高考数学 第二章 第十节函数模型及其应用课件 理.ppt

第十节函数模型及其应用 1 三种函数模型性质比较 增 增 增 快 慢 y 平行 即时应用 1 思考 对于直线上升 指数增长 对数增长三种增长模型 你作为老板 希望公司的利润和员工奖金按何种模型增长 提示 公司的利润选择直线上升或指数模型增长 而员工奖金选择对数模型增长 2 当x越来越大时 下列四个函数中 增长速度最快的是 y 2x y x10 y lgx y 10 x2 解析 由函数图象知 y 2x的增长速度最快 答案 3 函数y 2x与y x2的图象的交点个数是 解析 由y 2x与y x2的图象知有3个交点 答案 3 4 当2 x 4时 2x x2 log2x的大小关系是 解析 在同一平面直角坐标系中画出函数y log2x y x2 y 2x的图象 在区间 2 4 内从上往下依次是y x2 y 2x y log2x的图象 所以x2 2x log2x 答案 x2 2x log2x 2 常见的几种函数模型 1 直线模型 一次函数模型 k 0 图象增长特点是直线式上升 x的系数k 0 通过图象可以直观地认识它 特例是正比例函数模型y kx k 0 2 反比例函数模型 k 0 型 增长特点是y随x的增大而减小 y kx b 3 指数函数模型 y a bx c b 0 b 1 a 0 其增长特点是随着自变量的增大 函数值增大的速度越来越快 底数b 1 a 0 常形象地称为指数爆炸 4 对数函数模型 即y mlogax n a 0 a 1 m 0 型 增长特点是随着自变量的增大 函数值增大的速度越来越慢 底数a 1 m 0 5 幂函数模型 即y a xn b a 0 型 其中最常见的是二次函数模型 a 0 其特点是随着自变量的增大 函数值先减小 后增大 a 0 y ax2 bx c 6 分段函数模型 y 其特点是每一段自变量变化所遵循的规律不同 可以先将其当作几个问题 将各段的变化规律分别找出来 再将其合到一起 要注意各段自变量的取值范围不同 即时应用 1 据报道 全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5 如果按此速度 设2011年的冬季冰雪覆盖面积为m 从2011年起 经过x年后 北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是 2 某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整 调整后初期利润增长迅速 后期增长越来越慢 若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系 可选用以下四种函数模型中的 一次函数 二次函数 指数型函数 对数型函数 3 某种电热水器的水箱盛满水是200l 加热到一定温度 即可用来洗浴 洗浴时 已知每分钟放水34l 若放水t分钟时 同时自动注水总量为2t2l 当水箱内的水量达到最少时 放水程序自动停止 现假定每人洗浴用水量为65l 则该热水器一次至多可供 人洗浴 解析 1 设每年的冰雪覆盖面积与上一年的比为a 则由题意得1 0 05 a50 a y x m m x n 2 根据实际情况得 对数函数与公司调整后利润y与时间x的关系相吻合 3 在放水程序自动停止前 水箱中的水量为y 2t2 34t 200 2 t 8 5 2 55 5 由二次函数的性质得经过8 5min 放水停止 共出水34 8 5 289 l 289 65 4 45 故至多可供4人洗浴 答案 1 y m x n 2 3 4 热点考向1一次函数与二次函数模型 方法点睛 利用已知函数模型解决实际问题的步骤若题目给出了含参数的函数关系式 或可确定其函数模型的图象 求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值 再用求得的函数解析式解决实际问题 对于已知函数解析式的可以直接利用函数相关性质解决实际问题 提醒 解函数应用题常见的错误 1 不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面 2 在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件 例1 1 某产品的总成本y 万元 与产量x 台 之间的函数关系式是y 3000 20 x 0 1x2 0 x 240 x n 若每台产品的售价为25万元 则生产者不亏本时 销售收入不小于总成本 的最低产量是 a 100台 b 120台 c 150台 d 180台 2 2012 厦门模拟 某省两相近重要城市之间人员交流频繁 为了缓解交通压力 特修一条专用铁路 用一列火车作为交通车 已知该车每次拖4节车厢 一日能来回16次 如果每次拖7节车厢 则每日能来回10次 若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数 求此一次函数解析式 在 的条件下 每节车厢能载乘客110人 问这列火车每天来回多少次才能使营运人数最多 并求出每天最多营运人数 解题指南 1 结合二次函数的性质及实际意义 求解一元二次不等式即可 2 理解题意 用待定系数法求y kx b 转化为二次函数求最大值 规范解答 1 选c 要使生产者不亏本 则有3000 20 x 0 1x2 25x 解上式得 x 200或x 150 又 0 x 240 x n x的最小值为150 2 设每日来回y次 每次挂x节车厢 由题意y kx b k 0 由x 4时y 16 x 7时y 10得下列方程组 解得 k 2 b 24 y 2x 24 由题意知 每日挂车厢最多时 营运人数最多 设每日营运s节车厢 则s xy x 2x 24 2x2 24x 2 x 6 2 72 所以当x 6时 smax 72 此时y 12 则每日最多营运人数为110 72 7920 人 答 这列火车每天来回12次 才能使营运人数最多 每天最多营运人数为7920 反思 感悟 1 在现实生活中 很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型 其增长特点是直线上升 自变量的系数大于0 或直线下降 自变量的系数小于0 2 二次函数的应用主要有以下方面 1 利用二次函数关系式或图象求最值 2 利用二次函数单调性求参数取值或范围 3 二次函数如果是分段表示 则应注意分段区间端点值的应用 4 利用二次函数对应方程根的分布求参数范围 变式训练 若一根蜡烛长20cm 点燃后每小时燃烧5cm 则燃烧剩下的高度h cm 与燃烧时间t 小时 的函数关系用图象表示为 解析 选b 依题设可知 蜡烛高度h与燃烧时间t之间构成一次函数关系 又 函数图象过点 0 20 4 0 两点 且该图象为一条线段 选b 热点考向2分段函数模型 方法点睛 1 解函数应用问题的步骤 四步八字 1 审题 深刻理解题意 分清条件和结论 理顺数量关系 初步选择数学模型 2 建模 将自然语言转化为数学语言 将文字语言转化为符号语言 利用数学知识 建立相应的数学模型 3 求模 求解数学模型 得出数学结论 4 还原 回扣题目本身 将数学问题还原为实际问题的意义 给出结论 2 分段函数在现实生活中的体现在现实生活中 很多问题的两变量之间的关系 不能用同一个关系式给出 而是由几个不同的关系式构成分段函数 如出租车票价与路程之间的关系 就是分段函数 提醒 形如f x x a 0 x 0 的对勾分段函数模型在现实生活中有广泛的应用 常利用基本不等式求最值 但要注意成立的条件 当等号不成立时 采用函数的单调性来解决 例2 2013 福州模拟 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 在一般情况下 大桥上的车流速度v 单位 千米 小时 是车流密度x 单位 辆 千米 的函数 当桥上的车流密度达到200辆 千米时 造成堵塞 此时车流速度为0 当车流密度不超过20辆 千米时 车流速度为60千米 小时 研究表明 当20 x 200时 车流速度v是车流密度x的一次函数 1 当0 x 200时 求函数v x 的表达式 2 当车流密度x为多大时 车流量 单位时间内通过桥上某观测点的车辆数 单位 辆 每小时 f x x v x 可以达到最大 并求最大值 精确到1辆 小时 解题指南 1 由车流密度不超过20辆 千米时 车流速度为60千米 小时 可得0 x 20时 v x 60 又20 x 200时 车流速度v是车流密度x的一次函数 设v x ax b 利用x 200时v 0及x 20时v 60可求出a b 据此可求v x 的表达式 2 f x 是关于x的分段函数 求出每段的最大值 再比较可得f x 的最大值 规范解答 1 由题意 当0 x 20时 v x 60 当20 x 200时 设v x ax b 由已知得 解得 故函数v x 的表达式为v x 2 依题意并由 1 可得f x 当0 x 20时 f x 为增函数 故当x 20时 其最大值为60 20 1200 当20 x 200时 f x x 200 x 当且仅当x 200 x 即x 100时 等号成立 所以 当x 100时 f x 在区间 20 200 上取得最大值 综上 当x 100时 f x 在区间 0 200 上取得最大值 3333 即当车流密度为100辆 千米时 车流量可以达到最大 最大值约为3333辆 小时 反思 感悟 建立函数模型解决实际问题的过程用框图表示如图 变式训练 某地发生特大地震和海啸 使当地的自来水受到了污染 某部门对水质检测后 决定往水中投放一种药剂来净化水质 已知每投放质量为m的药剂后 经过x天该药剂在水中释放的浓度y 毫克 升 满足y mf x 其中当药剂在水中释放的浓度不低于4 毫克 升 时称为有效净化 当药剂在水中释放的浓度不低于4 毫克 升 且不高于10 毫克 升 时称为最佳净化 1 如果投放的药剂质量为m 4 试问自来水达到有效净化一共可持续几天 2 如果投放的药剂质量为m 为了使在7天 从投放药剂算起包括7天 之内的自来水达到最佳净化 试确定该投放的药剂质量m的值 解析 1 当m 4时 y 4f x 当药剂在水中释放的浓度不低于4 毫克 升 时称为有效净化 当0 x 4时 y x 8 4 解得x 4 当x 4时 y 4 解得4 x 8 故自来水达到有效净化一共可持续5天 2 为了使在7天 从投放药剂算起包括7天 之内的自来水达到最佳净化 即前4天和后3天的自来水达到最佳净化 当0 x 4时 4 m 2 10在0 x 4上恒成立 得在0 x 4上恒成立 2 m 当4 x 7时 4 10在4 x 7上恒成立 同理得m 即投放的药剂质量m的值为 变式备选 据气象中心观察和预测 发生于m地的沙尘暴一直向正南方向移动 其移动速度v km h 与时间t h 的函数图象如图所示 过线段oc上一点t t 0 作横轴的垂线l 梯形oabc在直线l左侧部分的面积即为t h 内沙尘暴所经过的路程s km 1 当t 4时 求s的值 2 将s随t变化的规律用数学关系式表示出来 3 若n城位于m地正南方向 且距m地650km 试判断这场沙尘暴是否会侵袭到n城 如果会 在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到n城 如果不会 请说明理由 解析 1 由图象可知 当t 4时 v 3 4 12 s 4 12 24 km 2 当0 t 10时 s t 3t t2 当10 t 20时 s 10 30 30 t 10 30t 150 当20 t 35时 s 10 30 10 30 t 20 30 t 20 2 t 20 t2 70t 550 综上 可知s 3 t 0 10 时 smax 102 150 650 t 10 20 时 smax 30 20 150 450 650 当t 20 35 时 令 t2 70t 550 650 解得t1 30 t2 40 20 t 35 t 30 沙尘暴发生30h后将侵袭到n城 热点考向3指数函数与对数函数模型 方法点睛 指数函数模型的应用指数函数模型的应用是高考的一个主要内容 常与增长率相结合进行考查 在实际问题中人口增长 银行利率 细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表示 通常可表示为y a 1 p x 其中a为原来的基础数 p为增长率 x为时间 的形式 例3 1 某种动物繁殖量y 只 与时间x 年 的关系为y alog3 x 1 设这种动物第2年有100只 到第8年它们将发展到 a 200只 b 300只 c 400只 d 500只 2 2012 泉州模拟 为了预防流感 某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒 已知药物释放过程中 室内每立方米空气中的含药量y 毫克 与时间t 小时 成正比 药物释放完毕后 y与t的函数关系式为y a为常数 如图所示 根据图中提供的信息 求从药物释放开始 每立方米空气中的含药量y 毫克 与时间t 小时 之间的函数关系式为 解题指南 1 先利用对数函数模型求得参数a 再代入求值 2 结合图象通过特殊点用待定系数法求出关系式 规范解答 1 选a 由题意知 当x 2时 y 100 即100 alog3 2 1 解得a 100 当x 8时 y 100log3 8 1 200 只 2 药物释放过程中 室内每立方米空气中的含药量y 毫克 与时间t 小时 成正比 则设函数y kt k 0 将点 0 1 1 代入可得k 10 则y 10t 将点 0 1 1 代入y 得a 则所求关系式为y 答案 y 互动探究 本例 2 中题干不变 若据测定 当空气中每立方米的含药量降低到0 25毫克以下时 学生方可进教室 那么从药物释放开始 至少需要经过 小时后 学生才能回到教室 解析 由本例 2 知 令 0 25 得t 0 6 即从药物释放开始 至少需要经过0 6小时后 学生才能回到教室 答案 0 6 反思 感悟 1 解决这类已给出数学模型的实际问题 关键是从实际问题分析出其经过的特殊点或满足的特殊情况 从而代入求得其解析式 2 与函数有关的应用题 经常涉及物价 路程 产值 环保等实际问题 也可涉及角度 面积 体积 造价的最优化问题 解答这类问题的关键是确切建立相关函数解析式 然后应用函数 方程和不等式的有关知识加以综合解答 变式备选 已知某物体的温度 单位 摄氏度 随时间t 单位 分钟 的变化规律是 m 2t 21 t t 0 并且m 0 1 如果m 2 求经过多少时间 物体的温度为5摄氏度 2 若物体的温度总不低于2摄氏度 求m的取值范围 解析 1 若m 2 则 2 2t 21 t 2 2t t 0 当 5时 2t 令x 2t 则x 1 则x 即2x2 5x 2 0 解得x 2或x 舍去 此时t 1 所以经过1分钟 物体的温度为5摄氏度 2 物体的温度总不低于2摄氏度 即 2恒成立 亦m 2t 2恒成立 亦即m 2 恒成立 令y 则0 y 1 m 2 y y2 由于y y2 m 因此 当物体的温度总不低于2摄氏度时 m的取值范围是 1 2013 莆田模拟 小孟进了一批水果 如果他以每千克1 2元的价格出售 那他就会赔4元 如果他以每千克1 5元的价格出售 一共可赚8元 现在小孟想将这批水果尽快出手 以不赔不赚的价格卖出 那么每千克水果应定价为 a 1 2元 b 1 3元 c 1 4元 d 1 45元 解析 选b 设水果的成本价为x元 千克 共有a千克 由题意知解得x 1 3 则每千克水果应定价1 3元 故选b 2 2013 宁德模拟 某市原来居民用电价格为0 52元 kw h 换装分时电表后 峰时段 早上八点到晚上九点 的电价0 55元 kw h 谷时段 晚上九点到次日早上