高中数学 5.4正、余弦定理及其应用配套课件 理 新人教A版.ppt

第四节正 余弦定理及其应用 三年11考高考指数 掌握正弦定理 余弦定理 并能初步运用它们解斜三角形 1 本节是高考的必考内容之一 选择题 填空题和解答题都可出现 难度一般以低中档为主 2 选择题 填空题的形式常用来直接考查正 余 弦定理 三角形的面积公式和三角形形状的判定 解答题主要是以正 余 弦定理为框架 以三角形为载体 综合考查三角问题 常与平面向量 不等式等知识结合在一起综合考查 3 解三角形的实际应用也是常考的题型之一 主要为用正 余 弦定理解决与测量和几何计算有关的实际问题 1 正弦定理和余弦定理 a2 b2 c2 2bc cosa b2 c2 a2 2ca cosb c2 a2 b2 2ab cosc a 2rsina b 2rsinb c 2rsinc a b c sina sinb sinc 已知两角和任一边 求另一角和其他两条边 已知两边和其中一边的对角 求另一边和其他两角 已知三边 求各角 已知两边和它们的夹角 求第三边和其他两个角 即时应用 1 思考 在 abc中 a b是sina sinb的什么条件 提示 充要条件 a b a b 2rsina 2rsinb sina sinb 2 abc的内角a b c的对边分别为a b c 若c b b 120 则a等于 解析 由正弦定理得 sinc 又 0 c 180 120 60 c 30 a 180 120 30 30 a c 答案 3 在 abc中 ab 3 bc ac 4 则边ac上的高为 解析 由余弦定理可得 cosa sina 则ac边上的高为ab sina 3 答案 2 常用三角形面积公式 1 s ha hb hc分别表示a b c边上的高 2 s r为三角形外接圆的半径 3 s r为三角形内切圆的半径 4 s p 即时应用 1 已知圆的半径r为4 a b c为该圆的内接三角形的三边 若abc 则三角形的面积为 2 在 abc中 若a 60 b 16 此三角形面积s 则a的值为 解析 1 s abc 2 由得c 55 由余弦定理得a2 162 552 2 16 55 cos60 2401 a 49 答案 1 2 49 利用正余弦定理解斜三角形 方法点睛 1 用正 余弦定理解三角形应注意的问题 1 合理选用正弦定理或余弦定理 2 不要忘记隐含条件 如三角形内角和定理 边角间的关系等 3 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时 可能会出现一解 两解或无解的情况 解题时要根据具体的条件 及 三角形中大边对大角 来判断解的情况 作出正确的取舍 2 解三角形中常用的关系式 1 a b c 2 三角形中大边对大角 反之亦然 3 三角形中任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 4 abc中的诱导公式sin a b sinc cos a b cosc tan a b tanc 5 abc中 tana tanb tanc tana tanb tanc 例1 在 abc中 内角a b c的对边长分别为a b c 已知a2 c2 2b 且sinacosc 3cosasinc 求b 解题指南 由条件a2 c2 2b知 解题中应考虑余弦定理 由条件sinacosc 3cosasinc 应考虑正 余弦定理或两角和差的正弦公式 规范解答 方法一 在 abc中 由sinacosc 3cosasinc及正弦定理 余弦定理得化简并整理得 2 a2 c2 b2 又a2 c2 2b 4b b2 解得b 4或b 0 舍去 方法二 由余弦定理得 a2 c2 b2 2bccosa 又a2 c2 2b b 0 所以b 2ccosa 2 又sinacosc 3cosasinc sinacosc cosasinc 4cosasinc sin a c 4cosasinc 即sinb 4cosasinc 由正弦定理得sinb 故b 4ccosa 由 解得b 4 反思 感悟 三角形中边角关系的转化 1 由正弦定理将各边的关系转化为对应角的正弦值 2 由余弦定理将角的余弦值转化成各边的关系 3 由正弦定理将角的正弦值转化成相应边 变式训练 在 abc中 设a b c分别是角a b c的对边 试根据以下已知条件解三角形 1 a 45 c 30 c 10 2 3 a 2 4 解析 1 b 180 a c 180 45 30 105 又 20sin75 20sin 45 30 20 sin45 cos30 cos45 sin30 2 在 abc中 由正弦定理得 a b a b b必为锐角 b 30 c 105 sinc sin105 sin 60 45 sin60 cos45 cos60 sin45 c 3 由余弦定理得cosa a 30 同理 cosb b 45 c 180 a b 180 30 45 105 4 cos15 cos 45 30 cos45 cos30 sin45 sin30 sinc c2 a2 b2 2abcosc 由正弦定理得sina a b a b a必为锐角 a 45 从而得b 120 变式备选 1 2011 天津高考 如图 在 abc中 d是边ac上的点 且ab ad 2ab bc 2bd 则sinc的值为 a b c d 解析 选d 设ab a 则ad a bd bc 2bd cosa sina 由正弦定理知sinc 2 2011 重庆高考 若 abc的内角a b c所对的边a b c满足 a b 2 c2 4 且c 60 则ab的值为 解析 选a 由 a b 2 c2 4得 a2 b2 c2 2ab 4 a2 b2 c2 2abcosc 故方程 化为2ab 1 cosc 4 ab 又 c 60 ab 利用正 余弦定理判断三角形的形状 方法点睛 1 判断三角形形状时的主要途径 1 利用正 余弦定理把已知条件转化为边之间的关系 通过因式分解 配方等方法得出三边的相应关系 进而判断出三角形的形状 2 利用正 余弦定理把已知条件转化为角的三角函数的关系 通过三角恒等变形 得出内角间的关系 进而判断出三角形的形状 2 在三角形中 有以下结论 以a为例 1 a2 b2 c2 0 a 2 a2 b2 c2 a 3 a2 b2 c2 a 例2 1 2012 梧州模拟 在 abc中 a b c a b c 3ab且acosb bcosa 则 abc的形状为 2 在 abc中 a b c分别是内角a b c的对边 若 a2 b2 sin a b a2 b2 sin a b 试判断该三角形的形状 解题指南 1 由条件式整理及余弦定理求得c及a b的关系式判断即可 2 将条件式展开 得到三角形的边角关系式 再运用正弦定理化成角进行判断 规范解答 1 由 a b c a b c 3ab得a2 b2 c2 ab cosc 从而c 又由acosb bcosa得整理得a2 b2 即a b 综上可得 abc为等边三角形 答案 等边三角形 2 由 a2 b2 sin a b a2 b2 sin a b 得a2 sin a b sin a b b2 sin a b sin a b 2a2cosasinb 2b2cosbsina 由正弦定理得sin2acosasinb sin2bcosbsina 0 a 0 b sina 0 sinb 0 sinacosa sinbcosb 即sin2a sin2b 2a 2b或2a 2b 即a b或a b abc为等腰三角形或直角三角形 互动探究 若将本例 2 中的条件 a2 b2 sin a b a2 b2 sin a b 改为 b2sin2c c2sin2b 2bc cosbcosc 如何求解 解析 方法一 由条件及正弦定理得sin2bsin2c sin2csin2b 2sinbsinccosbcosc sinbsinc 0 sinbsinc cosbcosc 0 即cos b c 0 b c a abc为直角三角形 方法二 由条件得b2 1 cos2c c2 1 cos2b 2bccosbcosc 由余弦定理得 abc为直角三角形 反思 感悟 判断三角形的形状时 要注意以下问题 1 注意应用a b c 这一结论 2 在解题中的变形中 一般不要约去等式两边的公因式 应移项提取公因式 以免漏解 3 注意 等腰直角三角形 与 等腰三角形或直角三角形 的区别 变式备选 已知 abc的三个内角a b c所对的边长分别为a b c 向量m 1 n cosb 1 且m n 1 求角b 2 若a c 判断 abc的形状 解析 1 m n m n 0 即cosb 1 sinb 0 得sinb cosb 1 b 0 2 当a 时 c abc为直角三角形 当a 时 abc为直角三角形 综上知 abc为直角三角形 正 余弦定理的综合应用 方法点睛 1 解三角形应用题的一般步骤 1 分析题意 分清已知与未知 画出示意图 2 建立数学模型 根据已知条件与求解目标 把已知量与求解量集中在相关三角形中 建立三角形的模型 3 求解 利用正 余弦定理解这些三角形 求得相关三角形的边或角 4 检验 作答 检验上述求得的解是否符合实际意义 并作出答案 2 解应用题时要注意的有关术语 名称 1 仰角和俯角在视线和水平线所成的角中 视线在水平线上方的角叫仰角 在水平线下方的角叫俯角 如图 2 方位角从正北方向按顺时针转到目标方向线的水平角 如b点的方位角为 如图 提醒 将实际问题抽象为三角形模型 把所给条件转化为三角形的边 角来处理 是解题的关键 例3 如图 a b是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点 现位于a点北偏东45 b点北偏西60 的d点有一艘轮船发出求救信号 位于b点南偏西60 且与b点相距海里的c点的救援船立即前往营救 其航行速度为30海里 小时 该救援船到达d点需要多长时间 解题指南 将条件转化为 abd的边角关系 在 abd中由正弦定理可得db 在 dbc中 由余弦定理可得cd的长度 进而可求得所需时间 规范解答 由题意知ab 5 3 海里 dba 90 60 30 dab 90 45 45 adb 180 45 30 105 在 abd中 由正弦定理得 db 又 dbc dba abc 30 90 60 60 bc 海里 在 dbc中 由余弦定理得cd2 bd2 bc2 2bd bc cosdbc cd 30海里 故所需时间t 1 小时 答 救援船到达d点需要1小时 反思 感悟 解三角形应用题时的关注点 1 合理地将实际问题转化为数学问题 2 在合适的三角形中 合理选择正弦定理或余弦定理求边或角 3 注意向实际问题的还原 特别要注意单位 变式训练 2012 安阳模拟 2011年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式 如图坡度为15 的观礼台上 某一列座位所在直线ab与旗杆所在直线mn共面 在该列的第一个座位a和最后一个座位b测得旗杆顶端n的仰角分别为60 和30 且座位a b的距离为米 则旗杆的高度为 米 解析 由题可知 ban 105 bna 30 abn 45 由正弦定理得解得an 在rt amn中 mn 30 故旗杆的高度为30米 答案 30 变式备选 如图 a b c d都在同一个与水平面垂直的平面内 b d为两岛上的两座灯塔的塔顶 测量船于水面a处测得b点和d点的仰角分别为75 30 于水面c处测得b点和d点的仰角均为60 ac 0 1km 试探究图中b d间距离与另外哪两点间距离相等 然后求b d的距离 计算结果精确到0 01km 1 414 2 449 解析 在 adc中 dac 30 adc 60 dac 30 cd ac 0 1 又 bcd 180 60 60 60 故cb所在直线是 cad底边ad的中垂线所在直线 所以bd ba 在 abc中 由正弦定理得即因此bd 0 33 km 故b d的距离约为0 33km 满分指导 解三角形问题的规范解答 典例 12分 2011 辽宁高考 abc的三个内角a b c所对的边分别为a b c asinasinb bcos2a 1 求 2 若求b 解题指南 1 根据正弦定理 先边化角 然后再角化边 即得 2 先结合余弦定理和已知条件求出cosb的表达式 再利用第 1 题的结论进行化简即得 规范答题 1 由正弦定理得 sin2asinb sinbcos2a 即sinb sin2a cos2a 3分故sinb 所以 6分 2 由余弦定理及c2 b2 得cosb 由 1 知b2 2a2 故c2 10分可得cos2b 又cosb 0 故cosb 所以b 45 12分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示与备考建议 1 2011 浙江高考 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 若acosa bsinb 则sinacosa cos2b 解析 选d 由acosa bsinb可得sinacosa sin2b 所以sinacosa cos2b sin2b cos2b 1 2 2011 安徽高考 已知 abc的一个内角为120 并且三边长构成公差为4的等差数列 则 abc的面积为 解析 设三角形中间边长为x 则x 0 另两边的长分别为x 4 x 4 那么 x 4 2 x2 x 4 2 2x x 4 cos120 解得x 10 所以s abc 答案 3 2011 新课标全国卷 在 abc中 b 60 ac 则ab 2bc的最大值为 解析 令ab c bc a 则由正弦定理得 c 2sinc a 2sina 且a c 120 ab 2bc c 2a 2sinc 4sina 2sinc 4sin 120 c 2sinc 4 其