度高中数学 1.4.3 正切函数的性质与图象同步辅导与检测课件 新人教A版必修4.ppt

三角函数 1 4三角函数的图象与性质1 4 3正切函数的性质与图象 1 理解正切函数的性质 掌握正切函数的图象的作法 2 能利用正切函数的图象与性质解决与正切函数有关的基本问题 基础梳理 一 正切函数的性质 1 正切函数的定义域和值域 定义域为 值域为 2 正切函数的周期性 y tanx的周期是 k z k 0 最小正周期是 3 正切函数的奇偶性与对称性 正切函数是 函数 其图象关于原点 4 正切函数的单调性 正切函数在开区间 k z 内都是增函数 一 1 r 2 k 3 奇中心对称 4 练习1 正切函数y tanx在区间上的值域为 1 1 思考应用 1 能否说正切函数在整个定义域上是增函数 解析 不能 正切函数在整个定义域上不具有单调性 因为它的定义域不连续 所以 不能说它在整个定义域上是增函数 正切函数在它的任一个连续区间内是单调递增函数 举反例 x1 x2 x1 x2 tanx1 tanx2这与单调性的定义矛盾 对每一个k z 在开区间内 函数单调递增 二 正切函数的图象 1 根据正切函数y tanx的定义和周期 通过 单位圆中的 来作出它在区间上的图象 平移 正切线 2 将正切函数y tanx在区间上的图象向左 右扩展 就可以得到正切函数y tanx的图象 我们把它叫做 正切曲线是被互相平行的直线x k z 所隔开的无数多支曲线组成的 这些平行直线x k z 叫做正切曲线各支的 2 正切曲线k k 渐近线 3 结合正切曲线的特征 类比正弦 余弦函数的 五点法 作图 也可用 作图法作出正切函数y tanx在一个单调区间上的简图 其中 三点为 0 0 二线为 x x 画图时 注意图象不能与直线x k k z 相交 三点两线 思考应用 2 你能求不等式tanx 的解集吗 分析 本题可利用图象直观解决 解析 作正切函数y tanx在区间上的简图 观察图象 且由正切函数y tanx在区间上单调递增 tan tanx 即tanx tan 在区间内 不等式tanx 的解集 故由正切函数的周期性可知原不等式的解集为 k z 自测自评 解析 因为 3 所以最小正周期t 故选b 答案 b 2 下列命题正确的是 a 正切函数在定义域内是增函数b 正弦函数在定义域内是增函数c 函数y 3tan的图象关于y轴对称d 若x是第一象限角 则y tanx是增函数 y cosx是减函数 解析 正弦函数 余弦函数与正切函数都是区间上的单调函数 可排除a b d 选c 答案 c 4 函数y 的值域是 a 1 1 b 1 1 c 1 d 1 正切函数的图象 函数y tan在一个周期内的图象是 分析 本题主要考查函数y atan x 的图象 点评 三点两线法是作正切函数图象的常用方法 跟踪训练 正切函数的周期性 求下列函数的最小正周期 1 y tan 2 y tanx 分析 本题主要考查正切函数的周期 1 式利用t 求解 2 式应画出函数y tanx 的图象 利用图象法求解 解析 1 最小正周期t 3 2 函数y tanx 的图象是将函数y tanx的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折上去 其余不变 因此函数y tanx 的最小正周期为 点评 函数y tan x 的最小正周期为t 跟踪训练 分析 本题主要考查正切函数的周期 利用t 求解即可 正切函数的单调性 求函数y tan的单调减区间 分析 求y atan x 的单调区间 首先把x的系数化为正的 再利用整体代换 将 x 代入相应不等式中 求解相应变量x的取值范围 跟踪训练 3 比较tan1 tan2 tan3的大小 分析 比较正切函数值的大小 应首先把相关角化为同一单调区间的角 再利用单调性比较大小 如不是一个单调区间的角 则可用介值法进行比较 解析 tan2 tan 2 tan3 tan 3 0 3 2 2 3 0 1 而函数y tanx在区间上单调递增 则tan 2 tan 3 tan1 即tan2 tan3 tan1 正切函数的综合问题 画出函数y tanx tanx的图象 并指出其定义域 值域 最小正周期和单调增区间 分析 本题主要考查正切函数的图象和性质 应先对tanx值的符号分类讨论 作出函数y tanx tanx的图象后 再进行研究 跟踪训练 4 设函数y 10tan k n 当x在任意两个连续整数间 包括整数本身 变化时至少有两次失去意义 求k的最小正整数值 一级训练1 函数y tan的周期为 a b c 2 d 4 解析 tan600 tan 360 240 tan240 tan 180 60 tan60 答案 d 1 正切函数单调区间的求法 求y atan x 的单调区间 可先用诱导公式把 化为正值 再由不等式k x k k z 求得x的范围即可 2 比较大小问题 比较两个同名函数值的大小 应先保证自变量在同一单调区间内 再利用函数单调性比较大小