高考数学总复习（整合考点+典例精析+深化理解）第六章 第四节基本不等式≤ (ab∈R＋ )精讲课件 文.ppt

第四节基本不等式 a b r 第六章 例1 若a b 1 p q lna lnb r ln 试比较p q r的大小 利用基本不等式比较数 或式 的大小 自主解答 解析 a b 1 lna lnb 0 点评 如果两个数 式 的关系符合基本不等式的结构形式 则可以用基本不等式比较大小 如果两个数 式 的关系通过变形可以变成基本不等式的结构形式 则可以用基本不等式比较大小 1 已知m a a 2 n x2 2 x 0 则m n之间的大小关系是 a m nb m nc m nd m n 变式探究 解析 因为a 2 x 0 所以m a 2 2 4 n 22 x2 22 4 所以m n 故选a 答案 a 利用基本不等式判定不等式的正误 例2 给出以下四个不等式 a b 2 4ab a b r a 4 sinx 其中正确的个数是 a 0b 1c 2d 3 解析 a b 2 a2 b2 2ab 2ab 2ab 4ab 正确 错误 当sinx 时 sinx 2 显然等号取不到 事实上 设t sinx 则t 0 1 y t 在 0 1 上为减函数 故当t 1时 y取最小值5 错误 故选b 答案 b 点评 利用基本不等式判断一个不等式的正误 主要看该不等式是否满足基本不等式成立的条件 变式探究 2 2012 广东执信中学检测 a b 0 是 ab 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 a2 b2 2ab中参数的取值不只是可以取正数 均值不等式才需满足a 0 b 0 故选a 答案 a 例3 1 2012 蚌埠质检 已知正项等比数列 an 满足a7 a6 2a5 若存在两项am an使得 则的最小值为 a 1b 3c 9d 不存在 利用最值定理求最值 2 2012 佛山一中期中 下列结论正确的是 a 当x 0且x 1时 lgx 2b 当x 0时 2c 当x 2时 x 的最小值为2d 当0 x 2时 x 无最大值 思路点拨 对于 1 根据等比数列所给的等式 找出m n的关系m n 3 将所找的关系与结合 再用基本不等式求最值 关键的一步是对于 2 用基本不等式或函数的单调性对选项进行验证 可得到结论 解析 1 设等比数列的公比为q 则由a7 a6 2a5得q2 q 2 解得q 2 舍去负值q 1 aman aqm n 2 2a 得2m n 2 2 m n 3 故选b 2 对选项a 当0 x 1时 lgx 0 a错 对选项b 由基本不等式可知正确 对选项c 当x 2时 y x 是增函数 最小值为c错 对选项d 当0 x 2时 y x 是增函数 有最大值2 d错 故选b 答案 1 b 2 b 点评 在使用基本不等式求最值时 一定要注意其中的等号能不能成立 是否符合使用基本不等式的条件 如果根据限制条件等号不能成立 则应该通过其他方法解决 如函数 导数等 使用基本不等式求最值 其基本的技巧是变换 通过变换出现两式之和为常数或者两式之积为常数 达到使用基本不等式的目的 使用基本不等式求最值时 要注意三个条件 即 一正 二定 三相等 变式探究 3 1 设a 0 b 0 若是3a与3b的等比中项 则的最小值为 2 已知x y r 且满足 1 则xy的最大值为 解析 1 由题有 2 3a 3b a b 1 又a 0 b 0 2 因为x 0 y 0 所以可化为4x 3y 12 所以 4x 3y 2 36 当且仅当4x 3y时等号成立 即12xy 36 所以xy 3 所以xy的最大值为3 答案 1 4 2 3 利用基本不等式证明其他不等式 例4 若x 0 y 0 x y 1 求证 9 思路点拨 本题要求根据条件求最值 x y为常数 xy可有最大值 如何合理利用条件x y 1是解答本题的关键 可在要求的式子上乘以 x y 也可通过三角换元转化为三角问题 点评 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况 证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发 借助不等式的性质和有关定理 经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题 变式探究 4 已知a 0 b 0且a b 1 求证 原不等式成立 基本不等式的实际应用 例5 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成本为6万元 该建筑物每年的能源消耗费用c 单位 万元 与隔热层厚度x 单位 cm 满足关系 若不建隔热层 每年能源消耗费用为8万元 设f为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和 1 求k的值及f x 的表达式 2 隔热层修建多厚时 总费用f x 达到最小 并求最小值 解析 1 设隔热层厚度为xcm 由题设 每年能源消耗费用为c x 再由c 0 8 得k 40 因此c x 而建造费用为c1 x 6x 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f x 20c x c1 x 20 2 由 1 知f x 6x 0 x 10 10 80 10 70 当且仅当 2 3x 5 时 等号成立 即 3x 5 2 400 3x 5 20 x 5或x 舍去 时 上式中的等号成立 即f x min 70 万元 当隔热层修建5cm厚时 总费用达到最小 最小值为70万元 点评 1 解实际应用题的基本思路是 设变量时一般把要求的变量定义为函数 根据实际问题抽象出函数的解析式后 只需利用基本不等式求得函数的最值 在求函数的最值时 一定要在定义域 使实际问题有意义的自变量的取值范围 内求解 2 利用基本不等式解决实际问题的关键是使用变量表示求解目标 可以建立一个变量的函数关系 也可以建立满足一定条件的二元函数关系 变式探究 5 2013 三明模拟 某住宅小区为了使居民有一个优雅 舒适的生活环境 计划建一个正八边形的休闲小区 它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形abcd和efgh构成的面积为200m2的十字型区域 现计划在正方形mnpq上建一花坛 造价为4200元 m2 在四个相同的矩形上 图中阴影部分 铺花岗岩地坪 造价为210元 m2 再在四个空角上铺草坪 造价为80元 m2 1 设总造价为s元 ad的长为xm 试建立s关于x的函数关系式 2 计划至少投入多少元 才能建造这个休闲