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第四章平面向量 第3节平面向量的数量积及应用 1 理解平面向量数量积的含义及物理意义 2 了解平面向量的数量积与向量投影的关系 3 掌握数量积的坐标表达式 会进行平面向量数量积的运算 4 能运用数量积表示两个向量的夹角 会用数量积判断两个向量的垂直关系 0 90 a b 2 平面向量的数量积 1 数量积的定义已知两个非零向量a和b 它们的夹角为 则向量a与b的数量积是数量 记作a b 即a b 2 向量的投影设 为a与b的夹角 则向量a在b方向上的投影是 向量b在a方向上的投影是 3 数量积的几何意义数量积a b等于a的长度 a 与 的乘积 a b cos a b cos a cos b cos b在a的方向上的投影 b cos 3 平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a x1 y1 b x2 y2 为向量a b的夹角 4 平面向量数量积的运算律已知向量a b c和实数 则 1 交换律 a b 2 结合律 a b a b 3 分配律 a b c b a a b a c b c 5 向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行 垂直 全等 相似 长度 夹角等问题 加法和减法 思维升华 方法与技巧 1 计算数量积的三种方法 定义 坐标运算 数量积的几何意义 要灵活选用 和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用 2 求向量模的常用方法 利用公式 a 2 a2 将模的运算转化为向量的数量积的运算 3 利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧 4 向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来 这就为向量和函数的结合提供了前提 运用向量的有关知识可以解决某些函数问题 5 以向量为载体求相关变量的取值范围 是向量与函数 不等式 三角函数等相结合的一类综合问题 通过向量的坐标运算 将问题转化为解不等式或求函数值域 是解决这类问题的一般方法 6 向量的两个作用 载体作用 关键是利用向量的意义 作用脱去 向量外衣 转化为我们熟悉的数学问题 工具作用 利用向量可解决一些垂直 平行 夹角与距离问题 1 1 0与实数0的区别 0a 0 0 a a 0 0 a 0 0 0 2 0的方向是任意的 并非没有方向 0与任何向量平行 我们只定义了非零向量的垂直关系 2 a b 0不能推出a 0或b 0 因为a b 0时 有可能a b 3 a b a c a 0 不能推出b c 即消去律不成立 4 注意向量夹角和三角形内角
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