影在线段af上 2 三棱锥a fed的体积有最大值 3 恒有平面a gf 平面bced 4 异面直线a e与bd不可能互相垂直 2 2012 广东高考 如图所示 在四棱锥p abcd中 ab 平面pad ab cd pd ad e是pb的中点 f是cd上的点 且df ab ph为 pad中ad边上的高 1 证明 ph 平面abcd 2 若ph 1 ad fc 1 求三棱锥e bcf的体积 3 证明 ef 平面pab 解题探究 1 在题1所给的图形中 找出的线面垂直关系有哪些 三棱锥a fed体积的变化与哪些量有关系 2 1 ph与平面abcd内哪两条直线互相垂直 2 点e到平面bcf的距离和点p到平面bcf的距离有什么关系 3 在平面pad内是否可以找到平面pab的垂线 探究提示 1 de 平面a gf 三棱锥a fed体积的变化与 fed的面积和点a 到平面fed的距离有关系 2 1 ph与平面abcd内的直线ab ad互相垂直 2 点e到平面bcf的距离是点p到平面bcf的距离的一半 3 由pd ad可想到 pad中pa边上的中线与pa垂直 进一步可证此中线与平面pab垂直 解析 1 因为de a g de gf a g gf g 所以de 平面a gf 又de 平面bced 所以平面a gf 平面bced 故 3 正确 过a 作a h af 垂足为h 则a h 平面a gf 所以a h de 又de af g 所以a h 平面abc 故 1 正确 三棱锥a fed的底面 fed的面积是定值 高是点a 到平面fed的距离 易证当a g 平面fed时距离 即高 最大 三棱锥a fed的体积最大 故 2 正确 易知bd ef 所以 a ef是异面直线a e与bd所成的角 设正 abc的边长为2a ae a ef a 而a f的长度的取值范围是 0 a 当a f a时 a e2 ef2 a f2 a ef 90 此时直线a e与bd互相垂直 故 4 错误 答案 1 2 3 2 1 因为ab 平面pad ph 平面pad 所以ab ph 又因为ph ad且ad ab a 所以ph 平面abcd 2 v三棱锥e bcf v三棱锥p bcf 3 连接pf hf 取ab的中点m 连接fm em 因为e为pb的中点 dfab 所以em pa 四边形dfma为平行四边形 所以fm ad 又因为ab 平面pad 所以ab ad ab pa 所以ab fm ab em 且em fm m 所以ab 平面efm 所以ab ef 又因为cd ab 所以cd 平面pad cd pd 所以rt fmb rt pdf 所以pf bf 又因为e为pb的中点 所以ef pb 又pb ab b 所以ef 平面pab 拓展提升 1 共面直线垂直的证明方法 1 利用等腰三角形 三线合一 的性质证明 即等腰三角形底边上的中线 或顶角平分线 是底边上的高 2 利用矩形的四个角是直角证明 3 利用菱形的对角线互相垂直平分证明 4 利用直径所对的圆周角是直角证明 5 利用勾股定理的逆定理证明 2 异面直线垂直的证明方法 1 作异面直线所成的角 并计算其为90 2 转化为证明线面垂直 即把两条直线中的一条放在某个平面内 然后证明另一条垂直于这个平面 要证线面垂直 可通过线面垂直的定义及判定定理 体现了解题时要充分体会它们的相互转化 变式训练 2012 陕西高考 直三棱柱abc a1b1c1中 ab aa1 cab 90 1 证明 cb1 ba1 2 已知ab 2 bc 求三棱锥c1 aba1的体积 解题指南 1 关键是证明ba1 平面cab1 2 关键是求底面 aba1的面积和高 解析 1 如图 连接ab1 因为abc a1b1c1是直三棱柱 cab 90 所以ac 平面abb1a1 故ac ba1 又因为ab aa1 所以四边形abb1a1是正方形 所以ba1 ab1 又ca ab1 a 所以ba1 平面cab1 故cb1 ba1 2 因为ab aa1 2 bc 所以ac a1c1 1 由 1 知 ac 平面abb1a1 a1c1 ac 所以a1c1 平面aba1 易错误区 线面垂直性质应用中的误区 典例 2013 吉安高一检测 如图 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 过a点作平面a1bd的垂线 垂足为点h 有下列三个结论 1 点h是 a1bd的中心 2 ah垂直于平面cb1d1 3 ac1与b1c所成的角是90 其中正确结论的序号是 解析 1 正确 因为ah 平面a1bd aa1 ab ad 所以rt aha1 rt ahd rt ahb 所以ha1 hb hd 所以点h是 a1bd的外心 又因为a1b bd da1 所以点h是 a1bd的中心 2 正确 易证平面a1bd 平面cb1d1 又因为ah 平面a1bd 所以ah垂直于平面cb1d1 3 正确 易证a1d 平面abc1d1 所以ac1 a1d 又a1d b1c 所以ac1 b1c 所以ac1与b1c所成的角是90 答案 1 2 3 误区警示 防范措施 1 重视 平行 与 垂直 的相互转化线面垂直的判定和性质是将线面平行和垂直 面面平行和垂直联系起来的关键 例如本题 2 利用面面平行和线面垂直推出新的线面垂直 2 重视平面几何 立体几何知识的综合应用随着所学知识的增多 需要及时对知识进行总结 并在解题时进行灵活应用 如本例中 三角形全等的证明 等边三角形的中心的概念 异面直线所成的角 线面垂直的性质等知识的综合应用 类题试解 如图 pa 平面abc acb 90 ef pa 则图中直角三角形的个数是 解析 由pa 平面abc 得pa ab pa ac pa bc 又因为bc ac ac pa a 所以bc 平面pac 所以bc pc 因为ef pa pa 平面abc 所以ef 平面abc 所以ef be ef ec 所以 pab pac abc pbc efc bef均为直角三角形 答案 6 1 在圆柱的一个底面上任取一点 该点不在底面圆周上 过该点作另一个底面的垂线 则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是 a 相交b 平行c 异面d 相交或平行 解析 选b 由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面 所以它们平行 2 已知直线l 平面 直线m 平面 则下列四个说法中正确的是 l m l m l m l m a b c d 解析 选d 因为 且l 所以l 又因为m 平面 所以l m 正确 l l m m 又因为m 所以 正确 3 地面上有两根相距a米的旗杆 它们的高分别是b米和c米 b c 则它们上端的距离为 解析 由线面垂直的性质定理可知 两根旗杆所在直线互相