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文档简介
第九节抛物线 一 第七章平面解析几何 考纲要求 1 掌握抛物线的定义 几何图形 标准方程及简单性质 2 理解数形结合的思想 课前自修 知识梳理 一 抛物线的定义平面内到定点f的距离等于到定直线l 定点不在定直线上 的距离的点的轨迹是抛物线 其中定点叫做焦点 定直线叫做准线 注意 当定点在定直线上时 点的轨迹是过该定点且与定直线垂直的一条直线 二 抛物线的类型 标准方程及其几何性质 注意 表中各式的p 0 三 圆锥曲线的统一定义 属知识拓展 平面内到定点f和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹 当01时 轨迹为双曲线 基础自测 1 2012 浙江金华模拟 已知抛物线的焦点坐标是 0 3 则抛物线的标准方程是 a x2 12yb x2 12yc y2 12xd y2 12x 解析 依题意 3 p 6 x2 12y 故选a 答案 a 2 2012 西安市月考 设抛物线y2 8x上一点p到y轴的距离是4 则点p到该抛物线焦点的距离是 a 4b 6c 8d 12 解析 据已知抛物线方程可得其准线方程为x 2 又由点p到y轴的距离为4 可得点p的横坐标xp 4 由抛物线定义可知点p到焦点的距离等于其到准线的距离 即 pf xp xp 2 4 2 6 故选b 答案 b 3 若动点p到点f 2 0 的距离与它到直线x 2 0的距离相等 则点p的轨迹方程为 解析 由抛物线定义知点 p的轨迹是以f 2 0 为焦点 直线x 2为准线的抛物线 所以p 4 所以其方程为y2 8x 答案 y2 8x 4 2011 厦门市模拟 若抛物线y2 2px的焦点与椭圆 1的右焦点重合 则p的值为 解析 椭圆 1的右焦点为 2 0 所以抛物线y2 2px的焦点为 2 0 则p 4 答案 4 考点探究 考点一 求抛物线的标准方程及准线方程 例1 求满足下列条件的抛物线的标准方程 并求对应抛物线的准线方程 1 过点 3 2 2 焦点在直线x 2y 4 0上 3 已知抛物线c的顶点在原点 焦点f在x轴的正半轴上 设a b是抛物线c上的两个动点 ab不垂直于x轴 且 af bf 8 线段ab的垂直平分线恒经过定点q 6 0 思路点拨 对于 1 与 2 从方程形式看 求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p 从实际分析 一般需确定p和确定开口方向两个条件 否则 应展开相应的讨论 对于 3 由已知 抛物线c的顶点在原点 焦点f在x轴的正半轴上 可设抛物线方程为y2 2px p 0 利用抛物线的定义可解决 解析 1 设所求的抛物线方程为y2 2px或x2 2py p 0 过点 3 2 4 2p 3 或9 2p 2 p 或p 所求的抛物线方程为y2 x或x2 y 前者的准线方程是x 后者的准线方程是y 2 令x 0得y 2 令y 0得x 4 抛物线的焦点为 4 0 或 0 2 当焦点为 4 0 时 4 p 8 此时抛物线方程y2 16x 焦点为 0 2 时 2 p 4 此时抛物线方程为x2 8y 所求的抛物线的方程为y2 16x或x2 8y 对应的准线方程分别是x 4 y 2 3 设抛物线的方程为y2 2px p 0 其准线为x 设a x1 y1 b x2 y2 af bf 8 x1 x2 8 即x1 x2 8 p q 6 0 在线段ab的中垂线上 qa qb x1 6 2 y x2 6 2 y y 2px1 y 2px2 x1 x2 x1 x2 12 2p 0 ab与x轴不垂直 x1 x2 故x1 x2 12 2p 8 p 12 2p 0 即p 4 从而抛物线方程为y2 8x 其准线方程为x 2 点评 1 求抛物线的标准方程 要先根据题设判断抛物线的标准方程的类型 再求抛物线的标准方程 再由条件确定参数p的值 这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论 先入为主 设定一种形式的标准方程后求解 以致失去一解 2 应明确抛物线的标准方程 焦点坐标 准线方程三者相依并存 知道其中一个 就可以求出其他两个 如本题第 3 小题根据抛物线的顶点在原点及顶点在x轴设出方程 再将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离 产生所设方程中的参变量 分析与求解均建立在抛物线的几何性质的基础上进行 难度不大 但基础性较强 变式探究 1 1 设斜率为2的直线l过抛物线y2 ax a 0 的焦点f 且和y轴交于点a 若 oaf o为坐标原点 的面积为4 则抛物线方程为 a y2 4xb y2 8xc y2 4xd y2 8x 2 已知抛物线的顶点为坐标原点 焦点在y轴上 抛物线过点 4 2 则抛物线的标准方程是 解析 1 抛物线焦点f坐标为 故直线l的方程为y 2 它与y轴交点坐标为a s oaf 4 得a2 64 a 8 即抛物线方程为y2 8x 故选b 2 设抛物线方程为x2 2py p 0 因抛物线过点 4 2 42 2p 2 p 4 抛物线方程为x2 8y 答案 1 b 2 x2 8y 考点二 求以非标准方程形式给出的抛物线的焦点坐标或准线方程 例2 设a 0 a r 则抛物线y 4ax2的焦点坐标为 a a 0 b 0 a c d 随a符号而定思路点拨 将抛物线方程化为标准形式 对照标准方程即可求得 解析 由y 4ax2得x2 y 所以焦点f的坐标是 故选c 答案 c 变式探究 2 抛物线x ay2的焦点f是椭圆 1的左焦点 则a的值为 考点三 利用抛物线的定义求距离和的最小值 例3 设p是抛物线y2 4x上的一动点 1 求点p到点a 2 1 的距离与点p到直线x 1的距离之和的最小值 2 若b 3 2 求 pb pf 的最小值 思路点拨 由抛物线方程为y2 4x知此抛物线的焦点为f 1 0 准线是x 1 由抛物线的定义知 点p到直线x 1的距离等于点p到焦点的距离 于是 问题转化为 在曲线上求一点p 使点p到点a 2 1 与到点f 1 0 的距离最小的问题 从而获得问题的解答 解析 1 由于a 2 1 f 1 0 p为抛物线上任意一点 则 ap pf af 从而知点p到点a 2 1 的距离与点p到f 1 0 的距离之和的最小值为 所以点p到点a 2 1 的距离与点p到直线x 1的距离之和的最小值也为 2 如图所示 自点b作bq垂直于抛物线的准线于点q 交抛物线于点p1 此时 p1q p1f 那么 pb pf p1b p1q bq 4 即最小值为4 点评 与抛物线有关的最值问题 一般情况下都与抛物线的定义有关 由于抛物线的定义在利用上有较大的灵活性 因此 此类问题也有一定的难度 本题中的两小问有一个共性 都是利用抛物线的定义 将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离 从而构造出 两点间线段距离最短 使问题获解 变式探究 3 2012 泰安市月考 已知点m是抛物线y2 4x上的一点 f为抛物线的焦点 a在圆c x 4 2 y 1 2 1上 则 ma mf 的最小值为 解析 依题意得 ma mf mc 1 mf mc mf 1 由抛物线的定义知 mf 等于点m到抛物线x 1的准线的距离 结合图形不难得知 mc mf 的最小值等于圆心c 4 1 到抛物线的准线x 1的距离 即为5 因此所求的最小值为4 答案 4 考点四 与焦点弦有关的问题 例4 2012 安徽卷 过抛物线y2 4x的焦点f的直线交该抛物线于a b两点 o为坐标原点 若 af 3 则 aob的面积为 a b c d 2 点评 凡涉及焦点弦的问题 往往能利用抛物线的定义来解决 因此正确理解和掌握抛物线的定义和性质 将会给解题带来方便 4 2011 江西卷 已知过抛物线y2 2px p 0 的焦点 斜率为2的直线交抛物线于a x1 y1 b x2 y2 x1 x2 两点 且 9 1 求该抛物线的方程 2 o为坐标原点 c为抛物线上一点 若 求l的值 解析 1 直线ab的方程是y 2 与y2 2px联立 从而有4x2 5px p2 0 所以x1 x2 抛物线定义得 ab x1 x2 p 9 所以p 4 从而抛物线方程是y2 8x 变式探究 2 由p 4知4x2 5px p2 0可化为x2 5x 4 0 从而x1 1 x2 4 y1 2 y2 4 从而a 1 2 b 4 4 设 x3 y3 1 2 4 4 4 1 4 2 又y 8x3 即 2 2 1 2 8 4 1 即 2 1 2 4 1 解得 0或 2 考点五 抛物线与其他知识的综合 例5 2011 广州市一模 已知直线y 2上有一个动点q 过点q作直线l1垂直于x轴 动点p在l1上 且满足op oq o为坐标原点 记点p的轨迹为c 1 求曲线c的方程 2 若直线l2是曲线c的一条切线 当点到直线l2的距离最短时 求直线l2的方程 变式探究 5 已知一动圆过定点p 1 0 且与定直线l x 1相切 点c在l上 1 求动圆圆心m的轨迹的方程 2 设过点p 且斜率为 的直线与曲线m相交于a b两点 问 abc能否为正三角形 若能 求出c点的坐标 若不能 说明理由 解析 1 依题意 曲线m是以点p为焦点 直线l为准线的抛物线 曲线m的方程为y2 4x 如图所示 2 由题意得 直线ab的方程为y x 1 由消y得3x2 10 x 3 0 解得a b 3 2 易错警示 忽略多解性致误 求到y轴的距离比到点的距离小2的动点p的轨迹方程 学生错解 即为动点到点 2 0 的距离等于到直线x 2的距离 由抛物线的定义可知点p的轨迹是抛物线 其方程为y2 8x 错因分析 上述解法忽略了当动点 在过定点且与定直线垂直的射线上 也符合题意这一情形 因而产生漏解 因此要注意正确理解和掌握抛物线的定义和性质和注意问题的多解性 养成严密思考问题的习惯 正解 依题意可知 动点p的轨迹需分类讨论 1 当动点p在过定点 2 0 且与定直线 y轴 垂直的射线 即x轴的非正半轴 上时 其轨迹为一条射线 故其方程为y 0 2 当动点p不在过定点 2 0 且与定直线 y轴 垂直的射线 即x轴的非正半轴 上时 动点p到点 2 0 的距离等于到直线x 2的距离 其轨迹是一条抛物线 故其方程为y2 8x 综上可得动点p的轨迹方程为y2 8x或y 0 本课时重点是抛物线的定义 四种方程及几何性质 难点是四种方程的运用及对应性质的比较 辨别和应用 关键是定义的运用 在复习过程中注意以下几点 1 求抛物线方程时 若由已知条件可知曲线是抛物线 一般用待定系数法 若由已知条件可知曲线的动点的规律 一般用轨迹法 2 解决焦点弦问题时 抛物线的定义有广泛的应用 而且还应注意焦点弦的几何性质 3 由于抛物线的离心率e 1 所以与椭圆及双曲线相比 它有许多特殊的性质 而且许多性质是可以借助于平面几何的知识来解决的 4 抛物线方程中 字母p的几何意义是抛物线的焦点f到准线的距离 等于焦点到抛物线顶点的距离 牢记它对解题非常有益 5 求抛物线方程时 要依据题设条件 弄清抛物线的对称轴和开口方向 正确地选择抛物线标准方程 6 在解题中 抛物线上的点 焦点 准线三者通常与抛物线的定义相联系 所以要注意相互转化 7 焦半径 抛物线上的点m到焦点f的距离叫焦半径 8 抛物线中与焦点弦有关的一些性质 1 以过焦点的弦为直径的圆和准线相切 2 抛物线的通径为2p 通径是所有焦点弦 过焦点的弦 中最短的弦 3 若抛物线y2 2px p 0 的焦点弦为ab a x1 y1 b x2 y2 则 ab x1 x2 p x1x2 y1y2 p2 感悟高考 品味高考 1 2012 四川卷 已知抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点o 并且经过点m 2 y0 若点m到该抛物线焦点的距离为3 则 om a 2b 2c 4d 2 2 已知平面内一动点p到点f 1 0 的距离与点p到y轴的距离的差等于1 1 求动点p的轨迹c的方程 2 过点f作两条斜率存在且互相垂直的直线l1 l2 设l1与轨迹c相交于点a b l2与轨迹c相交于点d e 求的最小值 解析 1 设动点p的坐标为 x y 由题意有 x 1 化简得y2 2x 2 x 当x 0时 y2 4x 当x 0时 y 0 所以 动点p的轨迹c的方程为y2 4x x 0 和y 0 x 0 2 由题意知 直线l1的斜率存在且不为0 设为k 则l1的方程为y k x 1 由得k2x2 2k2 4 x k2 0 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2是上述方程的两个实根 于是x1 x2 2 x1x2 1 高考预测 1 2012 郑州市质量预
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