高中数学 1.4.1正弦函数、余弦函数的图象课件 新人教A版必修4.ppt

1 4三角函数的图象与性质1 4 1正弦函数 余弦函数的图象 一 正弦函数 余弦函数的图象 思考 怎样由y sinx的图象得到y cosx的图象 提示 只需将y sinx的图象向左平移个单位即可得到y cosx的图象 二 五点法 作正弦函数的图象1 五点法作图的一般步骤2 五点法作正弦函数图象的五个关键点 0 0 0 2 0 思考 利用五点法作正 余弦函数图象的关键是什么 提示 利用五点法作图的关键是抓住三角函数中的最值点以及与x轴的交点 知识点拨 1 几何法和五点法作正 余弦函数图象的优缺点 1 几何法 就是利用单位圆中的正弦线和余弦线作出正 余弦函数图象的方法 该方法作图较为精确 但画图时较为烦琐 2 五点法 是我们作三角函数图象的基本方法 在要求精度不太高的情况下常用此法 作图时要注意五个关键点的确定 2 y sinx x 0 2 与y sinx x r的图象的关系 1 前者是后者图象的一部分 2 结合诱导公式一可知 只需将函数y sinx x 0 2 的图象向右或向左平移2k k z 个单位即可得函数y sinx x r的图象 3 五点 的确定y sinx x 0 2 和y cosx x 0 2 图象上的五个关键点 分别是图象与x轴的交点 图象上最高点和最低点 需注意的是前者与x轴有三个交点 图象上有一个最高点和一个最低点 后者与x轴有两个交点 图象上有两个最高点和一个最低点 类型一正 余弦函数的图象 典型例题 1 下列叙述正确的有 y sinx x 0 2 的图象关于点p 0 成中心对称 y cosx x 0 2 的图象关于直线x 成轴对称 正 余弦函数的图象不超过直线y 1和y 1所夹的范围 a 0个b 1个c 2个d 3个 2 对于余弦函数y cosx的图象 有以下三项描述 向左向右无限延伸 与x轴有无数多个交点 与y sinx的图象形状一样 只是位置不同 其中正确的有 a 0个b 1个c 2个d 3个 解题探究 1 解答题1的关键是什么 2 解答正 余弦函数图象问题的依据是什么 探究提示 1 解答题1的关键是作出正 余弦函数的图象 由观察图象从直观上得函数性质 2 解答此类问题应以图象为依据 画出相应图象 观察图象解决问题 解析 1 选d 分别画出函数y sinx x 0 2 和y cosx x 0 2 的图象 由图象观察可知 均正确 2 选d 如图所示为y cosx的图象 可知三项描述均正确 拓展提升 解决正 余弦函数图象的注意点对于正 余弦函数的图象问题 要画出正确的正弦曲线 余弦曲线 掌握两者的形状相同 只是在坐标系中的位置不同 可以通过相互平移得到 变式训练 2013 芜湖高一检测 关于三角函数的图象 有下列说法 y sin x 与y sinx的图象关于y轴对称 y cos x 与y cos x 的图象相同 y sinx 与y sin x 的图象关于x轴对称 y cosx与y cos x 的图象关于y轴对称 其中正确的序号是 解析 对 y cos x cosx y cos x cosx 故其图象相同 对 y cos x cosx 故其图象关于y轴对称 由作图可知 均不正确 答案 类型二用 五点法 作三角函数图象 典型例题 1 用五点法作函数y 1 cosx x 0 2 的图象时 应取的五个关键点分别是 2 用 五点法 作出下列函数的简图 1 y sinx 1 x 0 2 2 y 2 cosx x 0 2 解题探究 1 五点法作图中的五个关键点分别是什么 2 函数y sinx y cosx与y sinx m y cosx m的图象有什么关系 探究提示 1 五点法作图的五个关键点是2 y sinx m y cosx m的图象与y sinx y cosx的图象形状 大小一样 就是位置不一样 解析 1 由五点法作图可知 x应取的值分别是2 此时y相应的取值是0 1 2 1 0 即五个关键点分别是答案 2 1 列表 描点连线 如图 2 列表 描点连线 如图 互动探究 题1中若函数为y 1 cos2x 其他条件不变 则五个关键点又分别是什么 解析 令z 2x 则函数为y 1 cosz 分别令z 0 则此时y相应的取值是0 1 2 1 0 即五个关键点分别是 拓展提升 五点法 作图的步骤作形如y asinx b 或y acosx b x 0 2 的图象时 可由 五点法 作出 其步骤如下 1 列表 取 2 描点 3 连线 用平滑的曲线将各点连接成图 变式训练 用 五点法 画出函数y 3 sinx x 0 2 的图象 解析 1 列表 如表所示 2 描点 连线 如图所示 类型三正 余弦函数图象的简单运用 典型例题 1 作出函数y sinx x 的简图 并回答下列问题 1 观察函数图象 写出满足下列条件的x的区间 sinx 0的x的取值区间是 sinx 0的x的取值区间是 2 直线与y sinx的图象有 个交点 2 求下列函数的定义域 解题探究 1 如何由y sinx的图象判断三角函数值的正负 判断图象交点个数的方法有哪些 2 利用正 余弦函数图象求解三角不等式的思路是什么 探究提示 1 作出正弦曲线 在x轴上方的三角函数值为r 在x轴下方的三角函数值为负 判断图象交点个数可以利用数形结合或解方程组的方法进行判断 2 先作简图 然后观察在哪个区域内不等式成立 进而求解不等式 解析 1 利用 五点法 作图 1 根据图象可知图象在x轴上方的部分sinx 0 在x轴下方的部分sinx0 当x 0 时 sinx 0 2 画出直线可知有2个交点 答案 1 0 0 2 2 2 1 要使有意义 则必须满足2sinx 1 0即结合正弦曲线或三角函数线 如图所示 知函数的定义域为 2 要使函数有意义 必须使sinx cosx 0 利用图象 在同一坐标系中画出 0 2 上y sinx和y cosx的图象 如图所示 在 0 2 内 满足sinx cosx的x为再结合正弦 余弦函数的图象 所以定义域为 拓展提升 1 用三角函数的图象解sinx a 或cosx a 的方法 1 作出直线y a 作出y sinx 或y cosx 的图象 2 确定sinx a 或cosx a 的x值 3 确定sinx a 或cosx a 的解集 2 利用三角函数线解sinx a 或cosx a 的方法 1 找出使sinx a 或cosx a 的两个x值的终边所在的位置 2 根据变化趋势 确定不等式的解集 变式训练 1 函数y 2sinx与函数y x图象的交点有 个 解题指南 准确在同一坐标系内画出两个函数的图象是解答此类问题的关键 解析 在同一坐标系中作出函数y 2sinx与y x的图象可见有3个交点 答案 3 2 求函数的定义域 解析 为使函数有意义 需满足即 由正弦曲线或三角函数线 如图所示 所以定义域为 规范解答 与正弦函数有关的函数图象的作法 典例 条件分析 规范解答 由tanx 0 得x k k z 又 3分所以 5分所以函数的定义域为 6分 8分在 0 2 上 由得 10分 其图象如图所示 12分 失分警示 防范措施 1 准确求三角函数定义域在求三角函数定义域时 除使得解析式有意义外 还要考虑三角函数本身的定义域 如本例正切函数y tanx中2 准确作图画函数图象应注意与定义域和所给区间结合 不符合定义域内的点应用虚点画出 例如本例要求 类题试解 作出函数在 2 2 上的图象 解析 由于因此只需作出函数y cosx x 2 2 的图象即可 而函数y cosx x 2 2 的图象可采用将函数y cosx x 2 2 的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方的方法得到 所得图象如图所示 1 在同一平面直角坐标系内 函数y sinx x 0 2 与y sinx x 2 4 的图象 a 重合b 形状相同 位置不同c 关于y轴对称d 形状不同 位置不同 解析 选b 结合正弦曲线 可知函数图象形状相同 位置不同 2 已知则f x 的图象 a 与g x 的图象相同b 与g x 的图象关于y轴对称c 向左平移个单位 得g x 的图象d 向右平移个单位 得g x 的图象 解析 选d f x cosx g x sinx 故f x 的图象向右平移个单位即得g x 的图象 3 用 五点法 作