高考数学一轮复习 6.2等差数列的概念及基本运算课件.ppt

课标版理数 6 2等差数列的概念及基本运算 1 如果一个数列从 第二项起 每一项与前一项的差等于 同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 通常用字母d表示 定义的表达式为an 1 an d n n 2 如果a a b成等差数列 那么a叫做a与b的 等差中项 且a 3 等差数列的通项公式为 an a1 n 1 d或 an am n m d 4 等差数列的公差公式为d 或d 5 等差数列的前n项和公式 1 sn 2 sn na1 3 sn n2 n 4 n为奇数时 sn n 为中间项 6 等差数列的性质 1 m n p q n 若m n p q 则am an ap aq的关系为am an ap aq 特别地 a1 an a2 an 1 2 an an b a b是常数 是 an 成等差数列的充要条件 3 数列 an 的前n项和sn an2 bn a b是常数 是 an 成等差数列的充要条件 4 等差数列的单调性d 0 an 为递增数列 sn有最小值 d 0 an 为递减数列 sn有最大值 d 0 an 为常数列 5 若 an 和 bn 均是等差数列 则 man kbn 仍为等差数列 m k为常数 6 等差数列中依次k项的和成等差数列 即sk s2k sk s3k s2k 成等差数列 公差为k2d 1 若等差数列 an 的前5项之和s5 25 且a2 3 则a7 a 12b 13c 14d 15 答案b由s5 25 a4 7 所以7 3 2d d 2 所以a7 a4 3d 7 3 2 13 故选b 2 设等差数列 an 的前n项和为sn a2 a4 6 则s5等于 a 10b 12c 15d 30 答案cs5 15 故选c 3 已知等差数列 an 中 a5 a9 a7 10 记sn a1 a2 an 则s13的值为 a 130b 260c 156d 168 答案a由a5 a9 a7 10可得 2a7 a7 a7 10 由等差数列前n项和公式可得s13 13a7 130 故选a 4 已知等差数列 an 满足a1 a2 a3 a101 0 则有 a a1 a101 0b a2 a100 0c a3 a99 0d a1 51 答案c s101 0 s101 101 0 a1 a101 a2 a100 a3 a99 0 故选c 5 等差数列 an 的公差d 0 且a2 a4 12 a2 a4 8 则数列 an 的通项公式是 a an 2n 2 n n b an 2n 4 n n c an 2n 12 n n d an 2n 10 n n 答案d由 所以an a1 n 1 d 8 n 1 2 即an 2n 10 n n 故选d 典例1 1 2014辽宁 8 5分 设等差数列 an 的公差为d 若数列 为递减数列 则 a d0c a1d0 2 2014福建 3 5分 等差数列 an 的前n项和为sn 若a1 2 s3 12 则a6等于 a 8b 10c 12d 14 等差数列的概念及运算 a1 2 d a2 a1 4 2 2 a6 a1 5d 12 故选c 答案 1 c 2 c解析 1 为递减数列 可知 a1an 也为递减数列 又a1an a1 n 1 d a1dn a1d 故a1d 0 故选c 2 s3 3a2 12 a2 4 在等差数列中 五个量a1 an d n sn 只要已知三个量 就可求出其他两个量 在 解题中 要灵活运用性质 m n p q am an ap aq 及sn 运用整体思想 方程思想可简化解题过程 1 1 1 等差数列 an 中 a15 33 a45 153 则d 2 等差数列 an 中 a1 a2 a3 a4 a5 20 则a3 3 若一个等差数列前3项的和为34 最后三项的和为146 且所有项的和为390 则这个数列的项数为 a 13b 12c 11d 10 4 等差数列 an 的前n项和为sn 若a3 a17 10 则s19 a 55b 95c 100d 不确定 答案 1 4 2 4 3 a 4 b解析 1 由d 得d 4 2 由a1 a5 a2 a4 2a3得5a3 20 所以a3 4 3 不妨设这个数列为 an 且最后一项为an 因为a1 a2 a3 34 an 2 an 1 an 146 所以a1 a2 a3 an 2 an 1 an 34 146 180 又因为a1 an a2 an 1 a3 an 2 所以3 a1 an 180 从而a1 an 60 所以sn 390 解得n 13 4 由等差数列的性质知s19 95 故选b 1 2等差数列 an 的公差为正数 且a3 a7 12 a4 a6 4 bn an 则 bn 的前n项和sn 答案解析设数列 an 的公差为d d 0 由题可知解得a1 10 d 2 an 2n 12 则bn an 当n 6时 sn 11n n2 当n 6时 sn a1 a2 a6 a7 an a1 a2 a6 a7 a8 an a1 a2 a6 a7 a8 an 2 a1 a2 a6 n2 11n 60 sn 典例2 2014北京 12 5分 若等差数列 an 满足a7 a8 a9 0 a7 a100 即a8 0 又a8 a9 a7 a10 0 a9 0 当n 8时 an 的前n项和最大 等差数列前n项和的最值问题 处理等差数列前n项和的最值问题的两种常用思路 1 由于等差数列 公差d 0 的前n项和是关于n的二次函数 故可以考虑从前n项和公式入手 通过配方作适当变形求最值 也可用顶点坐标求最值 2 依据等差数列单调性求最值 2 1在等差数列 an 中 已知a1 20 前n项和为sn 且s10 s15 求当n取何值时 sn取得最大值 并求出它的最大值 解析解法一 a1 20 s10 s15 10 20 d 15 20 d d an 20 n 1 n a13 0 当n 12时 an 0 n 14时 an 0 当n 12或13时 sn取得最大值 且最大值为s12 s13 12 20 130 解法二 同解法一求得d sn 20n n2 n n n 当n 12或13时 sn有最大值 且最大值为s12 s13 130 解法三 同解法一求得d 由s10 s15得a11 a12 a13 a14 a15 0 5a13 0 即a13 0 当n 12或13时 sn有最大值 且最大值为s12 s13 130 典例3 2014安徽宿州4月 20 已知函数f x x2 2 n 1 x n2 5n 7 1 设函数y f x 的图象的顶点的纵坐标构成数列 an 求证 an 为等差数列 2 设函数y f x 的图象的顶点到x轴的距离构成数列 bn 求 bn 的前n项和sn 解析 1 证明 f x x2 2 n 1 x n2 5n 7 x n 1 2 3n 8 an 3n 8 2分 an 1 an 3 n 1 8 3n 8 3 数列 an 为等差数列 4分 2 由题意知 bn an 3n 8 6分 等差数列的证明 当1 n 2时 bn 8 3n sn b1 bn 8分 当n 3时 bn 3n 8 sn b1 b2 b3 bn 5 2 1 3n 8 7 10分 sn 12分 证明等差数列的两种基本方法证明数列 an 为等差数列的基本方法有两种 一是定义法 证明an 1 an d n n d为常数 二是等差中项法 证明2an 1 an an 2 n n 证明一个数列不是 等差数列 可以举出反例 也可以用反证法 3 1设数列 an 的各项都为正数 其前n项和为sn 已知对任意n n sn是和an的等差中项 1 证明数列 an 为等差数列 并求数列 an 的通项公式 2 证明 0 当n 1时 2a1 a1 解得a1 1 a1 0舍去 当n 2时 有2sn 1 an