高中数学 1.3.2托勒密定理课件 北师大版选修41.ppt

3 2托勒密定理 1 理解并掌握托勒密定理 2 知道托勒密定理的推广 做一做 在圆内接四边形abcd中 ab 2 bc 2 cd 2 da 2 则ac bd a 8 4b 8 4c 32d 不确定解析 ac bd ab cd ad bc 2 2 2 2 8 4 答案 a 托勒密定理的逆命题剖析 逆命题 如果一个四边形的两对边乘积之和等于两条对角线的乘积 那么这个四边形的四个顶点共圆 这个逆命题成立 其原因如下 如图所示 在任意四边形abcd中 连接ac 在四边形abcd的内部取点e 使得 1 2 3 4 则 abe acd 所以 则有be ac ab cd 又 bac 1 eac dae 2 eac 所以 bac dae 所以 abc aed 所以 即ed ac bc ad 且 5 6 所以be ac ed ac ab cd bc ad 即ac be ed ab cd ad bc 很明显be ed bd 所以ab cd ad bc ac bd 当be ed bd时 即点b e d共线 此时bd是对角线 则有ab cd ad bc ac bd 3 4 5 6 则在 abd中 1 2 eac 3 6 180 所以 1 2 eac 4 5 180 又 bad 1 2 eac bcd 4 5 所以 bad bcd 180 所以a b c d四点共圆 即当ab cd ad bc ac bd时 a b c d四点共圆 题型一 题型二 题型一 题型二 证明 如图所示 连接ef df aef cdf eaf dcf aef cdf af dc ae cf af bc bd cf be ba af bc ab cf be cf bd af 在圆内接四边形abcf中 有af bc ab cf bf ac bf ac be cf bd af 又ac be bd bf af cf 题型一 题型二 题型一 题型二 变式训练1 在例1中 已知条件不变 利用圆内接四边形bdfe中的托勒密定理重新证明 证明 acf abf abf edf acf edf 同理可证 def caf afc efd 令 m ef maf de mac df mcf 在圆内接四边形bdfe中 有bf de bd ef be df bf mac bd maf be mcf bf ac bd af be cf 又ac bd be bf af cf 题型一 题型二 例2 若a b x y是正实数 且a2 b2 1 x2 y2 1 求证 ax by 1 分析 构造圆内接四边形 借助托勒密定理来证明 证明 如图所示 rt acb和rt adb位于ab的两侧 且公共斜边ab 1 根据勾股定理 则可以设ac b bc a ad x bd y 因为 acb adb 90 90 180 所以四边形acbd内接于圆 且ab为直径 所以ac bd bc ad ab cd 且cd ab ac bd bc ad ab cd ab2 12 1 所以ac bd bc ad 1 即ax by 1 题型一 题型二 题型一 题型二 变式训练2 解方程 3 2x 解 显然x 6 如图所示 设 o的直径ab x c d是ab异侧圆周上的两点 且ac 4 ad 6 则bc bd 连接cd 由托勒密定理 得6 4 x cd 与已知方程比较 得cd 2 所以cos cad 故 cad 60 连接do co 则od oc doc 120 因此原方程的解为x ab 2od 2 123 123 证明 连接pr qr 如图所示 在圆内接四边形aprq中 由托勒密定理 得ap qr aq pr ar pq 由圆周角定理的推论 得 1 2 3 4 又ad bc 所以 4 5 所以 3 5 所以 pqr cab 所以 令 k 所以qr kab pr kbc pq kac 所以ap kab aq kbc ar kac 所以ap ab aq bc ar ac 又四边形abcd为平行四边形 所以bc ad 所以ap ab aq ad ar ac 123 123 解 如图所示 取的中点c c与p在线段ab的两侧 连接pc bc ac 则ac bc 在圆内接四边形acbp中 由托勒密定理知ac pb bc pa ab pc 因为ac bc 所以ac pb pa pc ab 即pb pa pc 显然ab ac均为定值 则为定值 所以要使pa pb取最大值 只需pc取最大值 因为a b是定点 所以c也为定点 则当pc为直径时 pc取最大值 所以当p为的中点时 pa pb取最大值 123 3利用托勒密定理证明 勾股定理 证明 如图所示 在rt abc中 abc 90 作以rt abc的斜边ac为一条对角线的矩形abcd 显然a