北京市西城区2017-2018学年度高三上学期期末文科数学试卷及答案.doc

北京市西城区 2017 2018 学年度第一学期期末试卷 高三数学 文科 2018 1 第第 卷卷 选择题 共 40 分 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的 四个选项中 选 出符合题目要求的一项 1 若集合 则 03 Axx 12 Bxx AB A 13 xx B 10 xx C 02 xx D 23 xx 2 在复平面内 复数对应的点的坐标为 2i 1i A 1 1 B 1 1 C 1 1 D 1 1 3 下列函数中 在区间上单调递增的是 0 A 1yx B 2 1 yx C sinyx D 1 2 yx 4 执行如图所示的程序框图 输出的值为S A 2 B 6 C 30 D 270 5 若 则有 1 2 2 loglog2ab A 2ab B 2ba C 4ab D 4ba 6 一个棱长为 2 的正方体被一个平面截去一部分后 剩余几何体的 三视图如图所示 则截去的几何体是 A 三棱锥 B 三棱柱 C 四棱锥 D 四棱柱 7 函数的图象记为曲线 C 则 是 曲线 C 关于直线 sin f xx 0 ff 2 x 对称 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 8 已知 是函数的图象上的相异两点 若点 到直线的距离相等 AB2 x y AB 1 2 y 则点 的横坐标之和的取值范围是AB A 1 B 2 C 3 D 4 第第 卷卷 非选择题 共 110 分 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 若函数是偶函数 则实数 f xx xb b 10 已知双曲线的一个焦点是 其渐近线方程为 该双曲线的 22 22 1 xy ab 2 0 F3yx 方程是 11 向量在正方形格中的位置如图所示 如果小正方形格 a b 的边长为 1 那么 a b 12 在 中 的面积为 则 ABC3a 3 C ABC 3 3 4 b c 13 已知点的坐标满足条件 设为原点 则的最小值是 M x y 10 10 10 x xy xy OOM 14 已知函数 若 则的值域是 若的值 2 2 1 3 xxxc f x cx x 0c f x f x 域是 则实数 的取值范围是 1 2 4 c 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步 骤 15 本小题满分 13 分 已知函数 2 2sincos 2 3 f xxx 求的最小正周期 f x 求证 当时 0 2 x 1 2 f x 16 本小题满分 13 分 已知数列是公比为的等比数列 且是和的等差中项 n a 1 3 2 6a 1 a 3 a 求的通项公式 n a 设数列的前项之积为 求的最大值 n an n T n T 17 本小题满分 13 分 某市高中全体学生参加某项测评 按得分评为 A B 两类 评定标准见表 1 根据男女 学生比例 使用分层抽样的方法随机抽取了名学生的得分数据 其中等级为的学生10000 1 A 中有是男生 等级为的学生中有一半是女生 等级为和的学生统称为类学生 40 2 A 1 A 2 AA 等级为和的学生统称为类学生 整理这名学生的得分数据 得到如图 2 所示 1 B 2 BB10000 的频率分布直方图 表 1 图 2 已知该市高中学生共万人 试估计在该项测评中被评为类学生的人数 20A 类别 得分 x 1 B 8090 x B 2 B 7080 x 1 A 5070 x A 2 A 2050 x 某 5 人得分分别为 从这 5 人中随机选取 2 人组成甲组 另外 3 人组45 50 55 75 85 成乙组 求 甲 乙两组各有 1 名类学生 的概率 B 在这名学生中 男生占总数的比例为 类女生占女生总数的比例为 1000051 B 1 k 类男生占男生总数的比例为 判断与的大小 只需写出结论 B 2 k 1 k 2 k 18 本小题满分 14 分 如图 在三棱柱中 平面 过的平面交 111 ABCA B C AB 11 AAC C 1 AAAC 1 AA 于点 交于点 11 B CEBCF 求证 平面 1 AC 1 ABC 求证 1 A AEF 记四棱锥的体积为 三棱柱的体积为 若 求 11 BAA EF 1 V 111 ABCA B C V 1 1 6 V V 的值 BF BC 19 本小题满分 14 分 已知椭圆过 两点 22 22 1 0 xy Cab ab 2 0 A 0 1 B 求椭圆的方程及离心率 C 设点在椭圆上 试问直线上是否存在点 使得四边形是平QC40 xy PPAQB 行四边形 若存在 求出点的坐标 若不存在 说明理由 P 20 本小题满分 13 分 已知函数 2 ln2f xxxx 求曲线在点处的切线方程 yf x 1 1 f 求证 存在唯一的 使得曲线在点处的切线的斜率为 0 1 2 x yf x 00 xf x 2 1 ff 比较与的大小 并加以证明 1 01 f2 01 北京市西城区 2017 2018 学年度第一学期期末 高三数学 文科 参考答案及评分标准 2018 1 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 40 分分 1 A 2 B 3 D 4 C 5 C 6 B 7 C 8 B 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 30 分分 9 10 11 0 2 2 1 3 y x 4 12 13 14 113 2 2 1 4 1 1 2 注 第注 第 12 14 题第一空题第一空 2 分 第二空分 第二空 3 分分 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 80 分分 其他正确解答过程 请参照评分标准给分其他正确解答过程 请参照评分标准给分 15 本小题满分 13 分 解 因为 2 2sincos 2 3 f xxx 4 分 1cos2 cos2cossin2sin 33 xxx 5 分 33 sin2cos21 22 xx 7 分 3sin 2 1 3 x 所以的最小正周期 8 分 f x 2 2 T 因为 所以 10 分 2 x 0 2 2 333 x 所以 12 分 3 sin 2 sin 332 x 所以 13 分 1 2 f x 16 本小题满分 13 分 解 因为 是和的等差中项 2 6a 1 a 3 a 所以 2 分 213 2 6 aaa 因为数列是公比为的等比数列 n a 1 3 所以 4 11 1 2 6 39 aa a 分 解得 6 1 27a 分 所以 8 14 1 1 3 nn n aaq 分 令 即 得 10 分 1 n a 4 1 1 3 n 4n 故正项数列的前 项大于 1 第 项等于 1 以后各项均小于 1 11 分 n a34 所以 当 或时 取得最大值 12 分 3n 4n n T 的最大值为 13 分 n T 34123 729TTaaa 17 本小题满分 13 分 解 依题意得 样本中类学生所占比例为 2B 0 020 04 1060 分 所以类学生所占比例为 3 分 A40 因为全市高中学生共万人 20 所以在该项测评中被评为类学生的人数约为 8 万人 4A 分 由表 1 得 在 5 人 记为 中 类学生有 2 人 不妨设为 a b c d eB b d 将他们按要求分成两组 分组的方法数为种 6 分 10 依次为 ab cdeac bdead bceae bcdbc adebd acebe acdcd abe 8 分 ce abdde abc 所以 甲 乙两组各有一名类学生 的概率为 10B 63 105 分 13 分 12 kk 18 本小题满分 14 分 解 因为 平面 所以 2AB 11 AAC C 1 ACAB 分 在三棱柱中 因为 所以 四边形为菱形 111 ABCA B C 1 AAAC 11 AAC C 所以 3 分 11 ACAC 所以 平面 5 1 AC 1 ABC 分 在 三棱柱中 111 ABCA B C 因为 平面 6 11 A AB B 1 A A 11 BB C C 分 所以 平面 8 分 1 A A 11 BB C C 因为 平面平面 1 AA EF 11 BB C CEF 所以 10 分 1 A AEF 记三棱锥的体积为 三棱柱的体积为 1 BABF 2 V 11 ABFA B E 3 V 因为三棱锥与三棱柱同底等高 1 BABF 11 ABFA B E 所以 11 分 2 3 1 3 V V 所以 12 33 2 1 3 VV VV 因为 所以 12 分 1 1 6 V V 3 131 624 V V 因为 三棱柱与三棱柱等高 11 ABFA B E 111 ABCA B C 所以 与 的面积之比为 13 分 ABFABC 1 4 所以 14 分 1 4 BF BC 19 本小题满分 14 分 解 由题意得 22a 1b 分 所以椭圆的方程为 3 分 C 2 2 1 4 x y 设椭圆的半焦距为 则 4 分 Cc 22 3cab 所以椭圆的离心率 5 分 C 3 2 c e a 由已知 设 6 分 4 P tt 00 Q xy 若是平行四边形 则 8 分 PAQBPAPBPQ 所以 00 2 4 3 4 t tt txt yt 整理得 10 00 2 3xtyt 分 将上式代入 22 00 44xy 得 11 分 22 2 4 3 4tt 整理得 2 528360tt 解得 或 13 分 18 5 t 2t 此时 或 经检验 符合四边形是平行四边形 18 2 5 5 P 2 2 PPAQB 所以存在 或满足题意 14 18 2 5 5 P 2 2 P 分 20 本小题满分 13 分 解 函数的定义域是 2 ln2f xxxx 0 导函数为 1 分 2 ln2fxxxx 所以 又 1 1 f 1 2f 所以曲线在点处的切线方程为 3 分 yf x 1 1 f1yx 由已知 4 分 2 1 4ln22ff 所以只需证明方程 在区间有唯一解 2 ln24ln22xxx 1 2 即方程 在区间有唯一解 5 分 2 ln4ln20 xxx 1 2 设函数 6 2 ln4ln2g xxxx 分 则 2ln3g xx 当 时 故在区间单调递增 7 分 1 2 x 0g x g x 1 2 又 1 14ln20g 2 20g 所以 存在唯一的 使得 8 0 1 2 x 0 0g x 分 综上 存在唯一的