高中数学 3.2 第4课时 空间向量与空间距离课件 新人教A版选修21.ppt

第4课时空间向量与空间距离 空间中的距离1 空间两点间的距离 设a b为空间中任意两点且a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则 2 空间点到平面的距离 设 是过点p垂直于向量n的平面 a是平面 外的一定点 试根据下面的提示填空 1 作法 aa 垂足为a 2 图示 3 结论 点a到平面 的距离d等于线段 的长度 向量在n上的投影的大小等于线段 的长度 n0是n方向上的单位向量 向量公式 d aa aa 判断 正确的打 错误的打 1 点到直线的距离是指过该点作直线的垂线 该点与垂足间的距离 2 直线到平面的距离指直线与平面平行时 直线上任意一点到平面的距离 3 两异面直线间的距离不能转化为点到平面的距离 提示 1 正确 由距离的定义可知 2 正确 当直线与平面平行时 直线上任意一点到平面的距离相等 3 错误 异面直线间的距离可以构造线面平行转化为点到平面的距离 答案 1 2 3 知识点拨 1 对空间距离公式的说明运用向量法求解空间距离问题 其一般方法是找出代表相应距离的线段所对应的向量 然后计算这个向量的模 公式 向量在向量n方向上的射影的长 该公式为点到面的距离公式或异面直线间的距离公式 其中n为法向量 如下图 2 对空间中的两种距离的认识 1 面面距 与两平行平面同时垂直的直线叫做两个平面的公垂线 公垂线夹在两平行平面之间的部分叫两个平面的公垂线段 两个平行平面的公垂线段的长度 叫做两平行平面之间的距离 2 空间中两条异面直线的距离 直线到平面的距离 两个平面的距离都可转化为点面距 类型一求空间两点间的距离 典型例题 1 已知ab bc cd为两两垂直的三条线段 且它们的长都为2 则ad的长为 a 4b 2c 32 如图所示 已知矩形abcd中 ab 4 ad 3 沿对角线ac折叠 使平面abc与平面adc垂直 求线段bd的长 解题探究 1 题目中求线段的长度能否转化为两点间的距离 从而应用两点间的距离公式 2 若采用向量法求解 有哪些方法 探究提示 1 可根据题目条件建立空间直角坐标系求出相关点的坐标 应用两点间的距离公式求解 2 若采用向量法求解 可利用坐标法 转化为两点间距离 也可利用向量的线性运算及数量积运算求解 解析 1 选d 方法一 建立如图所示的坐标系 据题意知 a 2 0 0 d 0 2 2 方法二 方法三 如图所示 把ab bc cd看成为一个正方体的三条棱 由勾股定理得 2 方法一 过点d和b分别作de ac于e bf ac于f 则由已知条件可知ac 5 由已知得 平面adc 平面abc de ac de bf 方法二 过点d作de ac于点e 过点b作bf ac于点f 过点e作fb的平行线ep 以e为坐标原点 ep ec ed所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 如图所示 由题意知故点b d间的距离为 拓展提升 求空间两点间距离的方法 类型二点到直线距离的求法 典型例题 1 三棱锥s abc中 sa 平面abc ab ac 且as ab ac 2 d是sa的中点 则点d到bc的距离为 2 如图所示 在空间直角坐标系中有长方体abcd a b c d ab 1 bc 2 aa 3 求点b到直线a c的距离 解题探究 1 题1中若建立空间直角坐标系 如何建系较简单 2 求点到直线的距离的关键是什么 探究提示 1 以a为坐标原点 以ab ac as所在的直线分别为x轴 y轴 z轴建系较简单 2 求点到直线的距离的关键是找准垂直关系 求出相关点或向量的坐标 解析 1 如图所示 建立空间直角坐标系axyz 则d 0 0 1 b 2 0 0 c 0 2 0 在上的投影长为故d到bc的距离为答案 2 因为ab 1 bc 2 aa 3 所以a 0 0 3 c 1 2 0 b 1 0 0 所以直线a c的方向向量所以在上的投影为所以点b到直线a c的距离 拓展提升 点到直线距离的求法如图 pb l 垂足为b 则pb的长度即为p到l的距离 在不易确定垂足b的情况下 可在l上另取一点a 则ab为在上的投影 故在rt pab中有即p到l的距离d 因此求点p到直线l的距离可分以下几步完成 1 在直线l上取一点a 同时确定直线l的方向向量n 并求 2 计算直线上点a与已知点p对应的向量 3 计算在n0上的投影 4 由公式求距离 类型三求点到平面的距离 典型例题 1 已知向量n 2 0 1 为平面 的一个法向量 点a 1 2 1 在 内 则p 1 2 2 到 的距离为 a b c d 2 已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直 af 1 m是线段ef的中点 n为ac与bd的交点 求点b到平面cmn的距离 解题探究 1 用向量法求点到平面的距离 要求哪些关键的量 2 由已知点与平面上的某点所构成的向量在平面法向量上的投影是该点到平面的距离吗 探究提示 1 用向量法求点到平面的距离的过程中 要求出平面的法向量 以及由平面上的某点与已知点构成的向量 2 不是 由已知点与平面上的某点构成一个向量 此向量在法向量上的投影的绝对值才是该点到平面的距离 解析 1 选a 又平面 的一个法向量为n 2 0 1 p到 的距离为 2 建立如图所示的空间直角坐标系 则由题意知c 0 0 0 设n x y z 为平面cmn的法向量 则取x 1 得n 1 1 0 又故点b到平面cmn的距离 拓展提升 点到平面的距离的三种求法 1 定义法 这是常规方法 首先过点向平面作垂线 确定垂足的位置 然后将该线段放到一个直角三角形中 最后通过解三角形求得点到平面的距离 2 等体积法 把点到平面的距离视为一个三棱锥的高 利用三棱锥转化底面求体积 从而求得点到平面的距离 3 向量法 这是我们常用的方法 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤为 求出该平面的一个法向量 找到从该点出发到平面的任意一条斜线段所对应的向量 求出法向量与斜线段所对应的向量的数量积的绝对值 再除以法向量的模 即可求得点到平面的距离 变式训练 如图所示 棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为bb1 c1c的中点 过e f g的平面交aa1于点h 求a1d1到平面efgh的距离 解题指南 求直线到平面的距离可转化为求直线上一点到平面的距离 但本题向平面作垂线不易确定垂足 可考虑用向量的方法进行解题 解析 如图所示 以d为坐标原点 分别以da dc dd1所在的直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则由题意可知设平面efgh的法向量n x y z 则即令z 6 可得n 0 1 6 又 a1d1到平面efgh的距离为 规范解答 向量法求距离问题 条件分析 典例 规范解答 在平面abcd内作ap cd交cd于点p 如图 分别以ab ap ao所在直线为x y z轴建立空间直角坐标系 则a 0 0 0 b 1 0 0 o 0 0 2 4分 6分设平面ocd的法向量为n x y z 则 取z 得n 0 4 9分设点b到平面ocd的距离为d 点b到平面ocd的距离为 12分 失分警示 防范措施 1 提高运算能力应用向量法解题 计算结果的正确性至关重要 在向量的运算 法向量的求解过程中 运算的快捷准确是解题的关键 如本例计算n的坐标 2 转化思想的应用在求空间的各种距离时 要有转化的意识 求解的过程往往就是转化的过程 如本例中利用向量法求点面距等均体现了转化的思想 类题试解 已知斜三棱柱abc a1b1c1 bca 90 ac bc 2 a1在底面abc上的射影恰为ac的中点d 又知ba1 ac1 1 求证 ac1 平面a1bc 2 求点c1到平面a1ab的距离 解析 1 如图 取ab的中点e 连接de 则de bc 因为bc ac 所以de ac 且a1d 平面abc 以射线de dc da1分别为x y z轴的正半轴建立空间直角坐标系 则a 0 1 0 c 0 1 0 b 2 1 0 设其中t 0 则 ac1 cb 又 ba1 ac1 ac1 平面a1bc 2 由 1 知ac1 平面a1bc 设平面a1ab的法向量为所以设z 1 则所以点c1到平面a1ab的距离 1 已知则点a与g之间的距离为 解析 选a 2 已知a 1 0 0 b 1 2 3 c 1 2 1 则点a到直线bc的距离为 解析 选b 据条件知在向量方向上的投影为 点a到直线bc的距离为 3 在棱长为2的正方体abcd a1b1c1d1中 点e f分别是棱ab bc的中点 则点c1到平面b1ef的距离是 解析 选d 设所求距离为h 因为在 b1ef中 ef边上的高为 而e到平面b1c1f的距离eb 1 4 已知直三棱柱的各棱长都是2 且ab ac 则点a1到直线bc1的距离为 解析 建系如图 则b 2 0 0 a1 0 0 2 c1 0 2 2 上的投影为 点a1到直线的距离为答案 5 空间四边形abcd的各顶点坐标分