高中数学 3.2简单的三角恒等变换（一）课件 新人教A版必修4.ppt

3 2简单的三角恒等变换 一 半角公式 2 思考 降幂公式的等式两端的角度发生了什么变化 提示 从左向右 方次降低 角度加倍 从右向左 方次增大 角度减半 知识点拨 剖析半角公式 1 半角公式的正弦 余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的 2 半角公式给出了求的正弦 余弦 正切的另一种方式 即只需知道cos 的值及相应 的条件 便可求出 3 由于及不含被开方数 且不涉及符号问题 所以求解题目时 使用相对方便 但需要注意该公式成立的条件 4 涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时 常用 类型一半角公式及其应用 典型例题 1 已知 cos 且则的值分别为 2 已知 为钝角 为锐角 且求的值 解题探究 1 题1中 为第几象限角 呢 2 题2中用半角公式如何表示 探究提示 1 因 3 故 是第二象限角 是第三象限角 2 解析 1 选b 因为 cos 所以cos 由cos 得又所以 2 因为 为钝角 为锐角 所以cos cos cos sin sin 又因为所以0 所以所以 互动探究 把本题2中的条件 为钝角 改为 为锐角 求的值 解析 因为 为锐角 为锐角 所以所以cos cos cos sin sin 又因为所以所以所以 拓展提升 半角公式与倍角公式的关系及应用时应注意的问题 1 半角公式与倍角公式是相对而言的 即2 是 的二倍角 是2 的半角 2 由于在教学中对半角公式的记忆不做要求 故在三角函数问题中用到半角公式时 通常借助于倍角公式推导出再应用 亦可直接利用半角公式求解 3 在利用半角公式解题时 注意判断角的范围 以免产生增根 变式训练 求sin15 cos15 tan15 的值 解析 因为15 是第一象限的角 所以 类型二三角函数式的化简 典型例题 1 设 3 化简2 化简 解题探究 1 在化简带有根号的三角函数式中 应特别注意什么问题 2 三角函数式的化简常用哪些方法 探究提示 1 应特别注意角的范围对符号的影响 2 1 弦切互化 异名化同名 异角化同角 2 降幂或升幂 解析 1 因为所以又由诱导公式得cos cos 所以答案 2 原式 拓展提升 三角函数式化简的最后结果的三大要求 1 能求值的求值 2 不能求值的要保证三角函数名种类最少 项数最少 次数最低 3 分式分母中尽量不含根号 变式训练 化简 0 解题指南 由 的范围先确定出的范围 利用半角公式将分母中根号里面的式子转变成完全平方的形式 解析 因为0 所以所以原式 类型三三角恒等式的证明 典型例题 1 求证 1 2cos2 cos2 2 2 求证 解题探究 1 根据题1的形式特点应采取什么样的证明方法 2 在进行三角恒等变形时应注意什么 探究提示 1 应采取从左到右的证明方法 即化简左边的值等于右边的值 2 进行三角恒等变形时 既要注意分析角之间的差异 寻求角的变换方法 还要注意观察三角函数的结构特征 寻求化同名的方法 明确变形的目的 证明 1 左边 1 2cos2 cos2 2 右边 所以原式成立 2 原式 右边 所以原等式成立 拓展提升 三角恒等式证明的五种常用方法 1 执因索果法 证明的形式一般化繁为简 2 左右归一法 证明左右两边都等于同一个式子 3 拼凑法 针对题设和结论之间的差异 有针对性地变形 以消除它们之间的差异 简言之 即化异求同 4 比较法 设法证明 左边 右边 0 或 左边 右边 1 5 分析法 从被证明的等式出发 逐步地探求使等式成立的条件 一直到已知条件或明显的事实为止 就可以断定原等式成立 变式训练 证明 证明 左边 2sin 2sin cos 2sin sin2 右边 所以原式成立 易错误区 应用半角公式求值时的易错点 典例 设3 4 cos m 那么cos等于 解析 选b 由于可得又3 4 所以所以所以 误区警示 防范措施 1 熟记三角函数公式熟练记忆并能灵活运用三角函数公式是正确解题的前提 如本例 处对公式的变形应用 2 明确三角函数值的符号应用半角公式求值时 要特别注意半角的三角函数值符号的确定 否则会出现符号的失误 如本例 处对角的范围的计算 是明确值的符号的关键 类题试解 若 是第三象限的角 则等于 a b c 2d 2 解析 选a 因为 是第三象限角 所以所以 1 若cos 且 0 则的值为 解析 选a 因为 0 所以所以 2 的值为 解析 选b 因为 3 化简的结果为 a tan b tan2 c 1d 2 解析 选b 原式 4 计算sin105 cos75 的值是 解析 sin105 cos75