高考数学 21圆周角定理课件 新人教A版选修41.ppt

第二讲直线与圆的位置关系 讨论直线与圆的位置关系 涉及圆周角 圆的内接四边形 圆的切线 弦切角 与圆有关的线段间的度量关系等内容 其中有的概念同学们在初中阶段已经学习过 本讲力求使这些知识融为一体 对相关定理进行严格论证 并注重知识的应用 第1课时圆周角定理 课标要求 1 理解圆周角定理与圆心角定理 圆周角定理的两个推论 2 会用圆周角定理和推论解决有关问题 3 会用圆心角定理解决有关问题 核心扫描 1 理解圆心角定理及圆周角定理的两条推论 重点 2 能应用两条定理及两条推论解决相关的几何问题 难点 自学导引1 圆周角定理 1 圆心角及圆周角的概念 顶点在圆上 并且两边和圆相交的角叫做圆周角 顶点在圆心的角叫做圆心角 2 圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半 2 圆心角定理 1 定理 圆心角的度数等于 2 圆心角的表示 圆心角 aob与其所对的ab所对的度数是相等的 如图所示 可以记为 aob的度数 ab的度数 不能写成 aob ab 它所对弧的度数 3 圆周角定理的推论 1 推论1 同弧或等弧所对的 同圆或等圆中 相等的圆周角 2 推论2 半圆 或直径 所对的圆周角是 90 的圆周角所对的弦是 3 在同圆或等圆中 两个圆心角 两条弧 两条弦三组量之间的相等关系 简单地说 就是圆心角相等 弧相等 弦相等 圆周角相等 所对的弧也相等 直角 直径 名师点睛1 圆周角定理揭示了圆周角与圆心角的关系 把角和弧两种不同类型的图形联系起来 在几何证明的过程中 圆周角定理为我们解决角和弧之间的问题提供了一种新方法 2 圆心角的度数等于它所对的弧的度数 它与圆的半径无关 也就是说在大小不等的两个圆中 相同度数的圆心角 它们所对的弧的度数相等 反过来 弧的度数相等 它们所对的圆心角的度数也相等 3 关于圆周角定理推论的理解 1 在推论1中 注意 同弧或等弧 改为 同弦或等弦 的话结论就不成立了 因为一条弦所对的圆周角有两种可能 在一般情况下是不相等的 2 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等 但并不是 圆心角等于它所对的弧 3 相等的圆周角所对的弧也相等 的前提条件是 在同圆或等圆中 4 在同圆或等圆中 由弦相等 弧相等时 这里的弧要求同是优弧或同是劣弧 一般选劣弧 反思感悟弦所对的圆周角有两个 易丢掉120 导致错误 另外求圆周角时易应用到解三角形的知识 反思感悟利用圆中角的关系证明时应注意的问题 1 分析已知和所求 找好所在的三角形 并根据三角形所在圆上的特殊性 寻求相关的圆周角作为桥梁 2 当圆中出现直径时 要注意寻找直径所对的圆周角 然后在直角三角形中处理相关问题 变式2 已知ad是 abc的高 ae是 abc的外接圆的直径 求证 bae dac 证明连接be 因为ae为直径 所以 abe 90 因为ad是 abc的高 所以 adc 90 所以 adc abe 因为 e c 所以 bae 180 abe e dac 180 adc c 所以 bae dac 法二如图 2 所示 连接ac oc bd od cm垂直平分oa ac oc 同理 od bd oc od ac bd ac bd 反思感悟 1 证明与弧有关问题的步骤 根据题意作出辅助线 证明两个圆心角 两个圆周角 或两条弧所在的弦相等 利用圆周角定理的相关推论作出结论 2 注意事项 在圆中 只要有弧就存在着弧所对的圆周角 因此 若要判断两弧相等 可以通过判断两条弧所对的圆周角相等 其实圆心角 两条弦 两条弧中任何一组相等 那么它们所对应的其余各个量也相等 题型四圆周角定理的综合应用 例4 如图所示 已知 o中ab ac的中点分别是e f 直线ef交ac于p 交ab于q 求证 apq是等腰三角形 思维启迪 要证等腰三角形 可分别用弧的度数表示 apq与 aqp 然后根据等腰三角形的定义作出判断 反思感悟应用圆周角和圆心角定理解题 观察图形 寻找相应弦及所在的弧 利用圆周角定理和圆心角定理求出相关的角 进行数学变形 得出结论 解有平行线段 理由是 如图所示 连接bc 因为ab是 o的直径 所以 acb 90 又ac ef 所以 adf 90 所以 adf acb 所以ef