高中数学 2.3 函数的单调性同步教学课件 北师大版必修1.ppt

3函数的单调性 1 了解单调函数 单调区间的概念 能说出单调函数 单调区间这两个概念的大致意思 2 理解函数单调性的概念 能用自已的语言表述概念 并能根据函数的图像指出单调性 写出单调区间 重点 3 掌握运用函数单调性定义解决具体问题的方法 能运用函数单调性的定义证明简单函数的单调性 难点 4 了解函数最值的概念 会求某些函数的最大值及最小值 重点 难点 建立函数的目的是研究函数值与自变量的关系 自变量的变化对函数值变化的影响是经常受到关注的问题 例如水位的涨落随时间变化的规律 是防涝抗旱工作中必须解决的实际问题 下面我们开始研究函数在这方面的一个主要性质 函数的单调性 画出下列函数的图像 观察其变化规律 1 从左至右图像上升还是下降 2 在区间 上 随着x的增大 f x 的值随着 f x x 增大 上升 1 在区间 上 f x 的值随着x的增大而 2 在区间 上 f x 的值随着x的增大而 f x x2 0 0 增大 减小 画出下列函数的图像 观察其变化规律 如图 你能说出它的函数值y随自变量x的变化情况吗 怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢 o 在函数y f x 的定义域内的一个区间a上 如果对于任意两数x1 x2 a 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么 就称函数y f x 在区间a上是增加的 有时也称函数y f x 在区间a上是递增的 1 增函数 2 减函数 在函数y f x 的定义域内的一个区间a上 如果对于任意两数x1 x2 a 当x1f x2 那么 就称函数y f x 在区间a上是减少的 有时也称函数y f x 在区间a上是递减的 3 单调区间 单调性 单调函数 如果y f x 在区间a上是增加的或是减少的 那么称a为单调区间 如果函数y f x 在定义域的某个子集上是增加的或是减少的 那么就称函数y f x 在这个子集上具有单调性 如果函数y f x 在整个定义域内是增加的或是减小的 我们分别称这个函数为增函数或减函数 统称为单调函数 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质 是函数的局部性质 注意 2 必须是对于区间a内的任意两个自变量x1 x2 当x1f x2 分别是增函数或减函数 例1说出函数的单调区间 并指明在该区间上的单调性 解 0 和 0 都是函数的单调区间 在这两个区间上函数是减少的 图像不是连续上升或连续下降时 相同单调区间不能合并 证明 设x1 x2是 0 上任意两个实数 且x1 x2 则 因此f x 在 0 上是减函数 证明 函数在 0 上是减函数 f x1 f x2 由于x1 x2 得x1x2 0 又由x10 所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 变式练习 例2画出函数的图像 判断它的单调性 并加以证明 解 作出f x 3x 2的图像 由图看出 函数f x 的图像在r上是上升的 函数f x 是r上的增函数 证明 设是r上的任意两个实数 且则 在r上是增函数 取值 作差变形 判断差值符号 下结论 函数的单调性是对某个区间而言的 对于单独的一点 由于它的函数值是唯一确定的数 因而没有增减变化 因此 在考虑它的单调区间时 端点有定义时包括端点 端点无定义时不包括端点 我们观察上图 可知对于定义域中的任意x 都有f x f 1 我们就说f 1 是这个函数的最大值 4 最大值 一般地 对于函数y f x 其定义域为d 如果存在x0 d f x0 m 使得对于任意的x d 都有f x m 那么 我们称m是函数y f x 的最大值 即当x x0时 f x0 是函数y f x 的最大值 记作ymax f x0 例3如图 某地要修一个圆形的喷水池 水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下 以水池的中央为坐标原点 水平方向为x轴 竖直方向为y轴建立平面直角坐标系 那么水流喷出的高度h 单位 m 与水平距离x 单位 m 之间的函数关系式为h x2 2x 求水流喷出的高度h的最大值是多少 解 由函数h x2 2x 的图像可知 显然 函数图像的顶点就是水流喷出的最高点 此时函数取得最大值 对于函数h x2 2x 当x 1时 函数有最大值hmax 12 2 1 m 于是水流喷出的最高高度是m 例4已知函数 求函数的最大值和最小值 分析 由函数的图像可知 函数f x 在区间 0 2 上递增 所以 函数f x 在区间 0 2 的两个端点上分别取得最小值和最大值 解 设x1 x2是区间 0 2 上的任意两个实数 且x1 x2 则 由0 x10 x1 1 x2 1 0 所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 故f x 在区间 0 2 上是增加的 因此 函数在区间 0 2 的左端点取得最小值 右端点取得最大值 即最小值是f 0 2 最大值是f 2 利用其单调性求最值 1 2012 东营高一检测 若函数f x 在区间 a b 及 b c 上都单调递减 则f x 在区间 a c 上的单调性为 a 单调递减 b 单调递增 c 一定不单调 d 不确定 d 2 函数y x 2 的单调减区间是 2 1 3 函数的单调增区间是 4 如图 已知y f x 的图像 包括端点 根据图像说出函数的单调区间 以及在每一单调区间上 函数是增函数还是减函数 2 1 0 1 上是减函数 1 0 1 2 上是增函数 5 求函数f x 3x 2 x 2 7 的最大值和最小值 解 由函数f x 3x 2在区间 2 7 上是减函数 可知 f x max f 2 4 f x min f 7 19 讨论函数的单调性必须在定义域内进行 故讨论函数的单调性 必须先确定函数的定义域 根据定义