高考数学总复习 第六章 第二节一元二次不等式及其解法课件 理.ppt

第二节一元二次不等式及其解法 第六章不等式 推理与证明 考纲要求 1 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型 2 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数 一元二次方程的联系 3 会解一元二次不等式 对给定的一元二次不等式 会设计求解的程序框图 4 会解分式方程及简单的高次方程 课前自修 知识梳理 一 一元二次不等式的概念 1 我们把只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是2的不等式 称为一元二次不等式 2 使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解 一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的解集 二 二次函数 一元二次方程与一元二次不等式的关系 三 求解一元二次不等式的程序框图 四 一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2 bx c0 则可根据 大于取两边 小于夹中间 求得解集 五 高次不等式与分式不等式的解法1 高次不等式的解法 先将最高次项的系数化为正数 然后分解因式 将相应方程的所有根画在数轴上 采取 数轴标根 法 或称穿针引线法 得出不等式的解集 数轴标根法的操作过程 1 把不等式变形为一边是一次因式的积 另一边是0的形式 2 各因式中x的系数全部变为1 约去偶次因式 3 把各个根从小到大依次排好标出 从数轴最左端向右端依次取根判断 并 引线 4 严格检查因式的根 特别是约去的偶次因式的根 是否在解集内 2 分式不等式的解法 将分式不等式转化为整式不等式 通过 穿针引线 法得出不等式的解集 0 0 0 0 0 可以转化为 基础自测 1 不等式x2 x的解集是 a b c d 解析 由x2 x得x x 1 0 所以解集为 故选d 答案 d 解析 a 2 2 b 1 2 3 所以a b 1 2 故选d 答案 d 3 2012 长沙市模拟 不等式 1的解集是 解析 1 1 0 0 x 2 0 x 2 答案 4 2012 上海市新中高级中学月考 已知命题 存在x r 使得x2 2ax 1 0 是真命题 则实数a的取值范围是 解析 依题意有 2a 2 4 0 解得a1 答案 1 1 考点探究 考点一 解一元二次不等式 例1 解下列不等式 1 x2 3x 10 0 2 4x 3 2x 2 0 自主解答 解析 1 方程x2 3x 10 0的根是x1 2 x2 5 原不等式的解集为 2 设2x t t 0 则不等式4x 3 2x 2 0变为t2 3t 2 0 解得1 t 2 于是得1 2x 2 即20 2x 21 0 x 1 原不等式的解集为 变式探究 1 1 当x 3 2 时 不等式 x2 x 6 0的解集为 2 若 1 x0的解集是 解析 1 由 x2 x 6 0得x2 x 6 0 即 x 3 x 2 0 得 2 x 3 又x 3 2 原不等式的解集为 2 2 考点二 一元二次不等式与一元二次方程的关系 例2 已知不等式x2 mx n 0的解集为 x x 2或x 3 则mn 解析 由不等式x2 mx n 0的解集为 x x 2或x 3 可知 2 3是方程x2 mx n 0的两根 由根与系数的关系得m 2 3 1 n 2 3 6 mn 1 6 6 答案 6 点评 掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根的关系 使问题转化为相应的一元二次方程的根与系数的关系问题 这是解答本题的关键 变式探究 2 不等式ax2 bx 1 0的解集为 1 则不等式x2 bx a 0的解集为 考点三 解含参数的一元二次不等式 例3 解关于x的不等式x2 x a 0 变式探究 3 解关于x的不等式x2 a a2 x a3 0 考点四 解分式不等式 例4 2012 广东金山一中等三校考前测试 若p 0 p成立 是 q成立 的充要条件 则满足条件的q是 a q x 3 x 2 0b q 0c q lg x 2 0d q 5 2x 1 解析 p 0 0 2 x 3 q lg x 2 0 lg x 2 lg1 0 x 2 1 得2 x 3 选项c满足 故选c 答案 c 变式探究 4 不等式 0的解集是 解析 用数轴标根法 答案 x 2 3 考点五 变换主元解不等式 例5 已知函数f x mx2 mx 1 若对于m 2 2 f x m 5恒成立 则x的取值范围是 思路点拨 将f x m 5变为mx2 mx m 6 0 这是关于x的不等式 将其转化为关于m的不等式m x2 x 1 6 0 可以用一次函数的单调性求解 解析 将f x m 5变为m x2 x 1 6 0 则命题等价于m 2 2 时 g m m x2 x 1 6 0恒成立 x2 x 1 0 g m 在 2 2 上单调递增 只要g 2 m x2 x 1 6 0 即x2 x 2 0 解得 1 x 2 点评 主元转换是解不等式的一种方法 当不等式中的参数给出已知范围时 通常将不等式转化为以参数为主元的不等式 结合函数的单调性和参数的范围 求得原不等式的解集 变式探究 5 2012 青岛市模拟 若对任意a 1 1 不等式x2 a 3 x 3a 0恒成立 则x的取值范围是 a 13d x3 答案 d 1 一元一次不等式 一元二次不等式的求解要正确 熟练 迅速 这是解分式不等式 指数不等式 对数不等式的基础 带等号的分式不等式求解时 要注意分母不等于0 二次函数y ax2 bx c的值恒大于0的条件是a 0且 0且 0 若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时 必须考虑二次项系数为0这一特殊情形 2 一元二次不等式的解集与二次项系数及判别式的符号有关 3 解分式不等式要使一边为零 转化为不等式组 如果能分解 可用数轴标根法或列表法 4 解含参数的不等式的基本途径是分类讨论 但能避免讨论的应设法避免讨论 5 解不等式的过程 实质上是不等式等价转化过程 因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则 6 各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式 组 或一元二次不等式 组 来解 这体现了转化与化归的数学思想 7 解不等式 重点仍是含参数的有关不等式 对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析 必须注意分类不重 不漏 完全 准确 许多数学中的问题都可以转化为一个解不等式的问题 如函数的定义域 值域 最值和参数的取值范围 以及二次方程根的分布等 因此解不等式在数学中有着极其重要的地位 是高考的必考内容之一 不一定独立成题 但往往与其他问题综合