湖南省永州市新田县第一中学高中数学 24 数学归纳法课件 理 新人教A版选修22.ppt

2 3数学归纳法 问题1 大球中有5个小球 如何证明它们都是绿色的 问题2 完全归纳法 不完全归纳法 问题情境一 1 不完全归纳法有利于发现问题 但结论不一定正确 2 完全归纳法结论可靠 但一一核对困难 说明 由两种归纳法得出的结论一定正确吗 想一想 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 结论一定可靠 结论不一定可靠 考察全体对象 得到一般结论的推理方法 考察部分对象 得到一般结论的推理方法 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法 归纳法 2 验证前一问题与后一问题有递推关系 相当于前牌推倒后牌 如何解决不完全归纳法存在的问题呢 如何保证骨牌一一倒下 需要几个步骤才能做到 1 处理第一个问题 相当于推倒第一块骨牌 问题情境二 p92思考 思考 问题2中证明数列的通项公式这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗 你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗 由条件知 n 1时猜想成立 如果n k时猜想成立 即 那么当n k 1时猜想也成立 即 事实上 即n k 1时猜想也成立 对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性 1 证明当n取第一个值n0 例如n0 1 时命题成立 2 假设当n k k n k n0 时命题成立证明当n k 1时命题也成立 这种证明方法叫做数学归纳法 数学归纳法 归纳递推 归纳奠基 框图表示 二 数学归纳法的步骤 根据 1 2 知对任意的时命题成立 注 1 证明当取第一个值或时结论正确 两个步骤缺一不可 仅靠第一步不能说明结论的普遍性 仅有第二步没有第一步 就失去了递推的依据 只有把第一 二步的结论结合在一起才能得出普遍性结论 因此完成一二两步后 还要做一个总的结论 3 数学归纳法用来证明与正整数有关的命题 1 2 分析 即 2 假设当时命题成立 即成立吗 那么当时命题成立吗 1 当时 成立吗 根据 1 2 知当对任意的命题成立 1 当时 左边 右边 证明 命题成立 2 假设当时命题成立 即 那么当时 即当时命题成立 依据 结论 证明 1 当n 1时 左边 1 右边 等式成立 2 假设当n k时 等式成立 就是 那么 例2 用数学归纳法证明 当 这就是说 当n k 1时等式也成立 根据 1 和 2 可知等式对任何n n 都成立 如下证明对吗 证明 当n 1时 左边 右边 等式成立 设n k时 有 即n k 1时 命题成立 根据 问可知 对n n 等式成立 第二步证明中没有用到假设 这不是数学归纳法证明 1 第一步应做什么 此时n0 左 2 假设n k时命题成立 即 当n k时 等式左边共有项 第k项是 k k2 思考 1 12 例3用数学归纳法证明 3 当n k 1时 命题的形式是 4 此时 左边增加的项是 5 从左到右如何变形 证明 1 当n 1时 左边 12 1 右边 等式成立 2 假设当n k时 等式成立 就是 那么 用数学归纳法证明 这就是说 当n k 1时等式也成立 根据 1 和 2 可知等式对任何n n 都成立 1 用数学归纳法证明等式1 2 3 2n 1 n 1 2n 1 时 当n 1时 左边所得项是 当n 2时 左边所得项是 1 2 3 1 2 3 4 5 a 1 b 1 a c 1 a a2 d 1 a a2 a3 c 课堂练习 1 数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法 主要有两个步骤一个结论 归纳奠基 1 证明当n取第一个值n0