高考数学总复习 第二章 第四节一次函数和二次函数课件 理.ppt

第四节一次函数和二次函数 第二章函数 导数及其应用 考纲要求 1 熟练掌握二次函数的图象 并能求给出了某些条件的二次函数的解析式 2 掌握二次函数的单调性 会求二次函数的单调区间 3 会求二次函数的最值 4 结合二次函数的图象 了解函数的零点与方程根的联系 判断一元二次方程根的存在性及根的个数 课前自修 知识梳理 一 一次函数及其性质函数y ax b a 0 叫做一次函数 当 时 该函数在r上是增函数 当 时 该函数在r上是减函数 由于一次函数是单调函数 故其在闭区间上的最大 最小值一定在端点取得 若函数f x ax b在x p q 时恒为正 负 则在p q处的函数值满足 若函数f x ax b在x p q 上与x轴有交点 则在p q处的函数值满足 a 0 a 0 f p f q 0 二 二次函数定义及其性质1 二次函数的定义 2 二次函数的三种表示形式为 1 一般式 2 顶点式 3 零点式 形如y ax2 bx c a b c为常数且a 0 的函数叫做一元二次函数 y ax2 bx c a 0 y a x h 2 k a 0 y a x x1 x x2 a 0 3 一元二次函数f x ax2 bx c a 0 的性质 1 定义域为r 当a 0时 值域为 当a0时 开口向 当a 0时 开口向 上下 4 当a 0时 在区间 上是增函数 在区间 上是减函数 当a 0时 在区间 上是增函数 在区间 上是减函数 5 当 时 该函数是偶函数 当 时 该函数是非奇非偶函数 b 0b 0 4 二次函数f x ax2 bx c在闭区间 p q p0的情形为例 f p f q f p f f q f f q f p 三 一元二次方程根的分布问题研究一元二次方程的根的分布 一般情况下需要从以下三个方面考虑 1 一元二次方程根的判别式 2 相应二次函数区间端点函数值的符号 3 相应二次函数图象 抛物线的对称轴x 与端点的位置关系 设x1 x2是实系数二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两实根 则x1 x2分布范围与二次方程系数之间的关系见下表 基础自测 1 2012 柳州市模拟 已知函数y x2 4ax 1 x 3 是单调递增函数 则实数a的取值范围是 解析 对称轴为x 2a 依题意 对称轴应在区间 1 3 的左侧 包括左端点 故2a 1 得a 故选a 答案 a 2 2012 长春市调研 已知函数f x 则f f x 1的充要条件是 a x b x 4 c x 1 4 d x 4 解析 当x 0时 f f x 1 所以x 4 当x 0时 f f x 1 所以x2 2 x 舍去 或x 所以x 4 故选d 答案 d 3 2013 揭阳一中段考 若函数f x a2 2a 3 x2 a 3 x 1的定义域和值域都为r 则a的取值范围是 a a 1或3b a 1c a 3或a 1d 1 a 3 解析 依题意知函数f x 为一次函数 所以a2 2a 3 0 解得a 1或a 3 当a 3时 f x 1 值域不为r 故舍去 故选b 答案 b 4 2012 苏州市模拟 若关于x的方程3tx2 3 7t x 4 0的两个实根 满足0 1 2 实数t的取值范围是 考点探究 考点一 求二次函数的解析式 例1 已知二次函数f x 的对称轴为x 截x轴上的弦长为4 且过点 0 1 求函数f x 的解析式 点评 已知函数的类型 模型 求其解析式 用待定系数法 根据题设恰当选用二次函数解析式的形式 可使解法简捷 变式探究 1 已知二次函数f x 满足f 2 1 f 1 1 且f x 的最大值是8 试确定此二次函数 法三 依题意知 f x 1 0的两根为x1 2 x2 1 故可设f x 1 a x 2 x 1 即f x ax2 ax 2a 1 又函数有最大值ymax 8 即 8 解之 得a 4或a 0 舍去 函数解析式为f x 4x2 4x 7 考点二 二次函数的单调性与对称性 例2 1 2012 佛山一中期中 函数f x 2x2 mx 3 当x 2 时是增函数 则m的取值范围是 a 8 b 8 c 8 d 8 2 2012 湛江二中月考 若f x x2 x a f m 0 则f m 1 的值 a 是正数b 是负数c 是非负数d 与m有关 解析 1 函数的对称轴为x 且图象的开口向上 当x 时 函数是增函数 若x 2 时 函数是增函数 则 2 得m 8 故选c 2 函数的对称轴为x f m 1 f m 0 故选b 答案 1 c 2 b 点评 二次函数的单调性与对称性是二次函数的重要性质 在求二次函数的单调区间和最值时都要用到这些性质 变式探究 2 1 函数y x2 bx c x 0 是单调函数的充要条件是 a b 0b b 0c b 0d b 0 2 如果函数f x x2 bx c对任意实数t都有f 2 t f 2 t 那么 a f 2 f 1 f 4 b f 1 f 2 f 4 c f 2 f 4 f 1 d f 4 f 2 f 1 解析 1 函数y x2 bx c x r 的对称轴x 函数y x2 bx c x 0 是单调函数 0 0 b 0 故选a 2 f x x2 bx c a 1 抛物线开口向上 又f 2 t f 2 t 故x 2是其对称轴 即当x 2时 f x 取最小值 且f 1 f 3 而当x 2时 f x 是增函数 f 2 f 1 f 4 故选a 答案 1 a 2 a 考点三 求二次函数的最值 值域 例3 求二次函数f x x2 2x 3在区间 t t 1 t r 上的最大值与最小值 解析 f x x2 2x 3 x 1 2 2 其对称轴为x 1 1 当t 1 1 即t 0时 f x 在区间 t t 1 上是减函数 f x max f t t2 2t 3 f x min f t 1 t 1 2 2 t 1 3 t2 2 2 当t 1时 f x 在区间 t t 1 上是增函数 f x min f t t2 2t 3 f x max f t 1 t 1 2 2 t 1 3 t2 2 3 当t 1 t 1 即0 t 1时 f x 在区间 t 1 上是减函数 在区间 1 t 1 上是增函数 f x min f 1 12 2 3 2 i 当1 t t 1 1 即0 t 时 f t f t 1 f x max f t t2 2t 3 ii 当1 t t 1 1 即 t 1时 f t f t 1 f x max f t 1 t2 2 综上所述 点评 讨论二次函数的区间最值问题 1 注意对称轴与区间的相对位置 2 注意相应抛物线的开口方向 具体地说 二次函数f x ax2 bx c在区间 上的最值一般分为三种情况讨论 对称轴x 在区间左边 函数在此区间上具有单调性 对称轴x 在区间之内 对称轴x 在区间右边 函数在此区间上具有单调性 要注意系数a的符号对抛物线开口方向的影响 变式探究 3 已知函数f x x2 2ax 1 a在0 x 1上有最大值2 求a的值 解析 f x x2 2ax 1 a x a 2 a2 a 1 0 x 1 1 当0 a 1时 f x max f a a2 a 1 a2 a 1 2 解得a 0 a 1 a无解 2 当a 1时 f x max f 1 a 2 1 成立 3 当a 0时 f x max f 0 1 a 1 a 2 得a 1 0成立 综上可得a 1或a 2 考点四 二次方程根的分布问题 例4 已知函数f x x2 2a 1 x a2 2的图象与x轴的非负半轴至少有一个交点 求a的取值范围 解析 法一 由题设知关于x的方程x2 2a 1 x a2 2 0至少有一个非负实根 设两实根为x1 x2 则 变式探究 4 2012 中山市桂山中学月考 若方程x2 k 2 x 2k 1 0的两根中 一根在0和1之间 另一根在1和2之间 则实数k的取值范围是 考点五 二次函数的综合问题 例5 2012 肇庆市一模 设函数f x ax2 bx 1 a b r f x 1 若f 1 0且对任意实数x均有f x 0恒成立 求f x 的表达式 2 在 1 的条件下 当x 3 3 时 g x f x kx是单调函数 求实数k的取值范围 3 设mn0 a 0且f x 为偶函数 证明 f m f n 1 解析 f 1 0 b a 1 由于f x 0恒成立 即ax2 bx 1 0恒成立 当a 0时 b 1 此时 f x x 1与f x 0恒成立矛盾 当a 0时 由 b 2 4a a 1 2 4a a 1 2 0 得a 1 b 2 从而f x x2 2x 1 f x 2 解析 由 1 知f x x2 2x 1 g x f x kx x2 2 k x 1 其对称轴为x 由g x 在x 3 3 上是单调函数知 3或 3 解得k 4或k 8 3 证明 f x 是偶函数 由f x f x 得b 0 故f x ax2 1 f x a 0 f x 在 0 上是增函数 对于f x 当x 0时 x0 f x f x f x f x f x 是奇函数 且f x 在 0 上为增函数 mn0 n0得m n 0 f m f n f n 2 当m0时 由m n 0得n m 0 f n f m f m 即f m f n 综上可知 f m f n 变式探究 5 2012 长沙市模拟 已知函数y f x 的图象与函数h x x2 6x 8的图象关于点 1 0 对称 1 求函数f x 的表达式 2 设函数g x f x 2x x 1 a a r 求g x 的最小值 解析 1 设y f x 上的任意一点为 x y 则它关于点 1 0 的对称点的坐标为 2 x y 而点 2 x y 满足y x2 6x 8 y 2 x 2 6 2 x 8 y x2 2x f x x2 2x 课时升华 1 三个 二次 即二次函数 一元二次方程 一元二次不等式 是中学数学的重要内容 具有丰富的内涵和密切的联系 同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具 高考试题中近一半的试题与这三个 二次 问题有关 因此要注意以二次函数为主线 或纽带 来理解三者之间的联系与区别 掌握函数 方程及不等式的思想和方法 2 配方法与数形结合是解决二次函数在给定闭区间上的最值 值域 问题的有效方法 注意 两看 一看开口方向 二看对称轴与所给区间的相对位置关系 二次函数在给出区间上的最值有两类 一是求闭区间 m n 上的最值 二是求区间定 动 对称轴动 定 的最值问题 解决这类问题时 不要死记结论 应利用数形结合 其实质是单调性 抓住 三点一轴 三点指的是区间的两个端点和区间中点 一轴指的是对称轴 来考虑 3 讨论二次函数相应的二次方程的根的分布情况 一般需从三方面考虑 判别式 区间端点的函数值的符号 对称轴与区间的相对位置 感悟高考 品味高考 1 设abc 0 二次函数f x ax2 bx c的图象可能是 解析 当a 0时 由abc 0知b c同号 对应的图象应为c或d 在c d两图中有c0 选项d符合 同理可判断当a 0时 选项a b都不符合题意 故选d 答案 d 2 对实数a和b 定义运算 ab 设函数f x x2 2 x 1 x r 若函数y f x c的图