高考数学总复习 第十一章 第四节参数方程课件 理.ppt

第四节参数方程 第十一章选考部分 课前自修 知识梳理 一 参数方程的定义一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标x y都是某个变数t的函数 并且对于t的每一个允许值 由方程组 所确定的点m x y 都在这条曲线上 那么方程 就叫做这条曲线的参数方程 联系变数x y的变数t叫做参变数 简称参数 相对于参数方程而言 直接给出点的横 纵坐标间关系的方程叫做普通方程 其中 t是直线上的定点m0 x0 y0 到动点m x y 的有向线段的数量 即m0m t 当点 x y 在点 x0 y0 的上方时 t 0 当点 x y 在点 x0 y0 的下方时 t 0 当点 x y 与点 x0 y0 重合时 t 0 以上反之亦然 于是参数t的绝对值等于直线上的动点m到定点m0的距离 由于直线的标准参数方程中t具有这样的几何意义 所以在解决直线与二次曲线相交的弦长和弦的中点问题时 用参数方程来解决 方便了很多 当a b分别表示点m x y 在x方向与y方向的分速度时 t就具有物理意义 时间 相应的at bt则表示点m x y 在x方向 y方向上相对 x0 y0 的位移 八 参数方程和普通方程的互化1 由参数方程化为普通方程 重点 消去参数 消参数常用的方法有代入法 加减 或乘除 消元法 三角代换法等 消参时应特别注意参数的取值范围对x y的限制 由参数方程化为普通方程一般是唯一的 2 由普通方程化为参数方程 难点 选参数 参数选法多种多样 所以由普通方程化为参数方程是不唯一的 基础自测 答案 y 3 x 2 3 2011 湖南卷 在直角坐标系xoy中 曲线c1的参数方程为 为参数 在极坐标系 与直角坐标系xoy取相同的长度单位 且以原点o为极点 以x轴正半轴为极轴 中 曲线c2的方程为 cos sin 1 0 则c1与c2的交点个数为 解析 曲线c1的参数方程化为普通方程 x2 y 1 2 1 圆心为 0 1 r 1 曲线c2的方程为 cos sin 1 0化为普通方程 x y 1 0 则圆心在曲线c2上 直线与圆相交 故c1与c2的交点个数为2 答案 2 考点探究 考点一 参数方程与普通方程的互化 例1 把下列参数方程化为普通方程 并说明它们各表示什么曲线 思路点拨 1 利用代入消元法消去 2 利用sin2 cos2 1消去 点评 通过消去参数将曲线的参数方程化为普通方程 有利于识别曲线的类型 在参数方程与普通方程的互化中 必须使两种方程中的x y的取值范围保持一致 由于参数方程中的参数多数都用角表示 消参的过程就要用到三角函数的有关变形公式 故参数方程与三角函数关系紧密 必须熟练掌握三角变形公式 变式探究 解析 将两式分别平方得x2 t2 2 y2 t2 2 两式相减 整理得y2 x2 4 它表示中心在原点 实轴在y轴上的双曲线 考点二 求曲线的参数方程 2 过坐标原点o作c1的垂线 垂足为a p为oa中点 当 变化时 求p点的轨迹的参数方程 并指出它是什么曲线 思路点拨 1 将两参数方程化为普通方程 再将 的值代入 解方程组即得交点坐标 2 在普通方程的情形下 先求出点a的坐标 从而得点p的坐标 点p的坐标中含有参数 于是得到点p的轨迹的参数方程 点评 参数方程和普通方程在解决问题时 各有优势 将参数方程化为普通方程 容易判断曲线的类型 用参数方程表示曲线 有时方程会更简洁 求曲线的参数方程关键是选好参数 参数的选取恰当与否对曲线的参数方程的形式的繁简有着至关重要的作用 一般来说 参数选取角度比较多 对应的参数方程也比较简单 变式探究 2 已知等腰直角三角形abc b为直角顶点 且在x轴正方向上运动 点a在y轴正方向上运动 ab 2 求点c的参数方程 考点三 求直线的参数方程 例3 直线l x y 3 0与抛物线y2 4x交于两点a b 求线段ab的长和点m 0 3 到a b两点的距离之积 思路点拨 充分利用直线参数方程中参数的几何意义解题 点评 利用直线参数方程中参数t的几何意义求直线与曲线的交点之间的距离 体现了直线参数方程的标准形式的优越性 直线的参数方程有多种形式 只有标准形式中的参数才具有几何意义 即参数t的绝对值表示对应的点到定点的距离 变式探究 3 经过点m 1 2 作直线l 交椭圆 1于两点a b 如果点m恰好为线段ab的中点 求直线l的方程 考点四 圆锥曲线参数方程的应用 例4 在椭圆 1上求一点m 使点m到直线x 2y 10 0的距离最小 并求出最小距离 思路点拨 直接用直角坐标 则点m x y 到直线x 2y 10 0的距离的表达式中有两个变量 虽然可以借助椭圆方程转化为一个变量 但是表达式比较复杂 因此 考虑用椭圆的参数方程求解 点评 本题是利用椭圆参数方程解决问题的典型例子 可以感受到曲线的参数方程在消元变形中具有重要作用 利用参数方程 一方面椭圆上的点的坐标只含有一个参变量 距离表达式得到简化 另一方面 可以用上三角变换 从而拓广了解决问题的途径 变式探究 1 普通方程是相对于参数方程而言的 适当选择参数 普通方程可以化为参数方程 同样地 消去参数 参数方程就化为普通方程 需要注意的是 在化参数方程为普通方程时 坐标x y的取值范围不能扩大或缩小 即对应曲线上点的坐标不能有增减 为了防止转化过程中出现范围的变化 可以先由参数方程讨论x y的变换范围 再对方程进行转化 从普通方程化为参数方程 必须先指定参数或给出参数与x y中之一的函数关系 同一个普通方程 由于选择的参数不同 得到的参数方程也不同 2 通过求过点m0 x0 y0 倾斜角为 的直线l的参数方程 进一步明确参数方程中参数的几何意义 3 应掌握椭圆的参数方程式的推导 如图 以原点o为圆心 a b a b 0 为半径分别作两个同心圆 设a为大圆上的任一点 连接oa 与小圆交于点b 过点a b分别作x轴 y轴的垂线 两垂线交于点m 设以ox为始边 oa为终边的角为 点m的坐标是 x y 那么点a的横坐标为x 点b的纵坐标为y 由于点a b均在角 的终边上 由三角函数的定义有x oa cos acos y ob sin bsin 当半径oa绕点o旋转一周时 就得到了点m的轨迹 它的参数方程是 为参数 这是中心在原点o 焦点在x轴上的椭圆 在上述的椭圆的参数方程中 参数 表示x轴正半轴沿逆时针方向旋转到ob的位置时所