湖南省永州市新田县第一中学高中数学 25 数学归纳法（2）课件 理 新人教A版选修22.ppt_第1页
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2 3数学归纳法 2 数学归纳法的概念 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤来进行 1 归纳奠基 证明当n取第一个值n0时命题成立 2 归纳递推 假设当n k k n k n0 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 这种证明方法叫做数学归纳法 3 数学归纳法只适用于和正整数有关的命题 2 在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设 否则就不是数学归纳法了 1 三个步骤缺一不可 第一步是奠基步骤 是命题论证的基础 称之为归纳基础 第二步是归纳递推 是推理的依据 是判断命题的正确性能否由特殊推广到一般 它反映了无限递推关系 其中 假设n k时成立 称为归纳假设 注意是 假设 而不是确认命题成立 没有第一步 第二步就没有了意义 没有第二步 就成了不完全归纳 结论就没有可靠性 注意 第三步是总体结论 也不可少 注意 第二步中证明n k 1命题成立是全局的主体 力求详细 不可随意省略 方法 凑 成n k时的形式 这样才好利用归纳假设 证明 1 当n 1时 左边 1 右边 等式成立 2 假设当n k时 等式成立 就是 那么 例2 用数学归纳法证明 当 这就是说 当n k 1时等式也成立 根据 1 和 2 可知等式对任何n n 都成立 如下证明对吗 证明 当n 1时 左边 右边 等式成立 设n k时 有 即n k 1时 命题成立 根据 问可知 对n n 等式成立 第二步证明中没有用到假设 这不是数学归纳法证明 1 第一步应做什么 此时n0 左 2 假设n k时命题成立 即 当n k时 等式左边共有项 第k项是 k k2 思考 1 12 例3用数学归纳法证明 3 当n k 1时 命题的形式是 4 此时 左边增加的项是 5 从左到右如何变形 证明 1 当n 1时 左边 12 1 右边 等式成立 2 假设当n k时 等式成立 就是 那么 用数学归纳法证明 这就是说 当n k 1时等式也成立 根据 1 和 2 可知等式对任何n n 都成立 1 用数学归纳法证明等式1 2 3 2n 1 n 1 2n 1 时 当n 1时 左边所得项是 当n 2时 左边所得项是 1 2 3 1 2 3 4 5 a 1 b 1 a c 1 a a2 d 1 a a2 a3 c 课堂练习 练习 例题1 求证 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 1 已知 则等于 a b c d c 练习 点拨 对这种类型的题目 一般先利用n的特殊值 探求出待定系数 然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立 1 数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法 主要有两个步骤一个结论 归纳奠基 1 证明当n取第一个值n0 如n0 1或2等 时结论正确 2 假设n k时结论正确 证明n k 1时结论也正确 3 由 1 2 得出结论 归纳
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