2019学年北京五中高三（上）开学数学试卷（理科）（含解析）

2018-2019学年北京五中高三（上）开学数学试卷（理科）一、选择题（共8小题；共40分)1（5分）已知全集，集合，则ABCD2（5分）已知，则、之间的大小关系是ABCD3（5分）若，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4（5分）若复数是虚数单位，是纯虚数，则复数的模等于A1B2C3D45（5分）阅读如图所示程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为A7B9C10D116（5分）若变量，满足约束条件，且的最小值为7，则的值为A1B2CD不确定7（5分）已知函数，当时，取得最小值，则函数的图象为ABCD8（5分）在直角坐标系中，对于点，定义变换：将点变换为点，使得其中这样变换就将坐标系内的曲线变换为坐标系内的曲线则四个函数，在坐标系内的图象，变换为坐标系内的四条曲线（如图）依次是A，B，C，D，二、填空题（共6小题；共30分）9（5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生10（5分）在极坐标系中，直线与圆的位置关系为11（5分）某班级原有一张周一到周五的值日表，五位班干部每人值一天，现将值日表进行调整，要求原周一和周五的两人都不值这两天，周二至周四的这三人都不值自己原来的日期，则不同的调整方法种数是 （用数字作答）12（5分）是定义在上的偶函数，又当时，则 13（5分）函数的定义域为实数集，对于任意的都有若在区间，上函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是14（5分）若函数对其定义域内的任意，当时总有，则称为紧密函数，例如函数是紧密函数，下列命题：紧密函数必是单调函数；函数在时是紧密函数；函数是紧密函数；若函数为定义域内的紧密函数，则；若函数是紧密函数且在定义域内存在导数，则其导函数在定义域内的值一定不为零其中的真命题是三、解答题（共6小题，共80分）15讨论函数的单调区间16春节期间，受烟花爆竹集中燃放影响，我国多数城市空气中浓度快速上升，特别是在大气扩散条件不利的情况下，空气质量在短时间内会迅速恶化年除夕18时和初一2时，国家环保部门对8个城市空气中浓度监测的数据如表（单位：微克立方米）除夕18时浓度初一2时浓度北京75647天津66400石家庄89375廊坊102399太原46115上海1617南京3544杭州13139（）求这8个城市除夕18时空气中浓度的平均值；（）环保部门发现：除夕18时到初一2时空气中浓度上升不超过100的城市都是“禁止燃放烟花爆竹“的城市，浓度上升超过100的城市都未禁止燃放烟花爆竹从以上8个城市中随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到“禁止燃放烟花爆竹”的城市个数为，求随机变量的分布列和数学期望；（） 记2017年除夕18时和初一2时以上8个城市空气中浓度的方差分别为和，比较和的大小关系（只需写出结果）17如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，是的中点求证：；求二面角的余弦值；在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由18设函数（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若在区间上恒成立，求的最小值19已知椭圆的离心率为，焦距为斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，（）求椭圆的方程；（）若，求的最大值；（）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为若，和点，共线，求20对于自然数数组，如下定义该数组的极差：三个数的最大值与最小值的差如果，的极差，可实施如下操作：若，中最大的数唯一，则把最大数减2，其余两个数各增加1；若，中最大的数有两个，则把最大数各减1，第三个数加2，此为一次操作，操作结果记为，其级差为若，则继续对，实施操作，实施次操作后的结果记为，其极差记为例如：，3，2，3，3，（）若，3，求，和的值；（）已知，的极差为且，若，2，3，时，恒有，求的所有可能取值；（）若，是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项，求证：存在满足2018-2019学年北京五中高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题；共40分)1（5分）已知全集，集合，则ABCD【考点】：交、并、补集的混合运算【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用；：集合【分析】，可得，可得，再利用集合的运算性质可得：【解答】解：，解得，则，故选：【点评】本题考查了函数的性质、不等式的解法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题2（5分）已知，则、之间的大小关系是ABCD【考点】：对数值大小的比较【专题】31：数形结合【分析】由题意判断出，和，在一个坐标系中画出函数、的图象，由图判断、的大小【解答】解：，且，在一个坐标系中画出函数和的图象，由对数函数的图象在第一象限内从左到右底数逐渐增大知，故选：【点评】本题根据对数函数的图象和性质判断两个对数的大小，还利用了底数与图象的之间关系，考查了数形结合思想3（5分）若，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件【专题】35：转化思想；59：不等式的解法及应用；：简易逻辑【分析】，当且仅当时取等号可得， “”【解答】解：，当且仅当时取等号， “” “”是“”的充要条件故选：【点评】本题考查了函数的性质、不等式的性质与解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4（5分）若复数是虚数单位，是纯虚数，则复数的模等于A1B2C3D4【考点】：复数的运算【专题】11：计算题；38：对应思想；：数系的扩充和复数【分析】由已知求得，代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解【解答】解：为纯虚数，则，复数的模等于3故选：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题5（5分）阅读如图所示程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为A7B9C10D11【考点】：程序框图【专题】35：转化思想；49：综合法；：算法和程序框图【分析】由程序框图知算法的功能是求的值，令求出的取值范围，即可得出输出的值【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求的值，解得；跳出循环的值为9，输出故选：【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键6（5分）若变量，满足约束条件，且的最小值为7，则的值为A1B2CD不确定【考点】：简单线性规划【专题】11：计算题；32：分类讨论；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用；：不等式【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，对分类讨论可得最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求得值【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组求得，化目标函数为当时，由图可知，当直线过或时，直线在轴上的截距最小，有最小值若过，则，解得；若过，则，解得不合题意当时，由图可知，当直线过或时，直线在轴上的截距最小，有最小值若过，则，解得，不合题意；若过，则，解得，不合题意的值为2故选：【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法与分类讨论的数学思想方法，是中档题7（5分）已知函数，当时，取得最小值，则函数的图象为ABCD【考点】：函数的图象与图象的变换【专题】15：综合题；31：数形结合；44：数形结合法；51：函数的性质及应用【分析】变形利用基本不等式即可得出，利用函数为函数，关于直线对称，即可得出结论【解答】解：，当且仅当时取等号，的最小值为1，函数为函数，关于直线对称故选：【点评】本题考查了变形利用基本不等式，考查数形结合的数学思想，属于中档题8（5分）在直角坐标系中，对于点，定义变换：将点变换为点，使得其中这样变换就将坐标系内的曲线变换为坐标系内的曲线则四个函数，在坐标系内的图象，变换为坐标系内的四条曲线（如图）依次是A，B，C，D，【考点】57：函数与方程的综合运用【专题】31：数形结合；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】用，表示出，根据反正切函数的单调性得出各自图象的，的范围及大小关系，从而得出答案【解答】解：由可得，对于，显然，对应的图象为；对于，对应的图象为；对于和，当时，即当时，对应的图象为，对应的图象为故选：【点评】本题考查了反正切函数的性质，基本初等函数的性质，属于中档题二、填空题（共6小题；共30分）9（5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取15名学生【考点】：分层抽样方法【专题】：概率与统计【分析】根据三个年级的人数比，做出高二所占的比例，用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例，得到要抽取的高二的人数【解答】解：高一、高二、高三年级的学生人数之比为，高二在总体中所占的比例是，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，要从高二抽取，故答案为：15【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例，这就是在抽样过程中被抽到的概率，本题是一个基础题10（5分）在极坐标系中，直线与圆的位置关系为直线与圆相交且过圆心【考点】：简单曲线的极坐标方程【专题】35：转化思想；：坐标系和参数方程；：转化法；11：计算题【分析】直线化为普通方程为，圆化为普通方程为，圆心，半径，圆心到直线的距离，由此得到直线与圆直交且过圆心【解答】解：直线化为普通方程为，圆化为普通方程为，圆心，半径，圆心到直线的距离，直线与圆相交且过圆心故答案为：直线与圆相交且过圆心【点评】本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题11（5分）某班级原有一张周一到周五的值日表，五位班干部每人值一天，现将值日表进行调整，要求原周一和周五的两人都不值这两天，周二至周四的这三人都不值自己原来的日期，则不同的调整方法种数是24（用数字作答）【考点】：排列、组合及简单计数问题【专题】12：应用题；34：方程思想；：演绎法；：排列组合【分析】由题意，先安排原周一和周五的两人，有种，再安排周二至周四的这三人中，该天没有被值日的人，有种，剩余2人，全排有种，利用乘法原理可得结论【解答】解：由题意，先安排原周一和周五的两人，有种，再安排周二至周四的这三人中，该天没有被值日的人，有种，剩余2人，全排有种，共有种，故答案为24【点评】本题考查排列知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题12（5分）是定义在上的偶函数，又当时，则【考点】：函数奇偶性的性质与判断【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】由，求出函数的周期是6，再结合偶函数的性质，把转化为，代入所给的解析式进行求解【解答】解：，则函数是周期为6的周期函数，是定义在上的偶函数，当时，故答案为：【点评】本题考查了函数周期性和奇偶性的应用，即根据周期函数的性质和奇偶性对应的关系式，将所求的函数值进行转化，转化到已知范围内求解，考查了转化思想13（5分）函数的定义域为实数集，对于任意的都有若在区间，上函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是【考点】52：函数零点的判定定理【专题】31：数形结合；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】求出的周期，问题转化为和在，上有3个不同的交点，画出的图象，结合图象求出的范围即可【解答】解：，是以4为周期的函数，若在区间，上函数恰有三个不同的零点，则和在，上有3个不同的交点，画出函数函数在，上的图象，如图示：，由，结合图象得：，故答案为：【点评】本题考查了函数的零点问题，考查数形结合思想以及转化思想，是一道中档题14（5分）若函数对其定义域内的任意，当时总有，则称为紧密函数，例如函数是紧密函数，下列命题：紧密函数必是单调函数；函数在时是紧密函数；函数是紧密函数；若函数为定义域内的紧密函数，则；若函数是紧密函数且在定义域内存在导数，则其导函数在定义域内的值一定不为零其中的真命题是【考点】：命题的真假判断与应用【专题】23：新定义；51：函数的性质及应用；：简易逻辑；：推理和证明【分析】根据已知可得紧密函数的自变量与函数值是一一映射，单调函数一定是紧密函数，但紧密函数不一定是单调的，由此逐一分析5个结论的真，可得答案【解答】解：函数对其定义域内的任意，当时总有，则称为紧密函数，紧密函数的自变量与函数值是一一映射，单调函数一定是紧密函数，但紧密函数不一定是单调的，故错误；在时是单调递增函数，故一定是紧密函数，故正确；函数不是一一映射，不是紧密函数，故错误；若函数为定义域内的紧密函数，则，故正确；函数是紧密函数且在定义域内存在导数，则其导函数在定义域内的值可以为零，故错误；故答案为：【点评】本题考查的知识点是紧密函数的定义，正确理解紧密函数的概念，是解答的关键三、解答题（共6小题，共80分）15讨论函数的单调区间【考点】：利用导数研究函数的单调性【专题】33：函数思想；49：综合法；52：导数的概念及应用【分析】先求出函数的定义域，然后对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增、导函数小于0时原函数单调递减对分3种情况进行讨论【解答】解：的定义域为，当时，故在单调增加；当时，故在单调减少；当时，令，解得，当时，；，时，故在上单调递减，在，单调递增【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，考查分类讨论思想，是一道中档题16春节期间，受烟花爆竹集中燃放影响，我国多数城市空气中浓度快速上升，特别是在大气扩散条件不利的情况下，空气质量在短时间内会迅速恶化年除夕18时和初一2时，国家环保部门对8个城市空气中浓度监测的数据如表（单位：微克立方米）除夕18时浓度初一2时浓度北京75647天津66400石家庄89375廊坊102399太原46115上海1617南京3544杭州13139（）求这8个城市除夕18时空气中浓度的平均值；（）环保部门发现：除夕18时到初一2时空气中浓度上升不超过100的城市都是“禁止燃放烟花爆竹“的城市，浓度上升超过100的城市都未禁止燃放烟花爆竹从以上8个城市中随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到“禁止燃放烟花爆竹”的城市个数为，求随机变量的分布列和数学期望；（） 记2017年除夕18时和初一2时以上8个城市空气中浓度的方差分别为和，比较和的大小关系（只需写出结果）【考点】：离散型随机变量及其分布列；：离散型随机变量的期望与方差【专题】35：转化思想；：概率与统计【分析】（）利用平均数的计算公式即可得出8个城市除夕18时空气中浓度的平均值以上8个城市中禁止燃放烟花爆竹的有太原，上海，南京，杭州4个城市，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3利用，即可得出分布列，进而得到的数学期望【解答】解：（）8个城市除夕18时空气中浓度的平均值（）以上8个城市中禁止燃放烟花爆竹的有太原，上海，南京，杭州4个城市，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，可得：，的分布列为：0123的数学期望【点评】本题考查了平均数的计算公式、超几何分布列的概率计算公式与数学期望、方差计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，是的中点求证：；求二面角的余弦值；在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由【考点】：直线与平面所成的角；：二面角的平面角及求法【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；：空间位置关系与距离；：空间角【分析】（）推导出，从而平面，由此能证明（）推导出，从而、两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值求出和平面的法向量，利用向量法能示出在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为，且【解答】证明：（），是的中点，（1分）平面平面，（2分）平面平面，平面，平面，（3分）平面，（4分）解：（）平面，是正三角形，、两两垂直建立如图所示空间直角坐标系（5分）则，0，0，0，0，0，设，是平面的一个法向量，则，令，得，（7分）轴与平面垂直，1，是平面的一个法向量（8分），（9分）二面角的余弦值为（10分）假设在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为，0，设，则，（11分）直线与平面所成的角为，由，解得，（13分）在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为，且（14分）【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题18设函数（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若在区间上恒成立，求的最小值【考点】：利用导数研究函数的最值；：利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用【分析】（1）表示出切线方程，求出切点坐标，代入切线方程整理即可；（2）问题转化为在恒成立，令在恒成立，根据函数的单调性求出的最小值即可【解答】解：（1）设切线的斜率为，（1），因为（1），切点为切线方程为，化简得：（2）要使：在区间恒成立，等价于：在恒成立，等价于：在恒成立，因为，当时，不满足题意，当时，令，则或（舍所以时，在上单调递减；时，在上单调递增；当时，当时，满足题意，所以，得到的最小值为【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性以及函数求最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，转化思想，是一道综合题19已知椭圆的离心率为，焦距为斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，（）求椭圆的方程；（）若，求的最大值；（）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为若，和点，共线，求【考点】：椭圆的标准方程；：椭圆的性质；：直线与椭圆的综合【专题】35：转化思想；41：向量法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）根据椭圆的离心率公式即可求得的值，即可求得的值，求得椭圆方程；（）当时，设直线的方程，代入椭圆方程，根据弦长公式即可求得的最大值；（）求得直线的方程，代入椭圆方程，即可根据韦达定理即可求得点坐标，同理求得点坐标，即可求得与，根据向量的共线定理，即可求得直线的斜率【解答】解：（）由题意可知：，则，椭圆的离心率，则，椭圆的标准方程：；（）设直线的方程为：，联立，整理得：，整理得：，当时，取最大值，最大值为；（）设直线的斜率，直线的方程为：，联立，消去整理得：，由代入上式得，整理得：，则，则，同理可得：，由，则，由与共线，则，整理得：，则直线的斜率，的值为1【点评】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，向量的共线定理，考查转化思想，属于中档题20对于自然数数组，如下定义该数组的极差：三个数的最大值与最小值