2018年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷（6月份）（含解析）

2018年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷（6月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1（4分）设集合，则AB，CD，2（4分）帕普斯：古希腊数学家，世纪人，伟大的几何学家，著有数学汇编此书对数学史具有重大的意义，是对前辈学者的著作作了系统整理，并发展了前辈的某些思想，保存了很多古代珍贵的数学证明的资料如下图1，图2，利用帕普斯的几何图形直观证明思想，能简明快捷地证明了一个数学公式，这个公式是ABCD3（4分）已知是等比数的公比，则”是“数列是递减数列”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（4分）设实数，满足，则的最大值A1BC3D5（4分）已知，是双曲线的焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是ABCD6（4分）已知函数，的零点依次为，则以下排列正确的是ABCD7（4分）已知，与，是直线为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是A无论，如何，总是无解B无论，如何，总有唯一解C存在，使之恰有两解D存在，使之有无穷多解8（4分）等差数列中，前项和，前项和，则A小于4B等于4C大于4D大于2且小于49（4分）已知向量，夹角为，对任意，有，则的最小值是ABCD10（4分）如图，矩形中，将沿对角线翻折至，使顶点在平面的投影恰好落在边上，连结设二面角，大小分别为，则ABCD二.填空题：本大题共7小题，11-14题每小题6分，15-17题每小题6分，共36分11（6分）已知直线，若，则直线恒过定点；若，则实数12（6分）定义在上的函数满足当，时，则（4）；（1）（2）（3）13（6分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积是 ，表面积是 14（6分）已知曲线，则曲线恒过定点；若，满足，曲线长度的取值范围是15（4分）已知正实数满足，则的最小值为16（4分）已知，分别是的内角，的对边，边上的高为，则的最大值为 17（4分）已知关于的方程在，上有实数根，则的取值范围是 三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18函数的最小正周期为，当时，有最大值4（1）求，的值；（2）若，且，求的值19如图，在三棱台中，为的中点，二面角的大小为（）证明：；（）求直线与平面所成角的正弦值20已知关于的函数在处有极值，（1）求，的值；（2）设，若存在，使，求实数的取值范围21已知，分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上第二象限的一点，满足，且的内心为（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点做两条互相垂直的弦，设，的中点分别为，求证直线必过定点；22已知数列满足，且证明：证明：2018年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷（6月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1（4分）设集合，则AB，CD，【考点】：交、并、补集的混合运算【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；：集合【分析】根据题意，解不等式可得集合，解不等式可得集合，由集合交集的定义计算可得答案【解答】解：根据题意，集合，；则，故选：【点评】本题考查集合的交、并、补集的计算，关键是求出集合、2（4分）帕普斯：古希腊数学家，世纪人，伟大的几何学家，著有数学汇编此书对数学史具有重大的意义，是对前辈学者的著作作了系统整理，并发展了前辈的某些思想，保存了很多古代珍贵的数学证明的资料如下图1，图2，利用帕普斯的几何图形直观证明思想，能简明快捷地证明了一个数学公式，这个公式是ABCD【考点】：解三角形【专题】11：计算题；38：对应思想；44：数形结合法；58：解三角形【分析】直接接合图形即可求出答案【解答】解：结合图形可数学公式为，故选：【点评】本题考查了古数学文化知识的应用，考查了识图能力，属于基础题3（4分）已知是等比数的公比，则”是“数列是递减数列”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件【专题】21：阅读型【分析】题目给出的数列是等比数列，通过举反例说明公比小于1时数列还可能是递增数列，反之，递减的等比数列公比还可能大于1，从而得到“”是“等比数列是递减数列”的既不充分也不必要的条件【解答】解：数列，该数列是公比的等比数列，但该数列是递增数列，所以，由等比数的公比，不能得出数列是递减数列；而数列，是递减数列，但其公比，所以，由数列是递减数列，不能得出其公比所以，“”是“等比数列是递减数列”的既不充分也不必要的条件故选：【点评】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件，解答此类问题时，要说明一个命题不正确可用举反例的方法，此题是基础题4（4分）设实数，满足，则的最大值A1BC3D【考点】：简单线性规划【专题】1：常规题型；11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：不等式【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由实数，满足，作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最大值故选：【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题5（4分）已知，是双曲线的焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是ABCD【考点】：双曲线的性质【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】首先根据题意建立关系式利用正三角形的边的关系，和双曲线的定义关系式求的离心率【解答】解：已知，是双曲线的焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则：设进一步解得：，利用双曲线的定义关系式：两边平方解得：故选：【点评】本题考查的知识要点：双曲线的定义关系式，正三角形的边的关系，双曲线的离心率，及相关运算6（4分）已知函数，的零点依次为，则以下排列正确的是ABCD【考点】52：函数零点的判定定理【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】利用数形结合，画出函数的图象，判断函数的零点的大小即可【解答】解：函数，的零点依次为，在坐标系中画出，与的图象如图：可知，满足故选：【点评】本题考查了函数的零点的判定理，数形结合的应用，属于基础题7（4分）已知，与，是直线为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是A无论，如何，总是无解B无论，如何，总有唯一解C存在，使之恰有两解D存在，使之有无穷多解【考点】：一次函数的性质与图象【专题】51：函数的性质及应用；：直线与圆【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出，的关系，然后求解方程组的解即可【解答】解：，与，是直线为常数）上两个不同的点，直线的斜率存在，即，并且，得：，即方程组有唯一解故选：【点评】本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解和指数的应用8（4分）等差数列中，前项和，前项和，则A小于4B等于4C大于4D大于2且小于4【考点】85：等差数列的前项和【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】分别利用等差数列的前项和的公式表示出，及，然后将和的值代入，化简后，根据，为正整数且不等于，取最小，求出此时公差的值，即可得到的最小值，求出的最小值大于4，得到正确答案【解答】解：设等差数列的公差为，则，同理，则，因为，为正整数，且，令，将，代入中得到；代入中得到，解得，则故选：【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的前项和的公式化简求值，是一道中档题9（4分）已知向量，夹角为，对任意，有，则的最小值是ABCD【考点】：平面向量数量积的性质及其运算【专题】35：转化思想；41：向量法；：平面向量及应用【分析】由题意对任意，有，两边平方整理由判别式小于等于0，可得，运用数量积的定义可得即有，画出，建立平面直角坐标系，设出，的坐标，求得的坐标表示，运用配方和两点的距离公式，结合三点共线，即可得到所求最小值【解答】解：向量，夹角为，对任意，有，两边平方整理可得，则，即有，即为，则，由向量，夹角为，由，即有，则，画出，建立平面直角坐标系，如图所示；则，；表示与，的距离之和的2倍，当，共线时，取得最小值即有故选：【点评】本题考查斜率的数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查转化思想和三点共线取得最小值，考查化简整理的运算能力，属于难题10（4分）如图，矩形中，将沿对角线翻折至，使顶点在平面的投影恰好落在边上，连结设二面角，大小分别为，则ABCD【考点】：二面角的平面角及求法【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；：空间角【分析】推导出，从而面，推导出，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出【解答】解：如图，面，由，面，即是直角三角形，在中，如图以为原点，建立空间直角坐标系，则，0，1，0，由题意得二面角的平面角为，设面的法向量为，由可得，面的法向量为，设平面的法向量为，可得，0，综上，故选：【点评】本题考查二面角的大小关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题二.填空题：本大题共7小题，11-14题每小题6分，15-17题每小题6分，共36分11（6分）已知直线，若，则直线恒过定点；若，则实数【考点】：恒过定点的直线【专题】35：转化思想；：定义法；：直线与圆【分析】根据直线过定点的性质以及直线平行的等价条件进行求解即可【解答】解：当时，即直线恒过定点，当时，两直线方程分别为，和，则两直线不平行，不满足条件当时，若，则等价为，由得，得或，故答案为：，3或【点评】本题主要考查直线方程的性质，利用直线过定点的等价条件以及直线平行的等价条件是解决本题的关键12（6分）定义在上的函数满足当，时，则（4）0；（1）（2）（3）【考点】：分段函数的应用【专题】11：计算题；35：转化思想；：转化法；51：函数的性质及应用【分析】根据已知分析函数的周期性，结合已知中函数的解析式，利用分组求和法，可得答案【解答】解：函数满足故函数是以6为周期的周期函数，当，时，（4），（1），（2），（3），（5），（6），故（1）（2）（3）（1）（1）（2）（3）（6），故答案为：0，337【点评】本题考查的知识点是函数求值，函数的周期性，分段函数的应用，难度中档13（6分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积是，表面积是 【考点】：由三视图求面积、体积【专题】11：计算题；：空间位置关系与距离；：立体几何【分析】由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面面，是边长为2的正三角形，是边，边上的高，为底面上的高据此可计算出表面积和体积【解答】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面面，是边长为2的正三角形，是边，边上的高，为底面上的高于是此几何体的体积，几何体的表面积故答案为：，【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键14（6分）已知曲线，则曲线恒过定点；若，满足，曲线长度的取值范围是【考点】：恒过定点的直线【专题】35：转化思想；49：综合法；：直线与圆【分析】曲线即，令，可得曲线经过定点的坐标；直线经过圆内一个定点，利用直线和圆相交的性质，求出弦长的取值范围【解答】解：曲线，即，令，解得；曲线恒过定点，表示过点的直线若，满足，它表示以原点为圆心、半径等于4的圆、及其内部，而此圆的半径为2，当直线和轴垂直时，弦长最短为，当直线和轴重合时，弦长最长为直径4，故曲线的长度的取值范围是，故答案为：、，【点评】本题主要考查直线过定点问题，直线和圆相交的性质，属于中档题15（4分）已知正实数满足，则的最小值为【考点】：函数的最值及其几何意义【专题】35：转化思想；44：数形结合法；51：函数的性质及应用【分析】由题意可得表示线段上的点，的表示到轴距离与到的距离之和，由对称性解出关于直线的对称点为的坐标，数形结合可得的最小值【解答】解：正实数，满足，表示线段上的点，设关于直线的对称点为，则由对称性可得，解得，故表示到轴距离与到的距离之和由对称性可得，故，结合图象可知当与轴垂直时上式取最小值为，故答案为：【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，数形结合是解决问题的关键，属中档题16（4分）已知，分别是的内角，的对边，边上的高为，则的最大值为【考点】：正弦定理【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形【分析】由已知及三角形面积公式，余弦定理可求，进而可求的最大值【解答】解：由题意可得：，可得：，又，同除以，可得：，可得的最大值为故答案为：【点评】本题主要考查了的考点有：余弦定理；函数的最值，考查了余弦定理及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，属于中档题17（4分）已知关于的方程在，上有实数根，则的取值范围是【考点】：二次函数的性质与图象【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】设方程的根为，则，求出，代入，分离参数求最值，即可求出的取值范围【解答】解：设方程的根为，则，设，则，故答案为：【点评】本题考查求参数的取值范围，考查分离参数方法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18函数的最小正周期为，当时，有最大值4（1）求，的值；（2）若，且，求的值【考点】：三角函数的周期性；：三角函数的最值【专题】34：方程思想；：转化法；57：三角函数的图象与性质【分析】（1）由三角函数的图象与性质求出的值，列方程组求出、的值；（2）由（1）写出的解析式，根据题意利用二倍角公式求得对应函数的值【解答】解：（1）函数，其中，又的最小正周期为，；又时，的最大值为4，；且，由解得，；（2）由（1）知，；又，；【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题19如图，在三棱台中，为的中点，二面角的大小为（）证明：；（）求直线与平面所成角的正弦值【考点】：空间中直线与直线之间的位置关系；：直线与平面所成的角【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；：空间位置关系与距离【分析】（）取中点，连接，则，证明：平面，即可证明；（）过作于点，连接，则平面为直线与平面所成角，即可求直线与平面所成角的正弦值【解答】（）证明：取中点，连接，则，平面，平面，；（）解：化台为锥，则是等边三角形，连接，则为二面角的平面角，即，为的中点，平面，平面平面过作于点，连接，则平面为直线与平面所成角，【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角、二面角的平面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20已知关于的函数在处有极值，（1）求，的值；（2）设，若存在，使，求实数的取值范围【考点】：利用导数研究函数的极值【专题】15：综合题；38：对应思想；：转化法；53：导数的综合应用【分析】（1）根据导数和函数极值的关系即可求出，（2）先求出的在上的值域，即可得到，即，且，分别构造函数，求出最值即可【解答】解：（1）在处有极值，（1），（1），解得，或，当，时，函数单调递减，无极值，（2）由（1）可知，令，解得或，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，（1）（3），即，且，设，在上恒成立，在上单调递增，（3），再设，在上恒成立，（3）（3），存在，使，【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查存在性问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题21已知，分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上第二象限的一点，满足，且的内心为（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点做两条互相垂直的弦，设，的中点分别为，求证直线必过定点；【考点】：椭圆的标准方程；：直线与椭圆的综合【专题】36：整体思想；49：综合法；：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（1）易得的内切圆的半径为，由，即可得椭圆的方程；（2）设直线的斜率为，表示出方程，设出与坐标，进而表示出坐标，联立直线与椭