卫生统计学Poisson分布及其应用ppt课件.pptx

Poisson分布及其应用 1 例假设某地某种恶性肿瘤死亡率为28 10万 若随机抽查1万人 问至少有2人死于该种恶性肿瘤的概率有多大 本例 0 00028 n 10000 X B 0 00028 10000 2 内容提纲 Poisson分布的概念及应用条件Poisson分布的概率函数和图形Poisson分布随机变量的均数和方差Poisson分布的特点Poisson分布的应用 3 一 Poisson分布的概念及应用条件 1 概念Poisson分布由法国数学家S D Poisson在1837年提出 该分布也称为稀有事件模型 或空间散布点子模型 在生物学及医学领域中 某些现象或事件出现的机会或概率很小 这种事件称为稀有事件或罕见事件 稀有事件出现的概率分布服从Poisson分布 4 Poisson分布可看成是二项分布的特例 当某事件的发生率 或 1 很小 比如小于0 05 而样本含量n很大 则二项分布逼近于Poisson分布 Poisson分布和二项分布一样 也是一种离散型分布 常用于研究单位时间 或面积 容积等 内 某罕见事件发生次数的概率分布 例如 研究每ml水中大肠杆菌数的分布 可看成将1ml体积等分为很多个相同于一个大肠杆菌的微小体积 这里n很大 而大肠杆菌数与总微小体积数之比为p 这里p很小 如果细菌在水中分布是均匀的 则每毫升水中大肠杆菌数的分布服从Poisson分布 5 同理研究粉尘在单位容积内计数的分布 放射性物质在单位时间内放射出质点数的分布 单位空间中某些野生动物或昆虫数的分布 一定人群中某种患病率很低的非传染性疾病数或死亡数的分布等等 也服从Poisson分布 2 应用条件各观察单位相互独立 各观察单位只有两种相互对立结果中的一种 某一结果出现的概率为一稳定不变的数值 事件发生的概率 很小 而n相对很大 6 Poisson分布和二项分布一样均要求n次试验是相互独立的 像一些具有传染性的罕见疾病的发生率很低 但因为首例发生之后可作为传染源 会影响到后续病例的发生 所以不符合Poisson分布的应用条件 对于在单位时间 单位面积或单位体积内 所观察的事物由于某些原因分布不均匀时 如细菌在牛奶中成集落存在 钉螺在繁殖期成窝状散布时 亦不呈Poisson分布 7 二 Poisson分布的概率函数 1 概率函数 2 累计概率 Poisson分布的总体均数 n 自然对数的底e 2 71828 8 例1已知某批疫苗接种后的严重反应率为1 问用该批疫苗接种150人 有2人以上发生严重反应的概率是多少 0 15 9 3 Poisson分布的图形 10 20 10 50 30 50 11 由上面图形可见 值愈小分布愈偏 随着 的增大 分布愈趋于对称 当 20时分布接近正态分布 当 50时 可以认为Poisson分布呈正态分布 12 三 Poisson分布随机变量的均数和方差 若X服从均数为 的Poisson分布 则可证明 Poisson分布随机变量的方差等于均数 13 四 Poisson分布的性质 1 Poisson分布是一种单参数的离散型分布 其参数 表示单位时间 人群 空间内某事件平均发生的次数 故称为总体均数 2 Poisson分布的方差等于均数 3 Poisson分布可以看成二项分布的极限形式 4 Poisson分布的极限形式也是正态分布 当 较小时 Poisson分布呈偏态 随着 增大 Poisson分布图形逐渐趋于对称 并迅速逼近正态分布 一般当 20时 可按近似正态分布处理 5 Poisson分布具有可加性 多个服从Poisson分布的独立随机变量 其和仍服从Poisson分布 14 Poisson定理 若随机变量x服从二项分布B n 设n 则当n 时 即 因此 当 很小而n很大时 二项分布近似Poisson分布 15 Poisson分布与二项分布概率比较 Red 二项分布Blue Poisson分布 16 例假设某地某种恶性肿瘤死亡率为28 10万 若随机抽查1万人 问至少有2人死于该种恶性肿瘤的概率有多大 本例 n 10000 0 00028 2 8 17 Poisson分布的正态近似示意图 N k1 k2 18 Poisson分布的正态近似计算 当 20时 19 例2某放射性物质平均每小时发出质点数360个 试估计该放射性物质在1小时内发出质点数超过400个的概率 360 20 Poisson分布的可加性 若X1 X2 Xk相互独立 且它们分别服从参数 1 2 k的Poisson分布 则X1 X2 Xk也服从Poisson分布 其参数为 1 2 k 例已知某放射性物质每10分钟放射脉冲数呈泊松分布 5次测量的结果分别为35 34 36 38 34次 那么 50分钟总计的脉冲数177次 亦呈泊松分布 因此 泊松分布资料可利用可加性原理使 20 这样就可以用正态近似法处理 21 五 Poisson分布的应用 一 Poisson分布总体均数的估计 1 查表法当样本计数x较小时 x 50 按Poisson分布的概率函数 由样本计数x估计总体均数 的可信区间 计算较繁 可由附表7Poisson分布 的可信区间直接查得 22 例3将一个面积为100cm2的培养皿置于病房中 1h后取出 培养24h 查得8个菌落 试估计该病房平均每100cm2细菌数的95 可信区间 本例 查附表7Poisson分布的可信区间 得的95 下限为3 4 上限为15 8 该病房平均每100cm2细菌数的95 可信区间为3 4 15 8 23 2 正态近似法 因 较大时 x N 因此当x较大时 x 50 可按正态近似法估计 的可信区间 24 例5用计数器测得某放射性物质2小时内发出的脉冲数为400个 据此估计该放射性物质平均每小时发出的脉冲数的95 可信区间 25 方法1x 400 则平均每2小时发出的脉冲数95 可信区间为 因此 平均每小时发出的脉冲数的95 可信区间为 方法2样本平均每小时发出的脉冲数为200个 即x 200 则总体均数的可信区间为 26 分析 方法1正确 而方法2未能充分利用样本信息 故估计精度较方法1稍差 正确方法如下 以每小时发射的脉冲数记为x 设 因X很大 故 从该总体中抽样 其均数仍服从正态分布 本例抽取2个1小时 则 27 平均每小时发出的脉冲数95 的可信区间为 28 二 假设检验 1 样本计数与已知总体均数的比较 1 直接计算概率法 例6已知以往某疫苗接种后的严重反应率为1 现用某厂生产的一批该种疫苗接种150人 有2人以上发生严重反应 问该批疫苗的异常反应率是否高于以往 H0 0 0 001 成立时 150人中发生严重反应人数的概率分布 H0 0 0 001 成立时 150人中发生严重反应人数的概率分布 H0 0 0 001 成立时 150人中发生严重反应人数的概率分布 H0 0 0 001 成立时 150人中发生严重反应人数的概率分布 H0 0 0 001 成立时 150人中发生严重反应人数的概率分布 H0 0 0 001 成立时 150人中发生严重反应人数的概率分布 29 1 建立检验假设 确定检验水准H0 0 即该批疫苗的严重反应率不高于以往H1 0 即该批疫苗的严重反应率高于以往 0 05 2 根据Poisson分布的分布规律 计算P值 本例 0 0 001 n 150 0 n 0 0 15 x 2 根据题意需计算最少有2例发生严重反应的概率 按Poisson分布的概率函数得 3 做出推断结论 本例P 0 05 按 0 05水准拒绝H0 接受H1 认为该批疫苗的严重反应率高于一般 30 例7卫生标准规定 生活饮用水大肠杆菌数不得超过3个 ml 现对某饮用水进行抽检 抽取1ml水样培养得到5个大肠杆菌 问该水样中的大肠杆菌是否超标 31 1 建立检验假设 确定检验水准H0 0 即该水样中大肠杆菌数不超标H1 0 即该水样中大肠杆菌数超标 0 05 2 根据Poisson分布的分布规律 计算P值 本例 0 3 x 5 根据题意需计算每毫升水有5个以上大肠杆菌的概率 按Poisson分布的概率函数得 3 做出推断结论 本例P 0 05 按 0 05水准不拒绝H0 尚不能认为该水样中大肠杆菌超标 32 2 正态近似法 当 0 20时 样本计数 可用正态近似法 33 例8质量控制标准规定某装置平均每小时发出质点数不超过50个 今抽查一次 在1小时内测得该装置发出的质点数为58个 问该装置是否符合要求 50 样本计数与已知总体均数的比较 正态近似法 34 1 建立检验假设 确定检验水准H0 0 即该装置符合质量标准 平均每小时发出的质点数不超过50个 H1 0 即该装置不符合质量标准 平均每小时发出的质点数超过50个 0 05 2 计算检验统计量 3 确定P值 做出推断结论 查表得0 10 P 0 25 P 0 1289 按 0 05水准不拒绝H0 尚不能认为该装置不符合质量标准 35 例9某省肺癌死亡率为35 2 10万 在该省某地抽查10万人 进行三年死亡回顾调查 得肺癌死亡数为82人 已知该地人口年龄别构成与全省基本相同 问该地肺癌死亡率与全省有无差别 样本计数与已知总体均数的比较 正态近似法 36 1 建立检验假设 确定检验水准H0 该地肺癌死亡率与全省相同 即平均每10万人三年死亡人数 0 35 2 3 105 6 H1 该地肺癌死亡率与全省不同 即平均每10万人三年死亡人数 0 105 6 0 05 2 计算检验统计量 本例X 82 0 105 6 20 可用正态近似法进行检验 3 确定P值 做出推断结论 查表得0 01 P 0 05 按 0 05的检验水准拒绝H0 接受H1 认为该地居民肺癌死亡率低于全省 37 二 假设检验 2 两样本计数 或均数 的比较服从Poisson分布的两样本计数 或两样本均数 比较的目的是推断两个样本各自代表的两总体均数是否相等 当两样本计数 或均数 均大于20时 可用u检验 38 1 两样本观察单位 时间 面积 容积等 相同或 39 例10某省肿瘤研究所分别在甲乙两县随机抽查10万育龄妇女 进行追踪观察 三年中甲县死于宫颈癌的有28人 乙县死于宫颈癌者47人 问甲乙两县宫颈癌死亡率有无差别 40 1 建立检验假设 确定检验水准 H0 1 2 即甲乙两县平均每10万育龄妇女中宫颈癌死亡人数相等H1 1 2 即甲乙两县平均每10万育龄妇女中宫颈癌死亡人数不等 0 05 2 计算检验统计量 3 确定P值 做出推断结论 本例1 96 u 2 1939 2 58 故0 01 P 0 05 按 0 05的水准拒绝H0 接受H1 认为两县育龄妇女宫颈癌死亡率不同 41 例11某车间在改革生产工艺前 随机测量三次车间空气中的粉尘浓度 每次取1升空气 分别测得有38 29 36颗粉尘 改革生产工艺后又测量3次 每次取1升空气 分别测得有25 18 21颗粉尘 问工艺改革前后粉尘浓度是否有变化 42 1 建立检验假设 确定检验水准 H0 1 2 即改革生产工艺前后平均每3升空气中的粉尘颗粒数相同H1 1 2 即改革生产工艺前后平均每3升空气中的粉尘颗粒数不同 0 05 2 计算检验统计量 3 确定P值 做出推断结论 本例u 2 58 故P 0 01 按 0 05的水准拒绝H0 接受H1 认为改革生产工艺前后平均每3升空气中的粉尘颗粒数不同 改革生产工艺后粉尘浓度降低了 43 2 两样本观察单位 时间 面积 容积等 不同先将观察单位化为相同 求得各组的样本均数 再按下式计算u值 44 例12某县防疫站从甲水井取样7次 每次取1ml水培养 测得菌落数分别为30 70 120 50 80 60 40 乙水井取水样5次 每次取1ml水培养 测得菌落数分别为70 90 130 40 80 问两水井的细菌污染状况有无差别 45 1 建立检验假设 确定检验水准 H0 1 2 即两水井平均每毫升水中细菌个数相同H1 1 2 即两水井平均每毫升水中细菌个数不同 0 05 2 计算检验统计量 本例 甲 乙水井中平均每毫升水中的菌落数分别为 46 3 确定P值 做出推断结论 查表得 本例 u u0 001 2 故P 0 001 按 0 05的水准拒绝H0 接受H1 认为两水井的细菌污染状况不同 乙水井的污染状况较严重 47 例13某省甲 乙两市分别用抽样调查了解2000年食管癌的死亡率 甲市抽查了1万人 死于食管癌的有32人 乙市抽查了2万人 食管癌死亡人数为48人 问两市食管癌死亡率是否相同 48 1 建立检验假设 确定检验水准 H0 1 2 即两市食管癌死亡率相同H1 1 2 即两市食管癌死亡率不同 0 05 2 计算检验统计量 本例 甲 乙两市平均每1万人中的死亡人数分别为 49 3 确定P值 做出推断结论 查表得 本例 u 0 20 按 0 05的水准不