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第15讲 导数在生活中的优化问题举例 1 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 其 中多项式函数一般不超过三次 2 会用导数求函数的极大值 极小值 其中多项式函数一般不超过三次 会求闭区间上函数的最大值 最小值 其中多项式函数一般不超过三次 3 会利用导数解决某些实际问题 利用导数解决实际生活中的优化问题的基本步骤 分析实际问题中各变量之间的关系 建立实际问题的数学模型 写出相应的函数关系式y f x 并确定定义域 求导数f x 解方程f x 0 判断使f x 0的点是极大值点还是极小值点 确定函数的最大值或最小值 还原到实际问题中作答 即获得优化问题的答案 则物体在t 3s的瞬时速度为 a 30m s b 40m s 2 函数f x 12x x3在区间 3 3 上的最小值是 3 曲线y xex 2x 1在点 0 1 处的切线方程为 4 某工厂要围建一个面积为128m2的矩形堆料场 一边可以用原有的墙壁 其他三边要砌新的墙壁 要使砌墙所用的 材料最省 堆料场的长 宽应分别为 a 16 y 3x 1 c 45m s d 50m s 16m 8m 考点1 求参数的取值范围问题 1 求函数f x 的单调区间 2 是否存在实数a 使得函数f x 的极值大于0 若存在 求a的取值范围 若不存在 说明理由 互动探究 1 2013年湖北 已知函数f x x lnx ax 有两个极值点 则实数a的取值范围是 a 0 c 0 1 d 0 答案 b 考点2 利用导数证明不等式问题 互动探究 考点3 利用导数解决实际优化问题 例3 2013年重庆 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 不计厚度 设该蓄水池的底面半径为rm 高为hm 体积为vm3 假设建造成本仅与表面积有关 侧面积的建造成本为100元 m2 底面的建造成本为160元 m2 该蓄水池的总建造成本为12000 元 为圆周率 1 将v表示成r的函数v r 并求该函数的定义域 2 讨论函数v r 的单调性 并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大 解 1 因为蓄水池侧面的总成本为100 2 rh 200 rh元 底面的总成本为160 r2元 所以蓄水池的总成本为 200 rh 160 r2 元 根据题意200 rh 160 r2 12000 规律方法 1 引入恰当的变量 建立适当的模型是解题的关键 容积v是关于r的三次函数 因此只能利用导数求最值 2 在解决实际优化问题时 要注意所设自变量的取值范围 同时要注意考虑问题的实际意义 把不符合实际意义的值舍去 并还原到实际问题作答 互动探究 3 做一个圆柱形锅炉 容积为v 两个底面的材料每单位面积的价格为a元 侧面的材料每单位面积的价格为b元 当 造价最低时 锅炉的底面直径与高的比为 a ab b a2b c ba d b2a 答案 c 图d7 思想与方法 利用数形结合思想讨论函数的图象及性质例题 已知函数f x ax3 bx2
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