高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点配套课件 新人教A版必修1.ppt

第三章 函数的应用 3 1函数与方程3 1 1方程的根与函数的零点 学习目标 1 结合二次函数的图象 判断一元二次方程根的存在性及 根的个数 从而了解函数的零点与方程的根的联系 2 掌握零点存在的判定定理 1 函数的零点 零点 实数根 横坐标 1 对于函数y f x 使f x 0的实数x叫做函数y f x 的 交点 零点 2 函数y f x 的零点就是方程f x 0的 也就是函数y f x 的图象与x轴的交点的 3 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有 函数y f x 有 练习1 函数f x x2 1的零点为 1 2 函数零点的存在性定理 0 如果函数y f x 在 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 那么y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c c也就是方程f x 0的根 练习2 函数y 3x 2在下列哪个区间内有零点 b 0 1 d 2 3 a 1 0 c 1 2 b 问题探究 函数y f x 的零点 方程f x 0的实数根和函数y f x 的图象与x轴的交点情况 三者有什么关系 答案 函数y f x 有零点 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 题型1求函数的零点 例1 求下列函数的零点 1 y x2 x 20 2 y x2 2 x2 3x 2 3 y 2x 1 4 f x x2 x 2 x2 x 2 思维突破 将函数解析式转化为方程 通过方程求函数的 零点 一般可以借助求根公式 因式分解或换元等方 法求出方程的根 从而得到函数的零点 4 令f x 0 t x2 x 则t2 t 2 0 t 2 t 1 0 解得t1 2或t2 1 若t1 2 即x2 x 2 0 x 2或x 1 若t2 1 即x2 x 1 0 1 2 4 3 0 此方程无实数根 综上所述 所求函数的零点为2 1 变式与拓展 1 若f x ax b b 0 有一个零点是3 则函数g x bx2 3ax的零点是 0 1 2 2 3 解析 由f x ax b b 0 有一个零点是3 得3a b 0 即3a b 又g x bx2 3ax x bx 3a x bx b 令g x 0 解得x1 0 x2 1 2 1 函数f x x2 x 6的零点为 2 函数f x 2x 4的零点为 3 函数f x log4x 1的零点为 题型2判断零点所在的大致区间 例2 1 函数f x 2x 3x的零点所在的一个区间是 a 2 1 c 0 1 b 1 0 d 1 2 答案 b 2 2013年天津 函数f x 2 x log0 5x 1的零点个数为 a 1个b 2个c 3个d 4个 解析 函数f x 2 x log0 5x 1 如图d24 当x 1时 函数化为f x 2 xlog2x 1 令2 xlog2x 1 0 可得2x log2x 方程没有解 当0 x 1时 函数化为f x 2 xlog0 5x 1 令2 xlog0 5x 1 0 可得2x log0 5x 方程有一个解 所以函数f x 2 x log0 5x 1的零点个数有1个 故选a 图d24 答案 a 判断函数y f x 在某个区间上是否存在零点 常用以下三种方法 当对应方程易解时 可通过解方程 看方程是否有根落在给定区间上 利用函数零点的存在性定理进行判断 通过函数图象 观察图象与x轴在给定区间上是否有交点进行判断 变式与拓展 3 2011年广东汕头测试 根据表格中的数据 可以判定函数f x ex x 2的一个零点所在的区间为 k k 1 k z 则k 的值为 c a 1 b 0 c 1 d 2 解析 由表 可知 当k 1时 f 1 f 2 0 零点在 1 2 内 题型3根据二次函数零点的分布来确定参数范围 例3 已知函数f x x2 a2 1 x a 2的一个零点比 1大 另一个零点比1小 求实数a的取值范围 思维突破 函数的零点即方程的根 利用韦达定理或数形 结合求解 解 方法一 令f x 0 则x2 a2 1 x a 2 0 a2 1 2 4 a 2 a4 2a2 4a 9 a2 2 2 2 a 1 2 3 0 此方程有两个不相等的实数根 设两实数根分别为x1 x2 x1 x2 由函数的零点一个比1大 另一个比1小 可得x1 1 x2 故 x1 1 x2 1 0 即x1x2 x1 x2 1 0 由韦达定理 得 a 2 a2 1 1 0 即a2 a 2 0 解得 2 a 1 图3 1 1 用方程的实根的分布情况求函数中的参数范围时 要注意以下几个方面 判别式 韦达定理 对称轴 函数值的大小 开口方向 方法二 函数f x x2 a2 1 x a 2的简图如图3 1 1 根据题意 得f 1 0 即12 a2 1 1 a 2 0 a2 a 2 0 解得 2 a 1 变式与拓展 0 a 1 5 若关于x的方程x2 5x 2 a 0在区间 1 3 内有两相异的实数根 求实数a的取值范围 例4 已知mx2 x 1 0有且只有一个根在区间 0 1 内 求实数m的取值范围 易错分析 当方程f x 0在区间 a b 内有且只有一个根 时 则有可能是f a f b 0 也有可能是f a f b 0 方法 规律 小结 1 准确理解函数的零点 1 函数的零点是一个实数 当自变量取该实数时 其函数值等于零 函数的零点不是点 它是函数y f x 与x轴交点的横坐标 是方程f x 0的根 2 根据函数零点的定义 可知 函数f x 的零点就是方程f x 0的根 因此判断一个函数是否有零点 或有几个零点 就是判断方程f x 0是否有实根 或有几个实根 3 函数零点的存在性定理的条件是充分条件 即若f a f b 0不成立 函数y f x 在区间 a b 内亦可能存在零点 2 函数的零点 方程的根和函数图象与x轴交点坐标的关系 三者之间是互相等价的关系 因此 求y f x 的零点 从数的角