高考数学一轮复习 第三章 三角函数课件 湘教版.ppt

第三章三角函数 3 1任意角和弧度制及任意角的三角函数3 2函数的单调性与最值同角三角函数基本关系与诱导公式3 3三角函数的图像和性质3 4函数的图像及三角函数模型的简单应用3 5两角和与差的正弦 余弦和正切公式3 6简单的三角恒等变换3 7正弦定理和余弦定理3 8正弦定理和余弦定理的应用 3 1任意角和弧度制及任意角的三角函数 1 角的有关概念 1 从运动的角度看 角可分为正角 和 2 从终边位置来看 可分为 和轴线角 3 若 与 是终边相同的角 则 可用 表示为 或 负角 零角 象限角 k 360 k z 或 k 2 k z 思考探究 1 终边相同的角相等吗 它们的大小有何关系 2 锐角是第一象限角 第一象限角是锐角吗 小于90 的角是锐角吗 2 弧度与角度的互化 1 1弧度的角长度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角 用符号rad表示 2 角 的弧度数如果半径为r的圆的圆心角 所对弧的长为l 那么角 的弧度数的绝对值是 半径长 3 角度与弧度的换算 1 rad 1rad 4 弧长 扇形面积的公式设扇形的弧长为l 圆心角大小为 rad 半径为r 又l r 则扇形的面积为s 3 任意角的三角函数 1 定义 设角 的终边与单位圆交于p x y 则sin cos tan 2 几何表示 三角函数线可以看作是三角函数的几何表示 正弦线的起点都在 上 余弦线的起点都是 正切线的起点都是 y x x y 3 终边相同角的三角函数值 k z 公式一 sin k 2 cos k 2 tan k 2 tan 4 三角函数在各象限中的符号 1 点a sin2015 cos2015 在直角坐标平面上位于 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 解析 由2015 360 5 180 35 可知 2015 角的终边在第三象限 所以sin2015 0 cos2015 0 即点a位于第三象限 答案 c 2 角 的终边上有一点 a a a r且a 0 则sin 的值是 a b c 或 d 1 解析 由已知得r a sin a 0 a 0 所以sin 的值是或 答案 c 3 已知圆o x2 y2 4与y轴正半轴的交点为m 点m沿圆o顺时针运动弧长到达点n 以on为终边的角记为 则tan a 1b 1c 2d 2 解析 圆的半径为2 的弧长对应的圆心角为 故以on为终边的角为 2k k z 故tan 1 答案 b 三角函数的定义 弧长与扇形的面积 已知一扇形的圆心角为 0 所在圆的半径为r 1 若 60 r 10cm 求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积 2 若扇形的周长是一定值c c 0 当 为多少弧度时 该扇形有最大面积 解析 1 设弧长为l 弓形面积为s弓 则 60 r 10 l 10 cm s弓 s扇 s 10 102 sin cm2 2 扇形周长c 2r l 2r r r s扇 r2 当且仅当 2 4 即 2时 扇形面积有最大值 三角函数线的简单应用 1 常见的终边相同的角的表示 从本节是三角函数学习的基础内容 高考中出现的单独命题以选择题和填空题为主 较少出现在解答题中 一般为简单题 常常会结合集合运算来考查象限角的概念 结合三角函数线的简单应用考查函数定义域的求法 结合诱导公式或其他的三角公式考查特殊角的三角函数值的记忆 结合三角函数在各象限中的符号考查对于任意角概念的理解 2012 山东卷 如图 在平面直角坐标系xoy中 一单位圆的圆心的初始位置在 0 1 此时圆上一点p的位置在 0 0 圆在x轴上沿正向滚动 当圆滚动到圆心位于 2 1 时 的坐标为 规范解答 如图 作cq x轴 pq cq q为垂足 根据题意得劣弧dp 2 故 dcp 2 则在 pcq中 pcq 2 cq cos 2 sin2 pq sin 2 cos2 阅后报告 1 解决此类问题时应抓住在旋转过程中角的变化 结合弧长公式 解三角形等知识来解决 2 常见实际应用问题有 表针的旋转问题 儿童游乐场的摩天轮的旋转问题等 1 2014 全国大纲卷 已知角 的终边经过点 4 3 则cos a b c d 解析 根据题意 cos 答案 d 2 2013 江西卷 如图 已知l1 l2 圆心在l1上 半径为1m的圆o在t 0时与l2相切于点a 圆o沿l1以1m s的速度匀速向上移动 圆被直线l2所截上方圆弧长记为x 令y cosx 则y与时间t 0 t 1 单位 s 的函数y f t 的图象大致为 解析 通过圆心角 将弧长x与时间t联系起来 圆半径为1 设弧长x所对的圆心角为 则 x 如图所示 cos 1 t 即cos 1 t 则y cosx 2cos2 1 2 1 t 2 1 2 t 1 2 1 0 t 1 其图象为开口向上 在 0 1 上的一段抛物线 答案 b 3 2014 全国新课标 卷 如图 圆o的半径为1 a是圆上的定点 p是圆上的动点 角x的始边为射线oa 终边为射线op 过点p作直线oa的垂线 垂足为m 将点m到直线op的距离表示成x的函数f x 则y f x 在 0 上的图象大致为 解析 根据三角函数的定义 点m cosx 0 opm的面积为 sinxcosx 在直角三角形opm中 根据等积关系得点m到直线op的距离 即f x sinxcosx sin2x 且当x 时上述关系也成立 故函数f x 的图象为选项c中的图象 答案 c 4 2011 江西卷 已知角 的顶点为坐标原点 始边为x轴的正半轴 若p 4 y 是角 终边上一点 且sin 则y 解析 p 4 y 是角 终边上一点 由三角函数的定义知sin 又sin 解得y 8 答案 8 3 2同角三角函数基本关系与诱导公式 1 特殊角的三角函数 sin2 cos2 1 思考探究 符号看象限 中 符号是否与 的大小有关 12 26 2019 1 2014 深圳调研 化简sin2015 的结果是 a sin35 b cos35 c sin35 d cos35 解析 sin2015 sin 5 360 215 sin215 sin 180 35 sin35 答案 c 12 26 2019 2 2014 山西大学附中模拟 若sin 则cos 2 a b c d 解析 因为 所以由sin sin 知cos 所以cos 2 cos 2cos2 1 答案 a 3 设tan 5 m 则的值为 解析 答案 4 已知cos 则tan 解析 cos cos 即cos 又 sin 0 所以sin 故tan 答案 5 化简 解析 答案 1 同角三角函数的关系 诱导公式 变式训练 2 1 已知sin 3 则 2 设f 1 2sin 0 则 解析 答案 1 18 2 两组公式的灵活应用 三角函数基本关系式与诱导公式是三角函数中的两组最基本的公式 主要用于进行三角函数式的化简与变形 开始我们可以利用三角函数的定义来理解与记忆 但最后一定要能熟练灵活地掌握它们的应用 运用这两组公式 时 一是观察角 二是观察函数名 当角度相差 2的倍数时 先用诱导公式化为同角关系 再用同角关系式进行下一步的变形 当函数名不同时 互余函数可以用 函数名改变 符号看象限 的诱导公式变为同名函数 也可以利用 化切为弦 的技巧 统一为正 余弦的函数关系后 再用平方关系变形 2013 浙江卷 已知 r sin 2cos 则tan2 a b c d 规范解答 方法一由sin 2cos 得sin 2cos 又sin2 cos2 1 联立 解得sin 或sin cos cos 所以tan 3或 当tan 3时 tan2 12 26 2019 当tan 时 tan2 综上 tan2 故选c 方法二 直接法 对已知等式两边平方 再同时除以cos2 得3tan2 8tan 3 0 tan 3或tan 代入tan2 得到tan2 方法三 猜想法 由给出的数据及选项的唯一性 记sin cos 这时sin 2cos 符合要求 此时tan 3 代入二倍角公式得到答案c 答案 c 12 26 2019 阅后报告 1 熟记同角三角函数关系式及诱导公式 特别是要注意公式中的符号问题 2 注意公式的变形应用 如sin2 1 cos2 cos2 1 sin2 1 sin2 cos2 及sin tan cos 等 这是解题中常用到的变形 也是解决问题时简化解题过程的关键所在 12 26 2019 1 2014 全国新课标 卷 若tan 0 则 a sin 0b cos 0c sin2 0d cos2 0 解析 因为sin2 0 所以选c 答案 c 2 2013 全国大纲卷 已知 是第二象限角 sin 则cos a b c d 解析 因为 为第二象限角 所以cos 答案 a 3 2013 全国新课标 卷 设 为第二象限角 若tan 则sin cos 解析 答案 4 2013 广东卷 已知函数f x cos x x r 1 求的值 2 若cos 2 求 解析 1 因为f x cos x 所以 cos cos cos 1 2 因为 2 cos 所以 cos2 2cos2 1 2 2 1 sin2 2sin cos 2 所以f 2 cos 2 cos 2 cos2 sin2 cos2 sin2 3 3三角函数的图象和性质 f x t f x 思考探究 2 正弦函数和余弦函数的图象的对称轴及对称中心与函数图象的关键点有什么关系 提示 y sinx与y cosx的对称轴方程中的x都是它们取得最大值或最小值时相应的x 对称中心的横坐标都是它们的零点 1 函数y tan x 的定义域是 a x x x r b x x x r c x x k k z x r d x x k k z x r 解析 x k x k k z 答案 d 2 2014 济南调研 已知f x sin2x sinxcosx 则f x 的最小正周期和一个单调增区间分别为 a 0 b 2 c d 2 解析 由f x sin2x sinxcosx sin2x sin2x cos2x sin 2x t 又由2k 2x 2k 可知 k x k k z 为函数的单调递增区间 故选c 答案 c 3 2014 韶关调研 如果函数y 3cos 2x 的图象关于点 0 中心对称 那么 的最小值为 a b c d 解析 函数关于点 0 中心对称 则有3cos 2 0 即cos 0 cos 0 即 k k z 即 k k z 当k 0时 此时 最小 答案 a 5 当x 时 函数y 3 sinx 2cos2x的最小值是 最大值是 解析 y 3 sinx 2cos2x 3 sinx 2 1 sin2x 2sin2x sinx 1 x sinx 1 令sinx t 1 y 2t2 t 1 2 t 2 t 1 ymin ymax 2 答案 2 求三角函数的定义域和值域 2 求三角函数的值域 最值 的一般方法 1 利用sinx cosx的值域 2 形式复杂的函数应化为y asin x k的形式逐步分析 x 的范围 根据正弦函数单调性写出y asin x 的值域 3 换元法 把sinx cosx看做一个整体 可化为二次函数 1 求下列函数的定义域 y lg sinx y y lgsin2x 2 求下列函数的值域 y 2sin2x 2cosx 2 y 3cosx sinx x 0 y sinx cosx sinxcosx 解析 1 要使函数有意义必须有sinx 0 即sinx 0 cosx 0 cosx 解得2k x 2k 2k x 2k k z 2k x 2k k z 函数的定义域为 x 2k x 2k k z 方法一要使函数有意义 必须使sinx cosx 0 利用图象 在同一坐标系中画出 0 2 上y sinx和y cosx的图象 如图所示 在 0 2 内 满足sinx cosx的x为 再结合正弦 余弦函数的周期是2 所以原函数的定义域为 x 2k x 2k k z 方法二利用三角函数线 画出满足条件的终边范围 如图阴影部分所示 定义域为方法三sinx cosx sinx 0 将x 视为一个整体 由正弦函数y sinx的图象和性质可知2k x 2k k z 解得2k x 2k k z 所以定义域为 x 2k x 2k k z x 2k x 2k k z 由sin2x 0 得2k 2x 2k k z 9 x2 0 3 x 3 3 x 或0 x 函数y lgsin2x 的定义域为 x 3 x 或0 x 2 y 2sin2x 2cosx 2 2cos2x 2cosx 2 cosx 2 cosx 1 1 当cosx 1时 ymax 4 当cosx 时 ymin 故函数值域为 4 y 3cosx sinx 2cosx x 0 x cosx y 3 故函数值域为 3 令t sinx cosx 则sinxcosx 且 t 2 y t t 1 2 1 当t 1时 ymin 1 当t 2时 ymax 函数值域为 1 研究三角函数的奇偶性和周期性 三角函数的单调性 1 求下列函数的单调递减区间 y 2sin x y tan 2x 2 已知函数f x sin2x cos2x 2sinxcosx 求f x 的最小正周期 设x 求f x 的值域和单调递增区间 解析 1 由2k x 2k k z 得2k x 2k k z 故函数y 2sinx 的单调减区间为 2k 2k k z 把函数y tan 2x 变为y tan2 x 由k 2x k k z 得k 2x k k z 即 x k z 故函数y tan 2x 的单调减区间为 k z 2 f x cos2x sin2x 2sinxcosx cos2x sin2x 2sin 2x f x 的最小正周期为 x 2x sin 2x 1 f x 的值域为 2 当y sin 2x 递减时 f x 递增 令2k 2x 2k k z 则k x kx k z 又x x 故f x 的递增区间为 1 求三角函数的定义域应注意利用三角函数线或者三角函数图象 2 判断函数奇偶性 应先判定函数定义域的对称性 注意偶函数的和 差 积 商仍为偶函数 复合函数在复合过程中 对每个函数而言 一偶则偶 同奇则奇 3 三角函数单调区间的确定 一般先将函数式化为基本三角函数标准式 然后通过同解变形或利用数形结合方法求解 对复合函数单调区间的确定 应明确是对复合过程中的每一个函数而言 同增同减则为增 一增一减则为减 即同增异减 4 用三角函数的单调性比较两角函数值的大小 必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内 不属于的 可先化至同一单调区间内 再比较其大小 5 求三角函数式的最小正周期时 要尽可能地化为只含一个三角函数的式子 否则很容易出现错误 一般地 经过恒等变形化成 y asin x y acos x y atan x 的形式 再利用周期公式即可 从近两年的高考试题来看 三角函数的周期性 单调性 最值等是高考的热点 题型既有选择题 填空题 又有解答题 难度属中低档 常与三角恒等变换交汇命题 在考查三角函数性质的同时 又考查三角恒等变换的方法与技巧 注重考查函数方程 转化化归等思想方法 12 26 2019 2013 陕西卷 已知向量a cosx b sinx cos2x x r 设函数f x a b 1 求f x 的最小正周期 2 求f x 在 0 上的最大值和最小值 阅后报告 求解三角函数的最值 或值域 时一定要注意自变量的取值范围 由于三角函数的周期性 正弦函数 余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得 因此要把这两个最值点弄清楚 1 2014 辽宁卷 将函数y 3sin 2x 的图象向右平移 2个单位长度 所得图象对应的函数 a 在区间 上单调递减b 在区间 上单调递增c 在区间 上单调递减d 在区间 上单调递增 解析 由题可知 将函数y 3sin 2x 的图象向右平移个单位长度得到函数y 3sin 2x 的图象 令 2k 2x 2k k z 即 k x k k z时 函数单调递增 即函数y 3sin 2x 的单调递增区间为 k k k z 可知当k 0时 函数在区间 上单调递增 答案 b 2 2014 全国大纲卷 设a sin33 b cos55 c tan35 则 a a b cb b c ac c b ad c a b 解析 因为b cos55 sin35 sin33 所以b a 因为cos35 1 所以 sin35 又c tan35 sin35 所以c b 所以c b a 答案 c 3 2014 全国新课标 卷 函数f x sin x 2 2sin cos x 的最大值为 解析 函数f x sin x 2 2sin cos x sin x 2sin cos x sin x cos cos x sin sinx 故其最大值为1 答案 1 4 2014 重庆卷 已知函数f x sin x 0 的图象关于直线x 3对称 且图象上相邻两个最高点的距离为 1 求 和 的值 2 若f 求cos 的值 解析 1 因为f x 的图象上相邻两个最高点的距离为 所以f x 的最小正周期t 从而 2 又因为f x 的图象关于直线x 对称 所以2 k k z 因为 所以 2 由 1 得f sin 2 所以sin 由 得0 所以cos 因此cos sin sin sin cos cos sin 3 4函数y asin x 的图象及三角函数模型的简单应用 3 三角函数的图象变换方法将y sinx的图象向左 0 或向右 0 平移 个单位得到y sin x 的图象 再将y sin x 的图象上各点的横坐标缩短 1 或伸长 0 1 到原来的倍 纵坐标不变 得到y sin x 的图象 然后将y sin x 图象上各点的纵坐标伸长 a 1 或缩短 0 a 1 到原来的a倍 横坐标不变 得到y sin x 的图象 最后将y sin x 的图象向上 b 0 或向下 b 0 平移 b 个单位 得到的就是y sin x b的图象 2 2014 长沙一模 定义 a1a4 a2a3 若函数f x 则将f x 的图象向右平移个单位所得曲线的一条对称轴的方程是 a x b x c x d x 解析 f x sin2x cos2x 2sin 2x 向右平移后得到函数f x 2sin 2 x 2sin 2x 解2x k 得x k z 当k 1时 x 答案 a 答案 b 5 已知函数f x sin x 0 的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为 且过点 2 则函数解析式f x 解析 1 列表 描点 连线 如图所示 变式训练 1 设函数f x sin x cos x 0 的周期为 1 求它的振幅 初相 2 用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象 3 说明函数f x 的图象可由y sinx的图象经过怎样的变换而得到 解析 1 f x sin x cos x 2 sin x cos x 2sin x 又 t 即 2 f x 2sin 2x 函数f x sin x cos x的振幅为2 初相为 2 令x 2x 则y 2sin 2x 2sinx 列表 并描点画出图象 3 方法一把y sinx的图象上所有的点向左平移个单位 得到y sin x 的图象 再把y sin x 的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 得到y sin 2x 的图象 最后把y sin 2x 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍 横坐标不变 即可得到y 2sin 2x 的图象 方法二将y sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍 纵坐标不变 得到y sin2x的图象 再将y sin2x的图象向左平移个单位 得到y sin 2x sin 2x 的图象 再将y sin 2x 的图象上每一点的横坐标保持不变 纵坐标伸长为原来的2倍 得到y 2sin 2x 的图象 3 求 常用方法有 代入法 把图象上的一个已知点代入 此时 a b已知 或代入图象与直线y b的交点求解 此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上 五点法 确定 值时 往往以寻找 五点法 中的第一零点 0 作为突破口 具体如下 第一点 即图象上升时与x轴的交点 为 x 0 第二点 即图象的 峰点 为 x 第三点 即图象下降时与x轴的交点 为 x 第四点 即图象的 谷点 为 x 第五点 为 x 2 注意 当不能确定周期t时 往往要根据图象与y轴的交点 先求 1 已知函数f x 2sin x 其中 0 0 0 的图象的一部分如图所示 则该函数的解析式为 解析 1 f x 0 的最小正周期为 t 则 2 f 0 2sin 即sin 2 观察图象可知 a 2且点 0 1 在图象上 1 2sin 0 即sin 又 是函数的一个零点 且是图象递增穿过x轴形成的零点 2 2 f x 2sin 2x 答案 1 2 2 f x 2sin 2x 列方程组 0 解之得 2 三角函数模型的应用 三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面 一是已知函数模型 如本例 关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则 二是把实际问题抽象转化成数学问题 建立三角函数模型 再利用三角函数的有关知识解决问题 其关键是迅速建模 如图为一个缆车示意图 该缆车半径为4 8m 圆上最低点与地面距离为0 8m 60秒转动一圈 图中oa与地面垂直 以oa为始边 逆时针转动 角到ob 设b点与地面间的距离为h 1 求h与 间关系的函数解析式 2 设从oa开始转动 经过t秒后到达ob 求h与t之间的函数关系式 并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少 解析 1 以圆心o为原点 建立如图所示的平面直角坐标系 则以ox为始边 ob为终边的角为 故点b的坐标为 4 8cos 4 8sin h 5 6 4 8sin 2 点a在圆上转动的角速度是 故t秒转过的弧度数为t h 5 6 4 8sin t t 0 到达最高点时 h 10 4m 由sin t 1 得 t 30 缆车到达最高点时 用的最少时间为30秒 1 求 的值和 doe的大小 2 若要在圆弧赛道所对应的扇形ode区域内建一个 矩形草坪 矩形的一边在道路ef上 一个顶点在半径od上 另外一个顶点p在圆弧de上 且 poe 求当 矩形草坪 的面积最大值时 的值 12 26 2019 解析 1 由条件 得a 2 3 t 曲线段fbc的解析式为y 2sin x 当x 0时 y oc 又cd cod 即 doe 2 由 1 可知od 又易知当 矩形草坪 的面积最大时 点p在de上 故op 矩形草坪 的面积为s sin cos sin 6 sin cos sin2 6 sin2 cos2 3sin 2 3 0 当2 即 时 s取得最大值 1 五点法作函数图象及函数图象变换问题 1 当明确了函数图象基本特征后 描点法 是作函数图象的快捷方式 运用 五点法 作正 余弦型函数图象时 应取好五个特殊点 并注意曲线的凹凸方向 2 在进行三角函数图象变换时 提倡 先平移 后伸缩 但 先伸缩 后平移 也经常出现在题目中 所以也必须熟练掌握 无论是哪种变形 切记每一个变换总是对字母x而言 即图象变换要看 变量 起多大变化 而不是 角 变化多少 4 注意复合形式的三角函数的单调区间的求法 函数y asin x a 0 0 的单调区间的确定 基本思想是把 x 看作一个整体 在单调性应用方面 比较大小是一类常见的题目 依据是同一区间内函数的单调性 2014 山东卷 已知向量a m cos2x b sin2x n 函数f x a b 且y f x 的图象过点 3 和点 2 1 求m n的值 2 将y f x 的图象向左平移 0 个单位后得到函数y g x 的图象 若y g x 图象上各最高点到点 0 3 的距离的最小值为1 求y g x 的单调递增区间 规范解答 1 由题意知 f x msin2x ncos2x 因为y f x 的图象过点 和点 2 所以 msin ncos 2 msin ncos 即 m n 2 m n 解得m n 1 2 由 1 知f x sin2x cos2x 2sin 2x 由题意知 g x f x 2sin 2x 2 设y g x 的图象上符合题意的最高点为 x0 2 由题意知 x02 1 1 所以x0 0 即到点 0 3 的距离为1的最高点为 0 2 将其代入y g x 得 sin 24 1 因为0 所以 因此 g x 2sin 2x 2cos2x 由2k 2x 2k k z得k x k k z 所以函数y g x 的单调递增区间为 k k k z 阅后报告 本题主要考查三角函数的图象和性质 考查运算能力和数形结合的思想方法 1 2014 天津卷 已知函数f x sin x cos x 0 x r 在曲线y f x 与直线y 1的交点中 若相邻交点距离的最小值为 则f x 的最小正周期为 a b c d 2 解析 f x 2sin x 1 sin x x1 2k1 k1 z 或 x2 2k2 k2 z 则 x2 x1 2 k2 k1 又 相邻交点距离的最小值为 2 t 答案 c 2 2014 安徽卷 若将函数f x sin2x cos2x的图象向右平移 个单位 所得图象关于y轴对称 则 的最小正值是 a b c d 解析 将f x sin 2x 的图象向右平移 个单位 得到y sin 2x 2 的图象 由所得图象关于y轴对称 可知sin 2 1 即sin 2 1 故2 k k z 即 k z 又 0 所以 min 答案 c 3 2014 重庆卷 将函数f x sin x 0 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半 纵坐标不变 再向右平移个单位长度得到y sinx的图象 则f 解析 函数f x sin x 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半 得到y sin 2 x 的图象 再向右平移个单位长度 得到y sin 2 x sin 2 x 的图象 由题意知sin 2 x sinx 所以2 1 2k k z 又 所以 所以f x sin x 所以f sin sin 答案 4 2014 湖北卷 某实验室一天的温度 单位 随时间t 单位 h 的变化近似满足函数关系 f t 10 cost sint t 0 24 1 求实验室这一天上午8时的温度 2 求实验室这一天的最大温差 解析 1 f 8 10 cos 8 sin 8 10 cos sin 10 10 故实验室上午8时的温度为10 2 因为f t 10 2 cost sint 10 2sin t 又0 t 24 所以 t 所以 1 sin t 1 当t 2时 sin t 1 当t 14时 sin t 1 于是f t 在 0 24 上取得最大值12 最小值8 故实验室这一天最高温度为12 最低温度为8 最大温差为4 3 5两角和与差的正弦 余弦和正切公式 12 26 2019 1 的值为 a b c d 解析 答案 b 12 26 2019 2 2014 长春二模 在 abc中 若tana tanb tana tanb 1 则cosc的值是 a b c d 解析 1 由tanatanb tana tanb 1 可得 1 即tan a b 1 所以a b 则c cosc 故选b 答案 b 12 26 2019 4 已知sin 则 解析 答案 12 26 2019 12 26 2019 三角函数式的求值 1 计算 2 已知0 且cos sin 求cos 的值 3 已知sin sin 0 求cos 解析 3 sin sin 所以sin cos cos sin sin 化简得sin cos sin cos 即sin 因为 0 所以 故cos 因此cos cos cos cos sin sin 变式训练 1 1 已知cos cos 且 0 求cos 的值 2 若0 0 cos cos 求cos 的值 含非特殊角的三角函数式的求值 12 26 2019 12 26 2019 12 26 2019 12 26 2019 12 26 2019 12 26 2019 12 26 2019 角的变换技巧及应用 1 当 已知角 有两个时 所求角 一般表示为两个 已知角 的和或差的形式 2 当 已知角 有一个时 此时应着眼于 所求角 与 已知角 的和或差的关系 然后应用诱导公式把 所求角 变成 已知角 12 26 2019 1 已知sin sin 均为锐角 求角 2 已知tan cos 0 求tan 的值 并求出 的值 12 26 2019 解析 1 均为锐角 又sin cos 又sin cos sin sin sin cos cos sin 2 由cos 0 得sin tan 2 tan 1 0 12 26 2019 12 26 2019 通过对近几年高考试题的分析可以看出 对本部分内容的考查 各种题型均可能出现 一般是基础题 难度不会太大 整个命题过程主要侧重以两角和与差的三角函数公式为基础 求三角函数的值或化简三角函数式 解答此类问题往往与两角和差的三角公式及同角的三角函数关系式有关 但这类题目考查的重心是两角和与差的三角函数公式 1 2013 重庆卷 4cos50 tan40 a b c d 解析 答案 c 2 2014 全国新课标 卷 设 0 0 且tan 则 a 3 b 3 c 2 d 2 解析 因为 0 所以 又 0 且tan tan 所以 即2 答案 c 12 26 2019 12 26 2019 3 6简单的三角恒等变换 1 化简三角函数式的基本要求 1 能求出值的要求出值来 2 使三角函数式的项数 三角函数的种类及角的种类尽可能少 3 使三角函数式的次数尽可能低 4 分母中尽量不含三角函数式和根式 2 给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异 一般可以适当变换已知式 求得另外函数式的值 以备应用 同时也要注意变换待求式 便于将已知式求得的函数值代入 从而达到解题的目的 3 给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数式的值 其次判断该角对应区间的单调性 从而达到解题的目的 答案 b 12 26 2019 12 26 2019 3 2014 杭州调研 已知tan 且 0 则 a b c d 解析 由tan 得tan 又 0 所以sin 故 答案 a 4 设 0 且sin tan 则cos 解析 tan 而 0 由tan sin cos 及sin2 cos2 1得sin cos 又sin cos cos cos cos cos sin sin 答案 5 的值为 解析 答案 三角函数式的化简 2 二看 函数名称 看函数名称之间的差异 从而确定使用的公式 常见的有 切化弦 3 三看 结构特征 分析结构特征 可以帮助我们找到变形的方向 常见的有 遇到分式要通分 等 12 26 2019 12 26 2019 12 26 2019 12 26 2019 三角恒等式的证明 三角恒等式的证明主要有两种类型 绝对恒等式与条件恒等式 1 证明绝对恒等式要根据等式两边的特征 化繁为简 左右归一 变更论证 通过三角恒等式变换 使等式的两边化异为同 2 条件恒等式的证明则要认真观察 比较已知条件与求证等式之间的联系 选择适当途径对条件等式进行变形 直到得到所证等式 或者将欲证等式及条件进行变式 创造机会代入条件 最终推导出所证等式 1 求证 2 已知 2sin sin cos 2sin2 sin2 求证 2cos2 cos2 证明 2 由2sin sin cos 两边平方得4sin2 1 2sin cos 1 sin2 将2sin2 sin2 代入上式得4sin2 1 2sin2 2sin2 4sin2 1 1 2sin2 1 4sin2 1 2 1 2sin2 此即cos2 2cos2 2cos2 cos2 得证 三角形内的三角变换 2 求值 主要有三类求值问题 1 给角求值 一般所给出的角都是非特殊角 从表面来看是很难的 但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系 解题时 要利用观察得到的关系 结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解 2 给值求值 给出某些角的三角函数式的值 求另外一些角的三角函数值 解题关键在于 变角 使其角相同或具有某种关系 3 给值求角 实质是转化为 给值求值 关键也是变角 把所求角用含已知角的式子表示 由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角 从近两年的高考试题来看 利用同角三角函数的关系改变三角函数的名称 利用诱导公式 和差角公式及二倍角公式改变角的恒等变换是高考的热点 常与三角函数式的求值 三角函数的图象与性质 向量等知识综合考查 既有选择题 填空题 又有解答题 属中低档题 1 2013 全国新课标 卷 已知sin2 则cos2 a b c d 解析 结合二倍角公式进行求解 sin2 cos2 答案 a 12 26 2019 12 26 2019 3 2013 湖南卷 已知函数f x sin x cosx g x 2sin2 1 若 是第一象限角 且f 求g 的值 2 求使f x g x 成立的x的取值集合 解析 f x sinx cosx sinx cosx cosx sinx sinx g x 2sin2 1 cosx 1 由f 得sin 又 是第一象限角 所以cos 0 从而g 1 cos 1 2 f x g x 等价于sinx 1 cosx 即sinx cosx 1 于是sin x 从而2k x 2k k z 即2k x 2k k z 故使f x g x 成立的x的取值集合为 x 2k x 2k k z 12 26 2019 4 2014 四川卷 已知函数f x sin 3x 1 求f x 的单调递增区间 2 若 是第二象限角 f cos cos2 求cos sin 的值 12 26 2019 解析 1 因为函数y sinx的单调递增区间为 2k 2k k z 由 2k 3x 2k k z 得 x k z 所以 函数f x 的单调递增区间为 2 由已知 得f sin cos cos2 sin2 所以sin cos cos sin cos cos sin sin cos2 sin2 即sin cos cos sin 2 sin cos 当sin cos 0时 由 是第二象限角 得 2k k z 此时 cos sin 当sin cos 0时 cos sin 2 由 是第二象限角 得cos sin 0 此时cos sin 综上所述 cos sin 或 3 7正弦定理和余弦定理 1 2013 济南检测 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 若a b 2 sinb cosb 则角a的大小为 a b c d 解析 由sin b 得b 由正弦定理 得sina 又 a b a 答案 a 3 2014 天津联考 在钝角 abc中 已知ab ac 1 b 30 则 abc的面积是 a b c d 解析 由正弦定理得即 sinc 则c 60 或120 c 60 时 abc为直角三角形 舍去 c 120 时 a 30 所以s 1 sin30 答案 b 4 设 abc的内角a b c所对的边分别为a b c 若bcosc ccosb asina 则 abc的形状为三角形 解析 由bcosc ccosb asina 得sinbcosc sinccosb sin2a 即sin b c sin2a 所以sina 1 由0 a 得a 所以 abc为直角三角形 答案 直角 利用正弦定理 余弦定理理解三角形 1 解三角形的目标与条件任意一个三角形中都含有三条边和三个角这六个基本量 解三角形即是按题设要求 求出这六个基本量中若干个未知的量 或判 断出这样的三角形不存在 由于任意三角形中 都能由正弦定理 余弦定理和内角和定理得到相应的三个等式 从而可以看成已有关于六个基本量的三个方程 因此 当已知一个三角形中的任意三个基本量 必含一条边 或有关这样的三个量的三个独立条件时 从解方程组的角度分析 这个三角形就是可解三角形 2 可解三角形的基本类型 1 利用正弦定理可解以下两类三角形 一是已知两角和一角的对边 求其他边角 二是已知两边和一边的对角 求其他边角 2 利用余弦定理可解两类三角形 一是已知两边和它们的夹角 求其他边角 二是已知三边求其他边角 由于这两种情形下的三角形是唯一确定的 所以其解也是唯一的 1 2014 杭州模拟 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 若a 1 c 4 b 45 求sinc 2 在 abc中 a b b 45 求角a c和边c 解析 1 由余弦定理 得b2 a2 c2 2accosb 1 32 8 25 即b 5 所以sinc 2 由正弦定理得 sina a b a 60 或a 120 当a 60 时 c 180 45 60 75 c 当a 120 时 c 180 45 120 15 c 变式训练 1 在 abc中 a b c分别是角a b c的对边 且 1 求角b的大小 2 若b a c 4 求 abc的面积 解析 1 由余弦定理知 cosb cosc 将上式代入得 整理得 a2 c2 b2 ac cosb b为三角形的内角 b 2 将b a c 4 b 代入b2 a2 c2 2accosb 得b2 a c 2 2ac 2accosb 13 16 2ac 1 ac 3 s abc acsinb 利用正弦定理 余弦定理判断三角形的形状 1 三角形形状的判断方向从三角形的边角关系考虑 是否锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 是否等边三角形 等腰三角形 等腰直角三角形等 2 常用判断方法 1 利用正 余弦定理把已知条件转化为边边关系 通过因式分解 配方等得出边的相应关系 从而判断三角形的形状 2 利用正 余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系 通过三角函数恒等变形 得出内角的关系 从而判断出三角形的形状 此时要注意应用a b c 这个结论 1 2014 山东省实验中学诊断 在 abc中 内角a b c的对边分别为a b c 且2c2 2a2 2b2 ab 试判断 abc的形状 2 在 abc中 若 a2 b2 sin a b a2 b2 sin a b 试判断 abc的形状 解析 1 由2c2 2a2 2b2 ab 得a2 b2 c2 ab 所以cosc 0 所以90 c 180 即 abc为钝角三角形 2 a2 b2 sin a b a2 b2 sin a b b2 sin a b sin a b a2 sin a b sin a b 2sinacosb b2 2cosasinb a2 即a2cosasinb b2sinacosb 方法一由正弦定理知a 2rsina b 2rsinb sin2acosasinb sin2bsinacosb 又sina sinb 0 sinacosa sinbcosb sin2a sin2b 在 abc中 0 2a 2 0 2b 2 2a 2b或2a 2b a b或a b abc为等腰或直角三角形 方法二由正弦定理 余弦定理得 a2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 b2 a2 b2 a2 b2 c2 0 a2 b2 0或a2 b2 c2 0 即a b或a2 b2 c2 abc为等腰或直角三角形 与三角形面积有关的问题 变式训练 3 在 abc中 角a b c的对边分别为a b c 且满足 1 求角a的大小 2 若a 求 abc面积的最大值 解析 1 2c b cosa a cosb 由正弦定理 得 2sinc sinb cosa sina cosb 整理得2sinc cosa sinb cosa sina cosb 2sinc cosa sin a b sinc 在 abc中 sinc 0 cosa 由a为三角形的内角 a 2 由余弦定理cosa a b2 c2 20 bc 2bc 20 bc 20 当且仅当b c时取 三角形的面积s abc bcsina bc abc面积的最大值为 1 判断三角形的形状在判断三角形的形状时 一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系或边边关系 再用三角变换或代数式的恒等变形 如因式分解 配方等 求解 2 判定三角形解的个数的方法在 abc中 已知边a b和角a时 判断三角形解的情况有以下两种方法 方法一 可依据下表方法进行判断 从近几年的高考试题分析 正弦定理 余弦定理已经成为常考内容 通常出现在解答题第1题的位置上 一则考查运用正弦定理 余弦定理求解三角形的能力 二则考查三角形内的三角变换水平 常需要综合运用各类三角公式来达到解题目的 同时这一知识也能十分融洽地与向量知识 立体几何知识交汇在一起命题 命题难度中等偏低 2013 湖北卷 在 abc中 角a b c对应的边分别是a b c 已知cos2a 3cos b c 1 1 求角a的大小 2 若 abc的面积s b 5 求sinbsinc的值 规范解答 1 由cos2a 3cos b c 1 得2cos2a 3cosa 2 0 即 2cosa 1 cosa 2 0 解得cosa 或cosa 2 舍去 因为0 a 所以a 2 由s bcsina bc bc 得bc 20 又b 5 所以c 4 由余弦定理 得a2 b2 c2 2bccosa 25 16 20 21 故a 又由正弦定理 得sinbsinc sina sina sin2a 阅后报告 1 在处理三角形中的边角关系时 一般全部化为角的关系 或全部化为边的关系 题中若出现边的一次式一般采用正弦定理 出现边的二次式一般采用余弦定理 应用正 余弦定理时 注意公式变式的应用 解决三角形问题时 注意角的限制范围 2 在解决三角形问题中 面积公式s absinc bcsina acsinb最常用 因为公式中既有边又有角 容易和正弦定理 余弦定理联系起来 1 2014 江西卷 在 abc中 内角a b c所对的边分别是a b c 若c2 a b 2 6 c 则 abc的面积是 a 3b c d 解析 由余弦定理得 cosc 所以ab 6 所以s abc absinc 答案 c 2 2014 重庆卷 已知 abc的内角a b c满足sin2a sin a b c sin c a b 面积s满足1 s 2 记a b c分别为a b c所对的边 则下列不等式一定成立的是 a bc b c 8b ab a b 16c 6 abc 12d 12 abc 24 解析 因为a b c 所以a c b c a b 所以由已知等式可得sin2a sin 2b sin 2 a b 即sin2a sin2b sin2 a b 所以sin a b a b sin a b a b sin2 a b 所以2sin a b cos a b 2sin a b cos a b 所以2sin a b cos a b cos a b 所以sinasinbsinc 由1 s 2 得1 bcsina 2 由正弦定理得a 2rsina b 2rsinb c 2rsinc 所以1 2r2sinasinbsinc 2 所以1 2 即2 r 所以bc b c abc 8r3sinasinbsinc r3 8 答案 a 3 2014 全国新课标 卷 已知a b c分别为 abc三个内角a b c的对边 a 2 且 2 b sina sinb c