高考数学一轮复习 6.3等比数列的概念及基本运算课件.ppt

课标版理数 6 3等比数列的概念及基本运算 1 如果一个数列从 第二项起 每一项与前一项的比等于 同一个常数 那么这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 通常用字母q表示 定义的表达式为 q n n 2 如果a g b成等比数列 那么g叫做a与b的 等比中项 且g 3 等比数列的通项公式为 an a1qn 1或 an amqn m 4 等比数列的公比公式为 qn 1 或 qn m 5 等比数列的前n项和公式sn 6 等比数列的性质 1 m n p q n 若m n p q 则am an ap aq的关系为aman apaq 特别地 a1 an a2an 1 2 若 an 和 bn 均是等比数列 则 manbn m 0 仍为等比数列 3 等比数列 公比q 1 中依次k项的和成等比数列 即sk s2k sk s3k s2k 成等比数列 其公比为qk 1 已知等差数列 an 的公差为 2 且a2 a4 a5成等比数列 则a2等于 a 4b 6c 8d 8 答案d由题意可得 a2 a5 a2 2d 2 a2 a2 3d 又d 2 a2 8 故选d 2 已知等比数列 an 中 有a3a11 4a7 数列 bn 是等差数列 且b7 a7 则b5 b9等于 a 2b 4c 8d 16 答案c a3a11 4a7 a7 0 a7 4 b7 4 bn 为等差数列 b5 b9 2b7 8 故选c 3 已知等比数列 an 的公比为q 前n项和为sn 且s3 s9 s6成等差数列 则q3等于 a 1b c 1或d 1或 答案b由已知得 2s9 s3 s6 且q 1 运用等比数列的求和公式 得 去分母并整理得2q6 q3 1 0 q3 1 2q3 1 0 q 1 q3 故选b 4 在等比数列 an 中 若a1 a5 16 a4 8 则a6 答案32解析由题意得 a2 a4 a1 a5 16 a2 2 q2 4 a6 a4q2 32 5 设y f x 是一次函数 若f 0 1且f 1 f 4 f 13 成等比数列 则f 2 f 4 f 2n 答案n 2n 3 解析设f x ax b a 0 由f 0 1 得b 1 f 1 f 4 f 13 成等比数列 f 4 2 f 1 f 13 4a 1 2 a 1 13a 1 得a 2 则f x 2x 1 所以f 2 f 4 f 2n 2 2 4 6 2n n n 2n 3 典例1 1 2014重庆 2 5分 对任意等比数列 an 下列说法一定正确的是a a1 a3 a9成等比数列b a2 a3 a6成等比数列c a2 a4 a8成等比数列d a3 a6 a9成等比数列 2 2013课标全国 3 5分 等比数列 an 的前n项和为sn 已知s3 a2 10a1 a5 9 则a1 a b c d 答案 1 d 2 c解析 1 设公比为q 则 q4 a1 a9 q8 a2 a6 q6 当q 1时 a b均不正确 又 q6 a2 a8 q8 同理 c不正确 由 q10 a3 a9 q10 知d正确 等比数列的概念及运算 2 由已知条件及s3 a1 a2 a3得a3 9a1 设数列 an 的公比为q 则q2 9 所以a5 9 a1 q4 81a1 得a1 故选c 1 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题 等比数列中 五个量a1 n q an sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 可迎刃而解 在解方程组的过程中要注意 相除 消元的方法 同时要注意整体代入 换元 思想方法的应用 2 在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公比q是否等于1进行判断和讨论 3 在解决等比数列的有关问题时 要注意挖掘隐含条件 利用性质 特别是性质 若m n p q m n p q n 则am an ap aq 可以减少运算量 提高解题速度 1 1已知各项均为正数的等比数列 an 中 a1 a2 a3 5 a7 a8 a9 10 求a4 a5 a6的值 解析由等比中项性质得a1 a2 a3 5 a7 a8 a9 10 a4 a5 a6 a2 a5 a8成等比数列 则 a2 a8 5 10 50 5 又an 0 a4 a5 a6 5 1 2等比数列 an 的前n项和为sn 已知s1 s3 s2成等差数列 1 求 an 的公比q 2 若a1 a3 3 求sn 解析 1 依题意有a1 a1 a1q 2 a1 a1q a1q2 由于a1 0 故2q2 q 0 又q 0 从而q 2 由已知可得a1 a1 3 故a1 4 从而sn 典例2 2014课标 17 12分 已知数列 an 满足a1 1 an 1 3an 1 1 证明是等比数列 并求 an 的通项公式 2 证明 解析 1 由an 1 3an 1得an 1 3 又a1 所以是首项为 公比为3的等比数列 an 因此 an 的通项公式为an 2 证明 由 1 知 等比数列的证明 因为当n 1时 3n 1 2 3n 1 所以 于是 1 所以 1 证明等比数列的两种基本方法证明数列 an 各项不为零 是等比数列的两个基本方法 1 q q是与n值无关的常数 n n 2 anan 2 n n 2 证明某一数列是等比数列 不能只证数列中某连续三项成等比数列 证明数列不是等比数列 可以通过数列中的三个连续项不成等比数列来证明 也可以用反证法 2 1已知数列 an 的前n项和sn 2an 1 求证 an 是等比数列 并求出通项公式 解析 sn 2an 1 sn 1 2an 1