湖南省长郡中学高中数学 3.3.7函数的导数的应用课件 新人教A版选修11.ppt

生活中经常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题通常称为优化问题 通过前面的学习 我们知道 导数是求函数最大 小 值的有力工具 本节我们运用导数 解决一些生活中的优化问题 情景设置 解决优化问题的基本思路是 优化问题 用函数表示的数学问题 优化问题的答案 用导数解决数学问题 思路小结 上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程 导数与优化问题 例1 用长为90cm 宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器 先在四角分别截去一个小正方形 然后把四边翻转90 角 再焊接而成 如图 问该容器的高为多少时 容器的容积最大 最大容积是多少 例2 在甲 乙两个工厂 甲厂位于一直线河岸的岸边a处 乙厂与甲厂在河的同侧 乙厂位于离河岸40km的b处 乙厂到河岸的垂足d与a相距50km 两厂要在此岸边合建一个供水站c 从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元 问供水站c建在岸边何处才能使水管费用最省 例3 如图 有一块半椭圆形钢板 其半轴长为 短半轴长为 计划将此钢板切割成等腰梯形的形状 下底ab是半椭圆的短轴 上底cd的端点在椭圆上 记 梯形面积为s i 求面积s以为自变量的函数式 并写出其定义域 ii 求面积s的最大值 例4 某地有三家工厂 分别位于矩形abcd的顶点a b及cd的中点p处 已知ab 20km cb 10km 为了处理三家工厂的污水 现要在矩形abcd的区域上 含边界 且a b与等距离的一点o处建造一个污水处理厂 并铺设排污管道ao bo op 设排污管道的总长为ykm i 按下列要求写出函数关系式 设 rad 将表示成的函数关系式 设 km 将表示成的函数关系式 ii 请你选用 i 中的一个函数关系式 确定污水处理厂的位置 使三条排污管道总长度最短 例5 两县城a和b相距20km 现计划在两县城外以ab为直径的半圆弧ab上选择一点c建造垃圾处理厂 其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关 对城a和城b的总影响度为城a与城b的影响度之和 记c点到城a的距离为xkm 建在c处的垃圾处理厂对城a和城b的总影响度为y 统计调查表明 垃圾处理厂对城a的影响度与所选地点到城a的距离的平方成反比 比例系数为4 对城b的影响度与所选地点到城b的距离的平方成反比 比例系数为k 当垃圾处理厂建在ab的中点时 对城a和城b的总影响度为0 065 1 将y表示成x的函数 ii 讨论 1 中函数的单调性 并判断弧ab上是否存在一点 使建在此处的垃圾处理厂对城a和城b的总影响度最小 若存在 求出该点到城a的距离 若不存在 说明理由 例6 某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量y 单位 千克 与销售价格x 单位 元 千克 满足关系式 其中3 x 6 a为常数 已知销售价格为5元 千克时 每日可售出该商品11千克 求a的值 若该商品的成品为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获得的利润最大 例7 某地建一座桥 两端的桥墩已建好 这两墩相距m米 余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩 经预测 一个桥墩的工程费用为256万元 距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元 假设桥墩等距离分