2019学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期中数学试卷（含解析）

2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设全集，集合，则集合ABCD2（5分）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是ABCD3（5分）记为等差数列的前项和，若，则等于A10B9C8D74（5分）满足线性约束条件，的目标函数的最大值是A1BC2D35（5分）已知函数，则函数的大致图象为ABCD6（5分）若，是两个相交的平面，则下列命题中，真命题的序号为若直线，则在平面内，一定不存在与直线平行的直线若直线，则在平面内，一定存在无数条直线与直线垂直若直线，则在平面内，不一定存在与直线垂直的直线若直线，则在平面内，一定存在与直线垂直的直线ABCD7（5分）已知，那么ABCD8（5分）已知正项等比数列满足：，若存在两项、，使得，则的最小值为ABCD不存在9（5分）已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上一点，为双曲线渐近线上一点，均位于第一象限，且，则双曲线的离心率为ABCD10（5分）如图，在三棱柱中，底面为边长为2的正三角形，在底面的射影为中点且到底面的距离为，已知，分别是线段与上的动点，记线段中点的轨迹为，则等于（注表示的测度，本题中若分别为曲线、平面图形、空间几何体，分别对应为其长度、面积、体积）A1BCD二、填空题：（本大题共7个小题，单空题每小题4分，共28分）11（4分）中国古代数学著作九章算术中有一个这样的问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱，3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯“，则该人每月比前一月多入贯，第12月营收贯数为12（4分）的最小正周期为，为了得到函数的图象，可以将函数的图象向左最小移动个单位13（4分）已知直线，其中，若，则，若，则14（4分）已知，且，则的最小值，此时的值为15（4分）已知两非零向量满足，则向量夹角的最大值是 16（4分）已知数列为等差数列，其前项和为，且，给出以下结论：最小，正确的有17（4分）设函数，若存在互不相等的4个实数，使得，则的取值范围为三、解答题：（本大题共个2小题，共40分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18（12分）已知函数（1）求函数图象对称中心的坐标；（2）如果的三边，满足，且边所对的角为，求（B）的取值范围19（15分）已知数列的前项和为，且，（1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；（2）是否存在实数，对任意，不等式恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由20（15分）如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，点是线段上靠近点的三等分点（）求证：；（）若是边长为2的等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值21（15分）如图，为坐标原点，点为抛物线的焦点，且抛物线上点处的切线与圆相切于点（）当直线的方程为时，求抛物线的方程；（）当正数变化时，记，分别为，的面积，求的最小值22（15分）已知，函数在点处与轴相切（1）求的值，并求的单调区间；（2）当时，求实数的取值范围2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设全集，集合，则集合ABCD【考点】：交、并、补集的混合运算【专题】29：规律型【分析】先根据补集的定义求出集合的补集，然后和集合进行交集运算，可求【解答】解：因为，所以，所以故选：【点评】本题的考点是集合的补集和交集运算，比较基础2（5分）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是ABCD【考点】：由三视图求面积、体积【专题】11：计算题【分析】由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，根据所提供的数据可求出正方体、锥体的体积，从而得到答案【解答】解：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，如图所示：所以该几何体的体积为故选：【点评】本题考查三视图，考查柱体、锥体的体积计算，解决该类问题的关键是由三视图还原得到原几何体，画三视图的要求为：“长对正，高平齐，宽相等”3（5分）记为等差数列的前项和，若，则等于A10B9C8D7【考点】85：等差数列的前项和【专题】34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【解答】解：设等差数列的公差为，联立解得，则故选：【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4（5分）满足线性约束条件，的目标函数的最大值是A1BC2D3【考点】：简单线性规划【专题】11：计算题；31：数形结合【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线过点时，最大值即可【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线过点时，最大值为2故选：【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题5（5分）已知函数，则函数的大致图象为ABCD【考点】：函数的图象与图象的变换；：利用导数研究函数的单调性【专题】11：计算题；31：数形结合；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用【分析】可得函数为奇函数，排除选项，利用特殊点的位置判断选项即可【解答】解：由题意可得函数的定义域为，函数，可得，故函数为非奇非偶函数，排除：、；当时，排除；综上可得选项符合题意，故选：【点评】本题考查函数的性质，由函数的性质入手是解决问题的关键，属中档题6（5分）若，是两个相交的平面，则下列命题中，真命题的序号为若直线，则在平面内，一定不存在与直线平行的直线若直线，则在平面内，一定存在无数条直线与直线垂直若直线，则在平面内，不一定存在与直线垂直的直线若直线，则在平面内，一定存在与直线垂直的直线ABCD【考点】：空间中直线与平面之间的位置关系；：平面与平面之间的位置关系【专题】11：计算题；35：转化思想；：转化法；：空间位置关系与距离【分析】若直线，则在平面内，一定存在无数条直线与直线垂直；若直线，则在平面内，一定存在与直线垂直的直线【解答】解：由，是两个相交的平面，知：在中，若直线，则在平面内，存在与直线平行的直线，故错误；在中，若直线，则在平面内，一定存在无数条直线与直线垂直，故正确；在中，若直线，则在平面内，一定存在与直线垂直的直线，故错误；在中，若直线，则在平面内，一定存在与直线垂直的直线，故正确故选：【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题7（5分）已知，那么ABCD【考点】：二倍角的三角函数【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值【分析】由题意利用辅助角公式、诱导公式，二倍角公式，求得的值【解答】解：已知，故选：【点评】本题主要考查辅助角公式、诱导公式，二倍角公式的应用，属于基础题8（5分）已知正项等比数列满足：，若存在两项、，使得，则的最小值为ABCD不存在【考点】：基本不等式及其应用；88：等比数列的通项公式【专题】54：等差数列与等比数列【分析】设的公比为，由等比数列的通项公式化简，求出，代入化简得，的关系式，由“1”的代换和基本不等式求出式子的范围，验证等号成立的条件，由、的值求出式子的最小值【解答】解：设正项等比数列的公比为，且，由得：，化简得，解得或（舍去），因为，所以，则，解得，所以，当且仅当时取等号，此时，解得，因为取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则，验证可得，当、时，取最小值为，故选：【点评】本题考查等比数列的通项公式，利用“1”的代换和基本不等式求最值问题，考查化简、计算能力，注意等号的成立的条件，属于易错题9（5分）已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上一点，为双曲线渐近线上一点，均位于第一象限，且，则双曲线的离心率为ABCD【考点】：双曲线的性质【专题】34：方程思想；48：分析法；：平面向量及应用；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设，由向量共线的坐标表示，以及点满足双曲线方程，向量垂直的条件：数量积为0，可得，的关系，再由离心率公式，计算可得所求值【解答】解：设，可得，由在双曲线上，可得，化为，由，可得，即，即，可得，则，由可得，可得（负的舍去），故选：【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线和离心率的求法，考查向量共线和垂直的条件，考查运算化简能力，属于中档题10（5分）如图，在三棱柱中，底面为边长为2的正三角形，在底面的射影为中点且到底面的距离为，已知，分别是线段与上的动点，记线段中点的轨迹为，则等于（注表示的测度，本题中若分别为曲线、平面图形、空间几何体，分别对应为其长度、面积、体积）A1BCD【考点】：轨迹方程【专题】39：运动思想；41：向量法；：空间位置关系与距离【分析】取特殊点得到的轨迹为平行四边形区域，建立空间直角坐标系，再由三角形面积求解【解答】解：当位于，而在上移动时，的轨迹为平行于的两条线段，当位于，而在上移动时，的轨迹为平行与的两条线段其它情况下，的轨迹构成图中平行四边形内部区域以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，则，0，0，0， ，则，则异面直线与所成角的正弦值为故选：【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，利用特殊点得到的轨迹是解答该题的关键，是中档题二、填空题：（本大题共7个小题，单空题每小题4分，共28分）11（4分）中国古代数学著作九章算术中有一个这样的问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱，3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯“，则该人每月比前一月多入5贯，第12月营收贯数为【考点】：数列的应用【专题】33：函数思想；：数学模型法；54：等差数列与等比数列【分析】由题意可知，每个月的收入构成等差数列，由已知列式求得首项与公差，再由等差数列的通项公式求得【解答】解：由题意可知，每个月的收入构成等差数列，设公差为则，解得，该人每月比前一月多入5贯，第12月营收贯数为70故答案为：5；70【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，是基础题12（4分）的最小正周期为，为了得到函数的图象，可以将函数的图象向左最小移动个单位【考点】：余弦函数的图象【专题】35：转化思想；57：三角函数的图象与性质【分析】根据正弦图象性质即可求出最小正周期，结合三角函数平移变换规律即可得到结论【解答】解：函数的最小正周期；将函数的图象向左平移个单位，可得：；，则，时，可得故答案为：；【点评】本题主要考查三角函数性质和平移变换的规律应用，属于基础题13（4分）已知直线，其中，若，则0或，若，则【考点】：直线的一般式方程与直线的平行关系；：直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】11：计算题；34：方程思想；：定义法；：直线与圆【分析】利用直线与直线垂直、直线与直线平行的性质直接求解【解答】解：直线，其中，解得或；当时，解得或故答案为：0或，或2【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直、直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题14（4分）已知，且，则的最小值，此时的值为【考点】：函数的最值及其几何意义【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用【分析】由重要不等式，解不等式可得的最小值和的值【解答】解：由，即有，由，可得，可得，当且仅当即时，取得等号，则的最小值为，故答案为：，【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查不等式的解法和运算能力，属于基础题15（4分）已知两非零向量满足，则向量夹角的最大值是【考点】：数量积表示两个向量的夹角【专题】：平面向量及应用【分析】设向量夹角为，由余弦定理求得，再利用基本不等式求得取得最小值，即可求得的最大值【解答】解：两非零向量满足，设向量夹角为，由于非零向量以及构成一个三角形，设，则由余弦定理可得，解得，当且仅当时，取得最小值为，角取得最大值为，故答案为【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题16（4分）已知数列为等差数列，其前项和为，且，给出以下结论：最小，正确的有【考点】85：等差数列的前项和【专题】11：计算题；38：对应思想；：转化法；54：等差数列与等比数列【分析】先求出，再表示出求和公式，即可判断【解答】解：设等差数列的公差为，化为：，即，给出下列结论：，正确；，可能大于0，也可能小于0，因此不正确；，正确，正确；其中正确结论的个数是故答案为：【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17（4分）设函数，若存在互不相等的4个实数，使得，则的取值范围为【考点】57：函数与方程的综合运用【专题】34：方程思想；48：分析法；51：函数的性质及应用【分析】由题意可得有4个不同实根，讨论时，时，由解方程和运用导数判断单调性和极值、最值，解不等式即可得到所求范围【解答】解：由，可得有4个不同实根，当时，解得或，故当时，有2个不同实根，设，当时，递减；当时，递增则（3），又（1），由，且，解得即的范围是故答案为：【点评】本题考查函数和方程的转化思想，考查分类讨论思想方法，以及导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题三、解答题：（本大题共个2小题，共40分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18（12分）已知函数（1）求函数图象对称中心的坐标；（2）如果的三边，满足，且边所对的角为，求（B）的取值范围【考点】：三角函数中的恒等变换应用；：余弦定理【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图象与性质；58：解三角形【分析】（1）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，由正弦函数的对称中心，解方程可得所求；（2）运用三角形的余弦定理和基本不等式，可得，即有，运用正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围【解答】解：（1），令，解得：，所以函数的图象的对称中心为：（2）由于，所以：，则：所以：，则：，所以：则：（B）的取值范围为：【点评】本题考查三角函数的恒等变换的运用，考查正弦函数的图象和性质，同时考查解三角形的余弦定理和基本不等式的运用19（15分）已知数列的前项和为，且，（1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；（2）是否存在实数，对任意，不等式恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由【考点】：数列递推式【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步证明数列为等比数列（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法和恒成立问题求出实数的取值范围【解答】证明：（1）已知数列的前项和为，且，当时，则：当时，得：，整理得：，所以：，故：（常数），故：数列是以为首项，2为公比的等比数列故：，所以：由于：，所以：（常数）故：数列为等比数列（2）由（1）得：，所以：，假设存在实数，对任意，不等式恒成立，即：，由于：，故当时，所以：，当时，故存在实数，且【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题20（15分）如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，点是线段上靠近点的三等分点（）求证：；（）若是边长为2的等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值【考点】：空间中直线与直线之间的位置关系；：直线与平面所成的角【专题】35：转化思想；49：综合法；：空间位置关系与距离；：空间角【分析】（）作于，连接，可得面由，得，即得面，可证得（）以 为原点建立空间坐标系，利用向量求解【解答】解：（）作于，连接，平面平面，且面面，面（2分），又，又，由，得面，又面，（6分）（）是边长为2的等边三角形，如图建立空间坐标系，设面的法向量为，由，令，得；，设与面所成角为，直线与平面所成角的正弦值（12分）【点评】本题考查了空间线线垂直的判定，向量法求线面角，属于中档题21（15分）如图，为坐标原点，点为抛物线的焦点，且抛物线上点处的切线与圆相切于点（）当直线的方程为时，求抛物线的方程；（）当正数变化时，记，分别为，的面积，求的最小值【考点】：抛物线的标准方程；：直线与圆锥曲线的综合【专题】15：综合题；16：压轴题；：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（）设点，代入直线的方程得一方程，再根据抛物线在处切线斜率为1列一方程，解方程组即可求得值；（）易表示出点处切线方程，据线圆相切得一方程，再与圆联立方程组可表示出坐标，据弦长公式可表示出，利用点到直线的距离公式可表示出点到切线的距离，则可表示，又，所以可表示为关于的