高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点课件1 新人教A版必修1.ppt

第三章函数的应用3 1 1方程的根与函数的零点 思考 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根与二次函数y ax2 bx c a 0 的图象有什么关系 我们知道 令一个一元二次函数 的函数值y 0 则得到一元二次方程 问题1观察下表 一 说出表中一元二次方程的实数根与相应的二次函数图象与x轴的交点的关系 没有交点 1 0 x2 2x 3 0 x2 2x 1 0 1 0 3 0 x2 2x 3 0 1 方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数 结论 无实数根 x1 x2 1 x1 1 x2 3 y x2 2x 3 y x2 2x 1 y x2 2x 3 2 方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 及相应的二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与x轴交点的关系 上述结论是否仍然成立 问题2 0 0 判别式 b2 4ac 方程ax2 bx c 0 a 0 的根 函数y ax2 bx c a 0 的图象 函数的图象与x轴的交点 0 x1 0 x2 0 没有实根 没有交点 两个不相等的实数根x1 x2 有两个相等的实数根x1 x2 x1 0 结论 1 方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数 2 方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标 对于函数y f x 我们把使f x 0的实数x叫做函数y f x 的零点 zeropoint 方程f x 0有实数根 函数零点的定义 等价关系 结论 函数的零点就是方程f x 0的实数根 也就是函数y f x 的图象与x轴的交点的横坐标 例1求下列函数的零点 x x 3或x 1 x 0 x 9 零点存在性探究 1 观察二次函数f x x2 2x 3的图象 在 2 4 上 我们发现函数f x 在区间 2 4 内有零点x 有f 2 0 f 4 0f 2 f 4 0 填 x y 0 1 3 2 1 1 2 1 2 3 4 2 4 1 3 思考 函数在区间端点上的函数值的符号情况 与函数零点是否存在某种关系 观察下面函数的图象 由以上两步探索 你可以得出什么样的结论 有 有 有 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 那么 函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 零点存在性定理 2 若f x 在 a b 内有零点 一定能得出f a f b 0吗 思考 1 若f a f b 0 则f x 在 a b 内就有零点吗 对函数零点存在性的判定要注意四点 1 函数的图象既要在区间 a b 上连续 又要在区间 a b 端点处的函数值异号 则存在零点 2 函数在区间 a b 上连续 且存在零点 在区间 a b 端点的函数值可能异号也可能同号 3 函数f x 在 a b 上是单调函数 如果f a f b 0 那么这个函数在区间 a b 上没有零点 4 只能用来判断函数零点的存在性 不能用来判断函数零点的个数 由表3 1和图3 1 3可知 f 2 0 即f 2 f 3 0 说明这个函数在区间 2 3 内有零点 由于函数f x 在定义域 0 内是增函数 所以它仅有一个零点 解 用计算器或计算机作出x f x 的对应值表和图象 4 1 3069 1 0986 3 3863 5 6094 7 7918 9 9459 12 0794 14 1972 例2求函数f x lnx 2x 6的零点个数 1 已知f x 是定义在r上的奇函数 且