高考数学大一轮复习 8.4直线、平面垂直的判定与性质课件 理 苏教版.ppt

8 4直线 平面垂直的判定与性质 第八章立体几何 数学苏 理 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 1 直线与平面垂直 任意 m n o a b a b 几个常用的结论 1 过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直 2 过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直 3 垂直于同一直线的两个平面互相平行 知识拓展 2 两个平面垂直 1 平面与平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是直二面角 就说这两个平面互相垂直 2 平面与平面垂直的判定定理 垂线 3 平面与平面垂直的性质定理 交线 l 3 线面角与二面角 1 直线和平面所成的角 平面的一条斜线与它在所成的锐角叫做这条直线与这个平面所成的角 当直线与平面垂直和平行 或直线在平面内 时 规定直线和平面所成的角分别为 平面内的射影 90 和0 2 二面角的有关概念 二面角 从一条直线和由这条直线出发的所组成的图形叫做二面角 二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个半平面内分别作的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 两个半平面 垂直于棱 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 直线l与平面 内的无数条直线都垂直 则l 2 若直线a 平面 直线b 则直线a与b垂直 3 直线a b 则a b 4 若 a a 5 a a 可填 与 中的一个 解析 中 由m n n 可得m 或m 或m与 相交 错误 中 由m 可得m 或m 或m与 相交 错误 中 由m n 可得m n 又n 则m 正确 中 由m n n 可得m与 相交或m 或m 错误 解析 思维升华 例1如图所示 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中点 证明 1 cd ae 思维点拨 题型一直线与平面垂直的判定与性质 解析 思维升华 思维点拨 通过cd 平面pac证明 也可通过ae 平面pcd得到结论 例1如图所示 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中点 证明 1 cd ae 题型一直线与平面垂直的判定与性质 解析 思维升华 证明在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd cd 平面abcd pa cd ac cd pa ac a cd 平面pac 而ae 平面pac cd ae 思维点拨 例1如图所示 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中点 证明 1 cd ae 题型一直线与平面垂直的判定与性质 1 证明直线和平面垂直的常用方法 判定定理 垂直于平面的传递性 a b a b 面面平行的性质 a a 面面垂直的性质 解析 思维升华 思维点拨 例1如图所示 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中点 证明 1 cd ae 题型一直线与平面垂直的判定与性质 2 证明线面垂直的核心是证线线垂直 而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质 因此 判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 3 线面垂直的性质 常用来证明线线垂直 解析 思维升华 思维点拨 例1如图所示 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中点 证明 1 cd ae 题型一直线与平面垂直的判定与性质 思维点拨 解析 思维升华 例1 2 pd 平面abe 例1 2 pd 平面abe 利用线面垂直的判定定理证明直线pd与平面abe内的两条相交直线垂直 思维点拨 解析 思维升华 证明由pa ab bc abc 60 可得ac pa e是pc的中点 ae pc 由 1 知ae cd 且pc cd c ae 平面pcd 而pd 平面pcd 例1 2 pd 平面abe 思维点拨 解析 思维升华 ae pd pa 底面abcd pa ab 又 ab ad且pa ad a ab 平面pad 而pd 平面pad 例1 2 pd 平面abe 思维点拨 解析 思维升华 ab pd 又 ab ae a pd 平面abe 例1 2 pd 平面abe 思维点拨 解析 思维升华 例1 2 pd 平面abe 1 证明直线和平面垂直的常用方法 判定定理 垂直于平面的传递性 a b a b 面面平行的性质 a a 面面垂直的性质 思维点拨 解析 思维升华 例1 2 pd 平面abe 2 证明线面垂直的核心是证线线垂直 而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质 因此 判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 3 线面垂直的性质 常用来证明线线垂直 思维点拨 解析 思维升华 跟踪训练1 2014 重庆 如图 四棱锥p abcd中 底面是以o为中心的菱形 po 底面abcd ab 2 bad m为bc上一点 且bm 1 证明 bc 平面pom 证明如图 因为四边形abcd为菱形 o为菱形中心 连结ob 则ao ob om2 ob2 bm2 2ob bm cos obm 所以ob2 om2 bm2 故om bm 又po 底面abcd 所以po bc 从而bc与平面pom内两条相交直线om po都垂直 所以bc 平面pom om2 ob2 bm2 2ob bm cos obm 所以ob2 om2 bm2 故om bm 又po 底面abcd 所以po bc 从而bc与平面pom内两条相交直线om po都垂直 所以bc 平面pom 2 若mp ap 求四棱锥p abmo的体积 解由 1 可得 设po a 由po 底面abcd知 poa为直角三角形 故pa2 po2 oa2 a2 3 由 pom也是直角三角形 2 若mp ap 求四棱锥p abmo的体积 连结am 在 abm中 am2 ab2 bm2 2ab bm cos abm 由已知mp ap 故 apm为直角三角形 则 2 若mp ap 求四棱锥p abmo的体积 此时s四边形abmo s aob s omb 所以四棱锥p abmo的体积 题型二平面与平面垂直的判定与性质 例2 2013 北京 如图 在四棱锥p abcd中 ab cd ab ad cd 2ab 平面pad 底面abcd pa ad e和f分别是cd pc的中点 求证 1 pa 底面abcd 解析 思维升华 思维点拨 解析 思维升华 思维点拨 平面pad 底面abcd 可由面面垂直的性质证pa 底面abcd 题型二平面与平面垂直的判定与性质 例2 2013 北京 如图 在四棱锥p abcd中 ab cd ab ad cd 2ab 平面pad 底面abcd pa ad e和f分别是cd pc的中点 求证 1 pa 底面abcd 解析 思维升华 思维点拨 证明 平面pad 平面abcd ad 又平面pad 平面abcd 且pa ad pa 底面abcd 题型二平面与平面垂直的判定与性质 例2 2013 北京 如图 在四棱锥p abcd中 ab cd ab ad cd 2ab 平面pad 底面abcd pa ad e和f分别是cd pc的中点 求证 1 pa 底面abcd 1 判定面面垂直的方法 面面垂直的定义 面面垂直的判定定理 a a 2 在已知平面垂直时 一般要用性质定理进行转化 在一个平面内作交线的垂线 转化为线面垂直 然后进一步转化为线线垂直 解析 思维升华 思维点拨 题型二平面与平面垂直的判定与性质 例2 2013 北京 如图 在四棱锥p abcd中 ab cd ab ad cd 2ab 平面pad 底面abcd pa ad e和f分别是cd pc的中点 求证 1 pa 底面abcd 解析 思维升华 例2 2 be 平面pad 思维点拨 解析 思维升华 思维点拨 例2 2 be 平面pad 由be ad可得线面平行 证明 ab cd cd 2ab e为cd的中点 ab de 且ab de 四边形abed为平行四边形 be ad 又 be 平面pad ad 平面pad be 平面pad 解析 思维升华 思维点拨 例2 2 be 平面pad 解析 思维升华 思维点拨 例2 2 be 平面pad 1 判定面面垂直的方法 面面垂直的定义 面面垂直的判定定理 a a 2 在已知平面垂直时 一般要用性质定理进行转化 在一个平面内作交线的垂线 转化为线面垂直 然后进一步转化为线线垂直 解析 思维升华 思维点拨 例2 3 平面bef 平面pcd 解析 思维升华 思维点拨 例2 3 平面bef 平面pcd 证明直线cd 平面bef 证明 ab ad 且四边形abed为平行四边形 be cd ad cd 由 1 知pa 底面abcd 则pa cd 又pa ad a cd 平面pad 解析 思维升华 思维点拨 例2 3 平面bef 平面pcd 从而cd pd 又e f分别为cd cp的中点 ef pd 故cd ef 由ef be在平面bef内 且ef be e cd 平面bef 又 cd 平面pcd 平面bef 底面pcd 解析 思维升华 思维点拨 例2 3 平面bef 平面pcd 解析 思维升华 思维点拨 例2 3 平面bef 平面pcd 1 判定面面垂直的方法 面面垂直的定义 面面垂直的判定定理 a a 2 在已知平面垂直时 一般要用性质定理进行转化 在一个平面内作交线的垂线 转化为线面垂直 然后进一步转化为线线垂直 跟踪训练2 2014 北京 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 侧棱垂直于底面 ab bc aa1 ac 2 bc 1 e f分别是a1c1 bc的中点 1 求证 平面abe 平面b1bcc1 证明在三棱柱abc a1b1c1中 bb1 底面abc 所以bb1 ab 又因为ab bc 跟踪训练2 2014 北京 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 侧棱垂直于底面 ab bc aa1 ac 2 bc 1 e f分别是a1c1 bc的中点 1 求证 平面abe 平面b1bcc1 所以ab 平面b1bcc1 又ab 平面abe 所以平面abe 平面b1bcc1 2 求证 c1f 平面abe 证明取ab的中点g 连结eg fg 因为e f分别是a1c1 bc的中点 因为ac a1c1 且ac a1c1 所以fg ec1 且fg ec1 所以四边形fgec1为平行四边形 2 求证 c1f 平面abe 所以c1f eg 又因为eg 平面abe c1f 平面abe 所以c1f 平面abe 3 求三棱锥e abc的体积 题型三直线 平面垂直的综合应用 思维点拨 解析 思维升华 例3如图所示 在四棱锥p abcd中 平面pad 平面abcd ab dc pad是等边三角形 已知bd 2ad 8 ab 2dc 4 1 设m是pc上的一点 求证 平面mbd 平面pad 思维点拨 解析 思维升华 因为两平面垂直与m点位置无关 所以在平面mbd内一定有一条直线垂直于平面pad 考虑证明bd 平面pad 题型三直线 平面垂直的综合应用 例3如图所示 在四棱锥p abcd中 平面pad 平面abcd ab dc pad是等边三角形 已知bd 2ad 8 ab 2dc 4 1 设m是pc上的一点 求证 平面mbd 平面pad 思维点拨 解析 思维升华 证明在 abd中 ad 4 bd 8 ab 4 题型三直线 平面垂直的综合应用 例3如图所示 在四棱锥p abcd中 平面pad 平面abcd ab dc pad是等边三角形 已知bd 2ad 8 ab 2dc 4 1 设m是pc上的一点 求证 平面mbd 平面pad ad2 bd2 ab2 ad bd 又 平面pad 平面abcd 平面pad 平面abcd ad 思维点拨 解析 思维升华 bd 平面abcd bd 平面pad 又bd 平面mbd 平面mbd 平面pad 题型三直线 平面垂直的综合应用 例3如图所示 在四棱锥p abcd中 平面pad 平面abcd ab dc pad是等边三角形 已知bd 2ad 8 ab 2dc 4 1 设m是pc上的一点 求证 平面mbd 平面pad 思维点拨 解析 思维升华 垂直关系综合题的类型及解法 1 三种垂直的综合问题 一般通过作辅助线进行线线 线面 面面垂直间的转化 2 垂直与平行结合问题 求解时应注意平行 垂直的性质及判定的综合应用 题型三直线 平面垂直的综合应用 例3如图所示 在四棱锥p abcd中 平面pad 平面abcd ab dc pad是等边三角形 已知bd 2ad 8 ab 2dc 4 1 设m是pc上的一点 求证 平面mbd 平面pad 思维点拨 解析 思维升华 3 垂直与体积结合问题 在求体积时 可根据线面垂直得到表示高的线段 进而求得体积 题型三直线 平面垂直的综合应用 例3如图所示 在四棱锥p abcd中 平面pad 平面abcd ab dc pad是等边三角形 已知bd 2ad 8 ab 2dc 4 1 设m是pc上的一点 求证 平面mbd 平面pad 例3 2 求四棱锥p abcd的体积 思维点拨 解析 思维升华 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 求四棱锥p abcd的体积 四棱锥底面为一梯形 高为p到平面abcd的距离 解过p作po ad 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 求四棱锥p abcd的体积 平面pad 平面abcd po 平面abcd 即po为四棱锥p abcd的高 又 pad是边长为4的等边三角形 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 求四棱锥p abcd的体积 在底面四边形abcd中 ab dc ab 2dc 四边形abcd为梯形 在rt adb中 斜边ab边上的高为 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 求四棱锥p abcd的体积 此即为梯形的高 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 求四棱锥p abcd的体积 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 求四棱锥p abcd的体积 垂直关系综合题的类型及解法 1 三种垂直的综合问题 一般通过作辅助线进行线线 线面 面面垂直间的转化 2 垂直与平行结合问题 求解时应注意平行 垂直的性质及判定的综合应用 思维点拨 解析 思维升华 例3 2 求四棱锥p abcd的体积 3 垂直与体积结合问题 在求体积时 可根据线面垂直得到表示高的线段 进而求得体积 跟踪训练3 2013 江西 如图 直四棱柱abcd a1b1c1d1中 ab cd ad ab ab 2 ad aa1 3 e为cd上一点 de 1 ec 3 1 证明 be 平面bb1c1c 跟踪训练3 2013 江西 如图 直四棱柱abcd a1b1c1d1中 ab cd ad ab ab 2 ad aa1 3 e为cd上一点 de 1 ec 3 1 证明 be 平面bb1c1c 跟踪训练3 2013 江西 如图 直四棱柱abcd a1b1c1d1中 ab cd ad ab ab 2 ad aa1 3 e为cd上一点 de 1 ec 3 1 证明 be 平面bb1c1c 在 bec中 因为be2 bc2 9 ec2 故be bc 跟踪训练3 2013 江西 如图 直四棱柱abcd a1b1c1d1中 ab cd ad ab ab 2 ad aa1 3 e为cd上一点 de 1 ec 3 1 证明 be 平面bb1c1c 由bb1 平面abcd得be bb1 又bb1 bc b 所以be 平面bb1c1c 2 求点b1到平面ea1c1的距离 2 求点b1到平面ea1c1的距离 设点b1到平面a1c1e的距离为d 则三棱锥b1 a1c1e的体积 思维点拨 解析 思维升华 题型四线面角 二面角的求法 例4如图 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中点 1 求pb和平面pad所成的角的大小 先找出pb和平面pad所成的角 线面角的定义要能灵活运用 题型四线面角 二面角的求法 例4如图 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中点 1 求pb和平面pad所成的角的大小 思维点拨 解析 思维升华 解在四棱锥p abcd中 因为pa 底面abcd ab 平面abcd 故pa ab 又ab ad pa ad a 从而ab 平面pad 题型四线面角 二面角的求法 例4如图 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中点 1 求pb和平面pad所成的角的大小 思维点拨 解析 思维升华 从而 apb为pb和平面pad所成的角 在rt pab中 ab pa 故 apb 45 所以pb和平面pad所成的角的大小为45 题型四线面角 二面角的求法 例4如图 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中点 1 求pb和平面pad所成的角的大小 思维点拨 解析 思维升华 故pb在平面pad内的射影为pa 题型四线面角 二面角的求法 例4如图 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中点 1 求pb和平面pad所成的角的大小 求线面角 二面角的常用方法 1 线面角的求法 找出斜线在平面上的射影 关键是作垂线 找垂足 要把线面角转化到一个三角形中求解 思维点拨 解析 思维升华 题型四线面角 二面角的求法 例4如图 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中点 1 求pb和平面pad所成的角的大小 2 二面角的大小求法 二面角的大小用它的平面角来度量 平面角的作法常见的有 定义法 垂面法 注意利用等腰 等边三角形的性质 思维点拨 解析 思维升华 例4 2 证明 ae 平面pcd 证明在四棱锥p abcd中 因为pa 底面abcd cd 平面abcd 故cd pa 由条件cd ac pa ac a cd 平面pac 又ae 平面pac ae cd 由pa ab bc abc 60 可得ac pa 例4 2 证明 ae 平面pcd e是pc的中点 ae pc 又pc cd c 综上得ae 平面pcd 例4 3 求二面角a pd c的正弦值 思维点拨 解析 思维升华 例4 3 求二面角a pd c的正弦值 可以利用线面垂直根据二面角的定义作角 思维点拨 解析 思维升华 例4 3 求二面角a pd c的正弦值 解过点e作em pd 垂足为m 连结am 如图所示 由 2 知 ae 平面pcd am在平面pcd内的射影是em 则可证得am pd 思维点拨 解析 思维升华 例4 3 求二面角a pd c的正弦值 因此 ame是二面角a pd c的平面角 由已知 可得 cad 30 设ac a 可得 思维点拨 解析 思维升华 例4 3 求二面角a pd c的正弦值 在rt adp中 am pd am pd pa ad 思维点拨 解析 思维升华 例4 3 求二面角a pd c的正弦值 在rt aem中 思维点拨 解析 思维升华 例4 3 求二面角a pd c的正弦值 思维点拨 解析 思维升华 例4 3 求二面角a pd c的正弦值 求线面角 二面角的常用方法 1 线面角的求法 找出斜线在平面上的射影 关键是作垂线 找垂足 要把线面角转化到一个三角形中求解 思维点拨 解析 思维升华 例4 3 求二面角a pd c的正弦值 2 二面角的大小求法 二面角的大小用它的平面角来度量 平面角的作法常见的有 定义法 垂面法 注意利用等腰 等边三角形的性质 思维点拨 解析 思维升华 跟踪训练4已知在四棱锥p abcd中 底面abcd是边长为4的正方形 pad是正三角形 平面pad 平面abcd e f g分别是pa pb bc的中点 1 求证 ef 平面pad 证明 平面pad 平面abcd 且平面pad 平面abcd ad ab ad ab 平面pad e f为pa pb的中点 ef ab ef 平面pad 2 求平面efg与平面abcd所成锐二面角的大小 解取ad的中点h 连结eh gh ef hg ab hg hg是所求二面角的棱 hg ef hg 平面pad 2 求平面efg与平面abcd所成锐二面角的大小 ad hg eh hg eha是锐二面角的平面角 pad为正三角形 且ed pd eha 60 3 若m为线段ab上靠近a的一个动点 问当am长度等于多少时 直线mf与平面efg所成角的正弦值等于 解过m作mk 平面efg于k 连结kf 则 kfm即为mf与平面efg所成角 因为ab ef 故ab 平面efg 故ab上的点m到平面efg的距离等于a到平面efg的距离 hg 平面pad 平面efgh 平面pad于eh 3 若m为线段ab上靠近a的一个动点 问当am长度等于多少时 直线mf与平面efg所成角的正弦值等于 在直角梯形efma中 ae ef 2 3 若m为线段ab上靠近a的一个动点 问当am长度等于多少时 直线mf与平面efg所成角的正弦值等于 思想与方法系列13立体几何证明问题中的转化思想 规范解答 思维点拨 温馨提醒 典例 14分 如图所示 m n k分别是正方体abcd a1b1c1d1的棱ab cd c1d1的中点 求证 1 an 平面a1mk 要证线面平行 需证线线平行 规范解答 思维点拨 温馨提醒 证明如图所示 连结nk 在正方体abcd a1b1c1d1中 四边形aa1d1d dd1c1c都为正方形 aa1 dd1 aa1 dd1 c1d1 cd c1d1 cd n k分别为cd c1d1的中点 规范解答 思维点拨 温馨提醒 dn d1k dn d1k 四边形dd1kn为平行四边形 kn dd1 kn dd1 aa1 kn aa1 kn 四边形aa1kn为平行四边形 an a1k a1k 平面a1mk an 平面a1mk an 平面a1mk 规范解答 思维点拨 温馨提醒 1 线面平行 垂直关系的证明问题的指导思想是线线 线面 面面关系的相互转化 交替使用平行 垂直的判定定理和性质定理 2 线线关系是线面关系 面面关系的基础 证明过程中要注意利用平面几何中的结论 如证明平行时常用的中位线 平行线分线段成比例 证明垂直时常用的等腰三角形的中线等 3 证明过程一定要严谨 使用定理时要对照条件 步骤书写要规范 规范解答 思维点拨 温馨提醒 规范解答 思维点拨 温馨提醒 2 平面a1b1c 平面a1mk 规范解答 思维点拨 温馨提醒 要证面面垂直 需证线面垂直 要证线面垂直 需证线线垂直 规范解答 思维点拨 温馨提醒 证明如图所示 连结bc1 在正方体abcd a1b1c1d1中 ab c1d1 ab c1d1 m k分别为ab c1d1的中点 bm c1k bm c1k 四边形bc1km为平行四边形 mk bc1 在正方体abcd a1b1c1d1中 a1b1 平面bb1c1c 规范解答 思维点拨 温馨提醒 bc1 平面bb1c1c a1b1 bc1 mk bc1 a1b1 mk 四边形bb1c1c为正方形 bc1 b1c mk b1c a1b1 平面a1b1c b1c 平面a1b1c a1b1 b1c b1 mk 平面a1b1c 又 mk 平面a1mk 平面a1b1c 平面a1mk 规范解答 思维点拨 温馨提醒 1 线面平行 垂直关系的证明问题的指导思想是线线 线面 面面关系的相互转化 交替使用平行 垂直的判定定理和性质定理 2 线线关系是线面关系 面面关系的基础 证明过程中要注意利用平面几何中的结论 如证明平行时常用的中位线 平行线分线段成比例 证明垂直时常用的等腰三角形的中线等 3 证明过程一定要严谨 使用定理时要对照条件 步骤书写要规范 方法与技巧 1 三类论证 1 证明线线垂直的方法 定义 两条直线所成的角为90 平面几何中证明线线垂直的方法 线面垂直的性质 a b a b 线面垂直的性质 a b a b 方法与技巧 2 证明线面垂直的方法 线面垂直的定义 a与 内任何直线都垂直 a 判定定理2 a b a b 面面平行的性质 a a 面面垂直的性质 l a a l a 方法与技巧 3 证明面面垂直的方法 利用定义 两个平面相交 所成的二面角是直二面角 判定定理 a a 2 转化思想 垂直关系的转化 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线 若这样的直线图中不存在 则可通过作辅助线来解决 失误与防范 1 在解决直线与平面垂直的问题过程中 要注意直线与平面垂直的定义 判定定理和性质定理的联合交替使用 即注意线线垂直和线面垂直的互相转化 2 面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据 我们要作一个平面的一条垂线 通常是先找这个平面的一个垂面 在这个垂面中 作交线的垂线即可 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 给出下列四个命题 垂直于同一平面的两条直线相互平行 垂直于同一平面的两个平面相互平行 若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行 那么这两个平面相互平行 若一条直线垂直于一个平面内的任一直线 那么这条直线垂直于这个平面 其中真命题的个数是 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析由直线与平面垂直的性质 可知 正确 正方体的相邻的两个侧面都垂直于底面 而不平行 故 错 由直线与平面垂直的定义知 正确 而 错 答案2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 有以下四个条件 平面 与平面 所成的锐二面角相等 直线a b a 平面 b 平面 a b是异面直线 a b 且a b 平面 内距离为d的两条平行直线在平面 内的射影仍为两条距离为d的平行线 其中能推出 的条件有 填写所有符合要求的条件的序号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析正三棱锥的底面与侧面所成的锐二面角都相等 但侧面不平行 故 不符合 由a b a 得b 又b 得 符合 由图1可知 不符合 由图2可知 不符合 故能推出 的条件只有 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 如图 在斜三棱柱abc a1b1c1中 bac 90 bc1 ac 则c1在底面abc上的射影h必在 直线ab上 直线bc上 直线ac上 abc内部 解析由ac ab ac bc1 ac 平面abc1 又 ac 面abc 平面abc1 平面abc c1在面abc上的射影h必在两平面交线ab上 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4 如图所示 已知e f分别是正方体的棱bb1 ad的中点 则直线ef和平面bdd1b1所成角的正弦值是 解析设正方体abcd a1b1c1d1的棱长为2 如图 连结ae 过f作bd的垂线fh交bd于h 连结eh 则fh 平面bdd1b1 所以直线ef和平面bdd1b1所成的角为 feh 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 5 如图所示 直线pa垂直于 o所在的平面 abc内接于 o 且ab为 o的直径 点m为线段pb的中点 现有结论 bc pc om 平面apc 点b到平面pac的距离等于线段bc的长 其中正确的是 解析对于 pa 平面abc pa bc ab为 o的直径 bc ac 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 bc 平面pac 又pc 平面pac bc pc 对于 点m为线段pb的中点 om pa pa 平面pac om 平面pac 对于 由 知bc 平面pac 线段bc的长即是点b到平面pac的距离 故 都正确 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 6 如图 bac 90 pc 平面abc 则在 abc和 pac的边所在的直线中 与pc垂直的直线有 与ap垂直的直线有 解析 pc 平面abc pc垂直于直线ab bc ac ab ac ab pc ac pc c ab 平面pac 与ap垂直的直线是ab ab bc ac ab 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 7 在正三棱锥p abc中 d e分别是ab bc的中点 有下列三个论断 ac pb ac 平面pde ab 平面pde 其中正确论断的序号为 解析如图 p abc为正三棱锥 pb ac 又 de ac de 平面pde ac 平面pde ac 平面pde 故 正确 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 8 正方体abcd a1b1c1d1中 bb1与平面acd1所成角的余弦值为 解析画出图形 如图 bb1与平面acd1所成的角等于dd1与平面acd1所成的角 在三棱锥d acd1中 由三条侧棱两两垂直得点d在底面acd1内的射影为等边三角形acd1的垂心即中心h 连结d1h dh 则 dd1h为dd1与平面acd1所成的角 设正方体的棱长为a 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 9 在如图所示的几何体中 四边形abcd是直角梯形 ad bc ab bc ad 2 ab 3 bc be 7 dce是边长为6的正三角形 1 求证 平面dec 平面bde 证明因为四边形abcd为直角梯形 ad bc ab bc ad 2 ab 3 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 又因为bc 7 cd 6 所以根据勾股定理可得bd cd 因为be 7 de 6 同理可得bd de 因为de cd d de 平面dec cd 平面dec 所以bd 平面dec 因为bd 平面bde 所以平面dec 平面bde 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 2 求点a到平面bde的距离 解如图 取cd的中点o 连结oe 因为 dce是边长为6的正三角形 由 1 易知eo 平面abcd 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 又因为rt bde的面积为 设点a到平面bde的距离为h 则由ve abd va bde 10 2014 山东 如图 在四棱柱abcd a1b1c1d1中 底面abcd是等腰梯形 dab 60 ab 2cd 2 m是线段ab的中点 1 求证 c1m 平面a1add1 证明因为四边形abcd是等腰梯形 且ab 2cd 所以ab dc 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 又由m是ab的中点 因此cd ma且cd ma 连结ad1 如图 1 在四棱柱abcd a1b1c1d1中 因为cd c1d1 cd c1d1 可得c1d1 ma c1d1 ma 所以四边形amc1d1为平行四边形 因此c1m d1a 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 又c1m 平面a1add1 d1a 平面a1add1 所以c1m 平面a1add1 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 2 若cd1垂直于平面abcd且cd1 求平面c1d1m和平面abcd所成的角 锐角 的余弦值 解方法一如图 2 连结ac mc 由 1 知cd am且cd am 所以四边形amcd为平行四边形 可得bc ad mc 所以 abc dab 60 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 所以 mbc为正三角形 因此ca cb 以c为坐标原点 建立如图 2 所示的空间直角坐标系c xyz 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 设平面c1d1m的一个法向量为n x y z 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 方法二由 1 知平面d1c1m 平面abcd ab 过点c向ab引垂线交ab于点n 连结d1n 如图 3 由cd1 平面abcd 可得d1n ab 因此 d1nc为二面角c1 ab c的平面角 在rt bnc中 bc 1 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 在rt d1cn中 1 如图所示 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd 且abcd为菱形 m在pc边上滑动 则当点m满足 时 平面mbd 平面pcd 2 3 4 5 1 解析 四边形abcd是菱形 ac bd 又 pa 面abcd pa bd bd 平面pac bd pc 当pc md时 则pc 平面bmd 从而得出平面mbd 平面pcd 答案md pc 2 3 4 5 1 2 已知 是三个不同的平面 命题 且 是真命题 如果把 中的任意两个换成直线 另一个保持不变 在所得的所有新命题中 真命题有 个 解析若 换为直线a b 则命题化为 a b 且a b 此命题为真命题 2 3 4 5 1 若 换为直线a b 则命题化为 a 且a b b 此命题为假命题 若 换为直线a b 则命题化为 a 且b a b 此命题为真命题 答案2 2 3 4 5 1 3 如图 已知六棱锥p abcdef的底面是正六边形 pa 平面abc pa 2ab 则下列结论中 pb ae 平面abc 平面pbc 直线bc 平面pae pda 45 其中正确的有 把所有正确的序号都填上 2 3 4 5 1 解析由pa 平面abc ae 平面abc 得pa ae 又由正六边形的性质得ae ab pa ab a 得ae 平面pab 又pb 平面pab ae pb 正确 平面pad 平面abc 平面abc 平面pbc不成立 错 2 3 4 5 1 由正六边形的