2018学年重庆市南开中学高三（上）期中数学试卷（理科）（含解析）

2017-2018学年重庆市南开中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1（5分）若复数，则A6BC4D22（5分）已知集合，那么A，B，CD，3（5分）若递增的等比数列满足，则A6B8C10D124（5分）若，则下列说法正确的是A若，则B若，则C若，则D若，则5（5分）已知向量，且，则A4B2CD66（5分）已知函数，的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位，则得到的新函数图象的解析式为ABCD7（5分）在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢问：几日相逢？A8日B9日C12日D16日8（5分）设，且，则的最小值是ABCD9（5分）如图是2017年上半年某五省情况图，则下列叙述正确的是与去年同期相比，2017年上半年五个省的总量均实现了增长；2017年上半年山东的总量和增速均居第二；2016年同期浙江的总量高于河南；2016和2017年上半年辽宁的总量均位列第五ABCD10（5分）正项数列前项和为，且，成等差数列，为数列的前项和，且，对任意总有，则的最小值为A1B2C3D411（5分）若函数的最大值为，则实数的取值范围是A，B，C，D，12（5分）已知单位向量，满足：，向量，则的最小值为AB1CD二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡上相应位置）13（5分）已知向量夹角为，且，则 14（5分）已知函数是定义在实数集上周期为2的奇函数，当，时，则15（5分）已知三内角，的对边分别为，且，若，成等比数列，则16（5分）为庆祝党的十九大的胜利召开，小南同学用数字1和9构成数列，满足：，在第个1和第个1之间有个，即1，9，1，9，9，9，1，9，9，9，9，9，设数列的前项和为，若，则三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17（12分）设等差数列的前项和为，公差，且，成等比数列（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和18（12分）甲、乙两所学校的代表队参加诗词大赛，在比赛第二阶段，两队各剩最后两个队员上场，甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别是和，乙队两名队员通过第二阶段比赛的概率都是，通过了第二阶段比赛的队员，才能进入第三阶段比赛（若某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛，则该队进入第三阶段比赛的人数为，所有参赛队员比赛互不影响，其过程、结果都是彼此独立的（）求甲、乙两队进入第三阶段比赛的人数相等的概率；（）设表示进入第三阶段比赛甲、乙两队人数差的绝对值，求的分布列和数学期望19（12分）已知向量，设（）若，求的所有取值；（）已知锐角三内角，所对的边分别为，若，求（A）的取值范围20（12分）设椭圆，以短轴为直径的圆面积为，椭圆上的点到左焦点的最小距离是，为坐标原点（）求椭圆和圆的方程；（）如图，为椭圆的左右顶点，分别为圆和椭圆上的点，且轴，若直线，分别交轴于，两点，分别位于轴的左、右两侧）求证：，并求当时直线的方程21（12分）已知函数（）若，求在处的切线方程；（）若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围；（）求证：请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分选修4-4坐标系与参数方程（本小题满分10分）22（10分）在平面直角坐标系中，直线，曲线为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系（1）求，的极坐标方程；（2）若曲线的极坐标方程为，且曲线分别交，于点，两点，求的最大值选修4-5不等式选讲（本小题满分0分23已知函数（）求不等式的解集；（）若不等式解集非空，求实数的取值范围2017-2018学年重庆市南开中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1（5分）若复数，则A6BC4D2【考点】：复数的模【专题】11：计算题；35：转化思想；：数学模型法；：数系的扩充和复数【分析】直接由化简复数，然后由复数求模公式即可得答案【解答】解：复数，则故选：【点评】本题考查了复数求模公式的运用，是基础题2（5分）已知集合，那么A，B，CD，【考点】：交集及其运算【专题】11：计算题；37：集合思想；：定义法；：集合【分析】先求出集合，由此能求出【解答】解：集合，或，故选：【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3（5分）若递增的等比数列满足，则A6B8C10D12【考点】88：等比数列的通项公式【专题】11：计算题；：定义法；54：等差数列与等比数列【分析】根据等比数列的下标和性质化简可得，代入原式配方，再根据数列递增得出答案【解答】解：由已知以及等比数列的性质可得，即，又数列为递增的等比数列，故选：【点评】本题考查等比数列的性质，属于基础题4（5分）若，则下列说法正确的是A若，则B若，则C若，则D若，则【考点】72：不等式比较大小【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；：不等式【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：对于，若，则，正确；对于，不成立，故不正确；对于，不成立，故不正确；对于，不成立，故不正确；故选：【点评】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础5（5分）已知向量，且，则A4B2CD6【考点】：平面向量的坐标运算【专题】38：对应思想；41：向量法；：平面向量及应用【分析】由向量的坐标运算求出，再由向量平行的条件可求出的值，则可求【解答】解：由向量，得，又，故选：【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，考查了向量平行的条件，是基础题6（5分）已知函数，的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位，则得到的新函数图象的解析式为ABCD【考点】：由的部分图象确定其解析式【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质【分析】由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用函数的图象变换规律，得出结论【解答】解：根据函数，的部分图象，可得，再根据五点法作图可得，将的图象向左平移个单位，则得到的新函数图象的解析式为，故选：【点评】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，属于基础题7（5分）在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢问：几日相逢？A8日B9日C12日D16日【考点】85：等差数列的前项和【专题】12：应用题；21：阅读型；34：方程思想；：转化法；54：等差数列与等比数列【分析】通过已知条件转化为两个等差数列的前项和为定值问题，进而计算可得结论【解答】解：由题可知，良马每日行程构成一个首项为103，公差13的等差数列，驽马每日行程构成一个首项为97，公差为的等差数列，则，则数列与数列的前项和为，又数列的前项和为，数列的前项和为，整理得：，即，解得：或（舍，即九日相逢故选：【点评】本题以数学文化为背景，考查等差数列，考查转化思想，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题8（5分）设，且，则的最小值是ABCD【考点】：函数的最值及其几何意义【专题】35：转化思想；：换元法；51：函数的性质及应用【分析】令，可得，化简所求式子为，展开后，运用基本不等式即可得到所求最小值【解答】解：令，则，即有，可得，当且仅当，即，时取得等号，则的最小值是故选：【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用换元法，考查化简整理和变形能力，属于中档题9（5分）如图是2017年上半年某五省情况图，则下列叙述正确的是与去年同期相比，2017年上半年五个省的总量均实现了增长；2017年上半年山东的总量和增速均居第二；2016年同期浙江的总量高于河南；2016和2017年上半年辽宁的总量均位列第五ABCD【考点】：频率分布直方图【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；：概率与统计【分析】由2017年上半年某五省情况图，知2017年上半年山东的总量居第二，增速居第三【解答】解：由2017年上半年某五省情况图，知：在中，与去年同期相比，2017年上半年五个省的总量均实现了增长，故正确；在中，2017年上半年山东的总量居第二，增速居第三，故错误；在中，2016年同期浙江的总量高于河南，故正确；在中，2016和2017年上半年辽宁的总量均位列第五，故正确故选：【点评】本题考查命题真假的判断，考查条形图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题10（5分）正项数列前项和为，且，成等差数列，为数列的前项和，且，对任意总有，则的最小值为A1B2C3D4【考点】：数列的求和【专题】34：方程思想；54：等差数列与等比数列；59：不等式的解法及应用【分析】，成等差数列，可得，时，可得：，根据，可得，利用等差数列的通项公式可得，再利用放缩方法、裂项求和方法即可得出【解答】解：，成等差数列，时，可得：，时，解得数列是等差数列，首项与公差都为1，时，时，对任意总有，则的最小值为2故选：【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、放缩方法、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11（5分）若函数的最大值为，则实数的取值范围是A，B，C，D，【考点】：函数的最值及其几何意义【专题】32：分类讨论；48：分析法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用【分析】讨论时，运用基本不等式可得最大值，求得的函数的导数，讨论显然成立；，求得单调性，可得最大值，可令最大值小于等于，解不等式可得所求范围【解答】解：当时，当且仅当，即取得最大值，当时，导数为，若时，显然成立；若，则可得在递增，递减，可得取得极大值，且为最大值，由题意可得，解得，综上可得，故选：【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式和函数的导数，判断单调性，考查运算能力，属于中档题12（5分）已知单位向量，满足：，向量，则的最小值为AB1CD【考点】：平面向量数量积的性质及其运算【专题】35：转化思想；41：向量法；：平面向量及应用【分析】设单位向量，可得向量的坐标，可得的终点在线段上运动，设，运用向量数量积的定义和直线与圆相切的条件，以及点到直线的距离公式，可得最小值【解答】解：根据题意，设单位向量，向量，；又，设、的夹角为，；可设，则，的终点，在单位圆上，向量，可得的终点在线段上运动，则，由到的距离为，当，且，为单位圆的切线，可得最小值为，故选：【点评】本题考查向量数量积的定义和性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡上相应位置）13（5分）已知向量夹角为，且，则【考点】：平面向量数量积的性质及其运算；：数量积表示两个向量的夹角【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】由已知可得，代入可求【解答】解：，解得故答案为：【点评】本题主要考查了向量的数量积 定义的应用，向量的数量积性质是求解向量的模常用的方法14（5分）已知函数是定义在实数集上周期为2的奇函数，当，时，则1【考点】：函数的周期性【专题】11：计算题；35：转化思想；：转化法；51：函数的性质及应用【分析】利用函数的周期为2，且函数为奇函数，得到，再利用当，时，能求出结果【解答】解：函数是定义在实数集上周期为2的奇函数，当，时，故答案为：1【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算与求解能力，考查函数与方程思想，是基础题15（5分）已知三内角，的对边分别为，且，若，成等比数列，则【考点】：三角函数中的恒等变换应用【专题】34：方程思想；：转化法；58：解三角形【分析】根据条件结合同角的关系式求出的大小，结合正弦定理以及等比数列的性质建立方程关系进行求解即可【解答】解：，则，则，即，则，则，成等比数列，又，则，则，得，则，由正弦定理得，即，故答案为：【点评】本题主要考查三角函数值的求解，利用三角函数的同角的关系式以及正弦定理，等比数列的性质建立方程是解决本题的关键16（5分）为庆祝党的十九大的胜利召开，小南同学用数字1和9构成数列，满足：，在第个1和第个1之间有个，即1，9，1，9，9，9，1，9，9，9，9，9，设数列的前项和为，若，则242【考点】：数列的求和【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列【分析】前对所在全部项的和为，从而，由此推导出从而能求出【解答】解前对所在全部项的和为，故答案为：242【点评】本题考查数列的项数的求法，考查数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17（12分）设等差数列的前项和为，公差，且，成等比数列（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和【考点】：数列的求和；：数列递推式【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列【分析】（）运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项、公差，即可得到所求通项；（），运用数列的求和方法：分组求和，结合等差数列、等比数列的求和公式，可得所求和【解答】解：（）等差数列的前项和为，公差，且，成等比数列，可得，可得，解得，可得；（），数列的前项和【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列的中项性质，以及求和公式，数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于中档题18（12分）甲、乙两所学校的代表队参加诗词大赛，在比赛第二阶段，两队各剩最后两个队员上场，甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别是和，乙队两名队员通过第二阶段比赛的概率都是，通过了第二阶段比赛的队员，才能进入第三阶段比赛（若某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛，则该队进入第三阶段比赛的人数为，所有参赛队员比赛互不影响，其过程、结果都是彼此独立的（）求甲、乙两队进入第三阶段比赛的人数相等的概率；（）设表示进入第三阶段比赛甲、乙两队人数差的绝对值，求的分布列和数学期望【考点】：离散型随机变量的期望与方差【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：概率与统计【分析】（）用，分别表示甲、乙两队通过第二阶段比赛的人数，的可能取值都是0，1，2，分别求出相应的概率，设第三阶段比赛，甲、乙两队人数相等为事件，则（A），由此能求出结果（）根据题意，随机变量的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和【解答】解：（）用，分别表示甲、乙两队通过第二阶段比赛的人数，的可能取值都是0，1，2，则，设第三阶段比赛，甲、乙两队人数相等为事件，则（A），（）根据题意，随机变量的所有可能取值为0，1，2，由（）知（A），的分布列是：012【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19（12分）已知向量，设（）若，求的所有取值；（）已知锐角三内角，所对的边分别为，若，求（A）的取值范围【考点】：三角形中的几何计算【专题】34：方程思想；41：向量法；58：解三角形；：平面向量及应用【分析】（）运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，结合二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式，化简，再由特殊角的正弦函数值，即可得到所求值；（）运用余弦定理和正弦定理、结合两角和差正弦公式，以及锐角三角形的定义可得的范围，运用正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围【解答】解：（）向量，可得，由可得，即有，解得，；（）由余弦定理和，可得，又由正弦定理得，又，得，由，可得或（舍去），故，由于锐角，即，故有，即有，即有，所以（A）的取值范围是，【点评】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考查向量数量积的坐标表示，以及三角函数的恒等变换，考查化简运算能力，属于中档题20（12分）设椭圆，以短轴为直径的圆面积为，椭圆上的点到左焦点的最小距离是，为坐标原点（）求椭圆和圆的方程；（）如图，为椭圆的左右顶点，分别为圆和椭圆上的点，且轴，若直线，分别交轴于，两点，分别位于轴的左、右两侧）求证：，并求当时直线的方程【考点】：椭圆的性质【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（）由椭圆短轴为直径的圆面积为，椭圆上的点到左焦点的最小距离是，为坐标原点，列出方程组，求出，由此能求出椭圆的方程和圆的方程（）设，直线，（斜率存在且不为，联立，得：，由此利用韦达定理、直线方程、直线的斜率能证明，当时，得或者，由此能求出直线的方程【解答】解：（）椭圆，以短轴为直径的圆面积为，椭圆上的点到左焦点的最小距离是，为坐标原点由题意知，解得，椭圆的方程为，圆的方程为：证明：（）设，直线，（斜率存在且不为，联立，得：，即，直线的斜率为，从而的方程为，设，则，故，此时，当时，得或者，解得或，直线的方程为或或【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题21（12分）已知函数（）若，求在处的切线方程；（）若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围；（）求证：【考点】：利用导数研究函数的最值【专题】15：综合题；33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用【分析】（）根据导数的结合意义即可求出切线方程，（）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性和最值的关系，即可求出的范围，（）由（）可得，再令可得：，累加即可证明【解答】解：函数，（）当时，（1）且（1），所以在处的切线方程为，（）由，令，由于（1），故当时，在，恒成立，所以，即在，单调递减，所以（1），故符合题意；当时，（1），所以，使得，即当，时，所以，所以（1），故不符合题意；故所求实数的取值范