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还原问题 同学们 我们先来玩一个游戏 你心里想一个自然数 不要告诉任何人 你把这个数加上3 再乘以5 然后减去你想的这个数 然后再加上5 再除以2 最后减去10 好了 告诉我最后得的结果 我马上可以猜出你想的数是多少 你信不信 一定会有同学说 这个游戏我也会玩 我反过来算就可以知道你心里想的是什么数 比如你最后的结果是10 我就将10先加10 再乘以2 再减去5 再 哦 再怎么办 不好办了吧 其实这个游戏计算程序是事先设计好了的 最后的结果总是你所想的数的2倍 比如你想的数是7 按设计程序计算 最后结果一定是14 我们把算式写一下 7 3 5 7 5 2 10 50 7 5 2 10 48 2 10 14 因此只要告诉我最后结果 我一定知道你心里想的是什么数 不过刚才那个方法也是解下面一类问题常用的方法 某数经过一系列的四则运算后 结果知道 要求这个数 我们就采用反推的方法 从结果开始 原来是加 现在就减 原来是乘 现在就除 最后一定可以求出这个数 这样一类问题 我们称之为还原问题 典型例题1 1 某数加7 乘以5 再减去9 得51 求这个数 解 51 9 5 7 60 5 7 12 7 5 请同学们验证一下 按题目的运算顺序 看能否得到51 典型例题2 做一道整数加法题时 小强把个位上的6看作9 把十位上的8看作3 结果得出和为123 为正确的答案应该是多少 解 把个位上的数6看作9 使和增加了9 6 3 把十位上的数8看作3 使和减少了80 30 50 因此 这道题归结为 某数加3 减50 得123 问某数是几 要求某数 采用倒推法 也就是123加上50 减去3 即123 50 3 170 正确的答案应该是170 典型例题3 某人去储蓄所取款 第一次取了存款数的一半还多5元 第二次取了余下的一半还多10元 最后剩125元 他原有存款多少元 解 第一次取款后还剩钱数 125 10 2 270 元 他原有存款数 270 5 2 550 元 答 他原有存款550元 典型例题4 在做一道加法题时 小胖把个位上的5看成9 把十位上的8看成了3 结果得到123 问正确答案应该是多少 分析 由于小胖粗心看错了题 得到错误的结果 可以利用还原的方法去求出正确的答案 解 小胖把个位上的5看成9 多加了4 因此要减去4 他把十位上的8看成了3 少加了50 所以应当再加上50 这样正确的答案应该是 123 4 50 169 典型例题5 有一个数 把它乘以4以后减去46 再把所得的差除以3 然后减去10 最后得4 问 这个数是几 分析 这个问题是由 4 46 3 10 4 求出 我们倒着看 如果除以3以后不减去10 那么商应该是4 10 14 如果在减去46以后不除以3 那么差该是14 3 42 可知这个数乘以4后的积为42 46 88 因此这个数是88 4 22 解 4 10 3 46 4 22 例6 学校运来36棵树苗 乐乐与欢欢两人争着去栽 乐乐先拿了若干树苗 欢欢看到乐乐拿得太多 就抢了10棵 乐乐不肯 又从欢欢那里抢回来6棵 这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍 问 最初乐乐拿了多少棵树苗 分析 先求乐乐与欢欢现在各拿了多少棵树苗 学校共有树苗36棵 乐乐拿的树苗数是欢欢的2倍 所以欢欢现在拿了36 2 1 12 棵 树苗 而乐乐现在拿了12 2 24 棵 树苗 乐乐从欢欢那里抢走了6棵后是24棵 如果不抢 那么乐乐有树苗24 6 18 棵 欢欢看乐乐拿得太多 去抢了10棵 如果欢欢不抢 那么乐乐就有18 10 28 棵 解 36 5 1 2 2 6 10 28 棵 例7 植树节学校要栽102棵树苗 小强和小明两人争着去栽 小强先拿了若干树苗 小明见小强拿得太多 就抢了10棵 小强不肯 又从小明那里抢回来6棵 这时小强拿的棵数是小明的2倍 问 最初小强拿了多少棵树苗 分析 先求小强和小明现在拿了多少棵树苗 学校共有树苗102棵 小强拿的树苗是小明的2倍 所以小明现在拿了102 2 1 34 颗 而小强先在拿了34 2 68 棵 树苗 小强从小名那里抢回来6棵后是68棵 如果不抢 那么小强有树苗68 6 62 棵 小明看小强拿得太多 抢了10棵 如果小明不抢 那么小强就有62 10 72 棵 解 102 1 2 6 10 72 棵 例8 甲 乙 丙三组共有图书90本 乙组向甲组借3本后 又送给丙组5本 结果三个组拥有相等数目的图书 问 甲 乙 丙三个组原来各有多少本图书 分析与解 尽管甲 乙 丙三个组之间将图书借来借去 但图书的总数90本没有变 由最后三个组拥有相同数目的图书知道 每个组都有图书90 3 30 本 根据题目条件 原来各组的图书为甲组有30 3 33 本 乙组有30 3 5 32 本 丙组有30 5 25 本 例9 将8个数从左至右排成一行 从第三个数开始 每个数都恰好等于前面两个数之和 如果第七个数和第八个数分别是81和131 那么第一个数是多少 解 已知第七个数是81 第八个数是131 根据 每个数都恰好等于前面两个数之和 这一规律 可知第六个数 81 第七个数 131 第八个数 可求第六个数等于131 81 50 同理 第五个数 50 第六个数 81 第七个数 可以求出第五个数等于81 50 31 第四个数 50 31 19第三个数 31 19 12第二个数 19 12 7第一个数 12 7 5 答 第一个数是5 例10 一捆电线 第一次用去全长的一半多3米 第二次用去余下的一半少10米 第三次用去15米 最后还剩7米 这捆电线原有多少米 分析 由逆推法知 第二次用完还剩下15 7 22 米 第一次用完还剩下 22 10 2 24 米 原来电线长 24 3 2 54 米 解 15 7 10 2 3 2 54 米 例11 有一堆棋子 把它四等分后剩下一枚 取走三份又一枚 剩下的再四等分又剩一枚 再取走三份又一枚 剩下的再四等分又剩一枚 问 原来至少有多少枚棋子 分析与解 棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为1枚 逆推得到第三次分之前有1 4 1 5 枚 第二次分之前有5 1 1 21 枚 第一次分之前有21 4 1 85 枚 所以原来至少有85枚棋子 例12 甲 乙 丙三人钱数各不相同 甲最多 他拿出一些钱给乙和丙 使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍 结果乙的钱最多 接着乙拿出一些钱给甲和丙 使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍 结果丙的钱最多 最后丙拿出一些钱给甲和乙 使甲和乙的钱数都比原来增加了两倍 结果三人钱数一样多了 如果他们三人共有81元 那么三人原来的钱分别是多少元 分析 三人最后一样多 所以都是81 3 27元 然后我们开始还原 1 甲和乙把钱还给丙 每人增加2倍 就应该是原来的3倍 所以甲和乙都是27 3 9 丙是81 9 9 63 2 甲和丙把钱还给乙 甲9 3 3 丙63 3 21 乙81 3 21 57 3 最后是乙和丙把钱还给甲 乙57 3 19 丙21 3 7 甲81 19 7 55元 例13 三 1 班小图书箱第一天借出了存书的一半 第2天又借出43本 还剩32本 小图书箱原有图书多少本 分析 经过两天借出图书 小图书最后还剩32本书 由此可以往前推算 第2天没借出43本前 也就是第1天借出图书后 应有 32 43 本书 再根据 第1天借出了存书的一半 可推算出这75本书也就是第1天借出后的另一半 即相当于第1天借出的本数 这样 小图书箱原有的图书本数可求得 解 第1天借书后还剩的本数 32 43 75 本 原有图书的本数 75 2 150 本 综合算式 32 43 2 150 本 例14 仓库里有一批大米 第一天售出的重量比总数的一半少12吨 第二天售出的重量比剩下的一半少12吨 结果还剩下19吨 这个仓库原有大米多少吨 分析 如果第二天刚好售出剩下的一半 就应是 19 12 吨 第一天售出以后剩下的吨数是 19 12 2吨 以下类推 解 19 12 2 62 吨 62 12 2 100 吨 例15 有一堆西瓜第一次搬走一半 第二次搬走剩下的一半多3个 第三次搬走剩下的一半少3个 第四次搬走剩下的一半多3个 第五次搬走剩下的一半 最后还剩3个 这堆西瓜原有多少个 解 这道题我们可以从最后还剩下的3个出发 逐步向前推算 第五次搬之前 第四次搬之前 直到第一次搬之前 还原到原有数 第五次搬走前 3 2 69 个 第四次搬走前 6 3 2 18 个 第三次搬走前 18 3 2 30 个 第二次搬走前 30 3 2 66 个 第一次搬走前 66 2 132 个 答 这堆西瓜原有132个 例16 甲 乙两个港口各停有小船若干只 如果按下面的办法移动船只 第一次从甲港开出和乙港同样多的船只 第二次从乙港开出和甲港同样多的船只 那么照这样四次后 甲 乙两港所停的船只数都是48只 求甲 乙两港原来各停有多少只小船 解 这道题可以从结果甲乙两港都是各停有小船48只出发 倒推分别求出第四次前 第三次潜 第二次前 第一次前各有多少只 第四次前甲港 48 2 24 只 乙港 24 48 72 只 第三次前甲港 24 36 6 只 乙港 72 2 36 只 第二次前甲港 60 2 30 只 乙港 36 30 66 只 第一次前甲港 30 33 63 只 乙港 66 2 33 只 答 甲港原来停有63只小船 乙港原来停有33只小船 例17 甲 乙 丙 丁四人各有故事书若干本 甲将自己的故事书拿一部分给乙 丙 丁 使他们的书增加1倍 然后 乙又拿出一部分故事书使甲 乙 丙的书增加1倍 然后 丙又拿出一部分故事书使得甲 乙 丁的书增加1倍 最后 丁也拿出一部分故事书使得甲 乙 丙的书增加1倍时 甲 乙 丙 丁手中都有32本书 甲 乙 丙 丁四人原来各有多少本书 解析 我们还是采取倒推的方法 从最后一次丁分书以后开始考虑 由于丁拿出一部分书给甲 乙 丙后 甲 乙 丙的书各自增加了1倍 都是32本 说明在此之前 甲 乙 丙手中的书都为 32 2 16 本 丁手中的书应为 32 16 3 80 本 同样可推出在丙拿出书之前 甲 乙 丁手中的书分别为8本 8本 40本 此时丙手中的书应为 16 8 8 40 72 本 继续推下去 就可以推出原来四人手中各有的书 解 根据题意 可列表求解 答 甲 乙 丙 丁原来各有书66本 34本 18本 10本 例18 某商场周日出售液晶电视机 上午售出总数的一半多10台 下午售出剩下的一半多15台 还剩40台 商场这天原有液晶电视机多少台 解析 从 下午售出剩下的一半多15台 和 还剩下40