2017学年重庆市沙坪坝区南开中学高三（上）期中数学试卷（理科）（含解析）

2016-2017学年重庆市沙坪坝区南开中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（共12小题，每小题5分）1（5分）若，则为第四象限角，则的值等于ABCD2（5分）已知全集，则ABCD3（5分）已知向量，且，则ABCD104（5分）的值是A2B4C8D165（5分）下列说法错误的是A设是上的单调增函数，则是的必要不充分条件B若命题，则，C奇函数定义域为，且，那么（8）D命题“若，则”的逆否命题为“若，中至少有一个不为0，则”6（5分）在中，若，则角的取值范围是ABCD7（5分）函数，的图象如图所示，则的值为AB0C1D8（5分）设函数，则使得成立的的取值范围是A，B，CD，9（5分）已知函数在，恰有3个零点，则实数取值范围为A，B，C，D，10（5分）已知的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为ABCD11（5分）设函数，其中，存在使得成立，则实数值是ABCD112（5分）已知函数，关于的方程有四个不等实根，恒成立，则实数的最大值为ABCD二、填空题：（共4小题，每小题5分）13（5分）若，则14（5分）若，则，三者的大小关系为 （用表示）15（5分）在中，若三个内角、满足：，则的形状为 三角形（填锐角、直角或钝角）16（5分）若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，有下列命题：在内单调递增；和之间存在“隔离直线”，且的最小值为；和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是，；和之间存在唯一的“隔离直线” 其中真命题为 （请填所有正确命题的序号）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）已知函数，周期，为函数图象的一条对称轴，（1）求；（2）求的单调递增区间18（12分）如图，在四棱锥中，直线平面，求证：直线平面（）若直线与平面所成的角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值19（12分）已知在中，分别为，的对边，且满足（1）求的大小；（2）求的取值范围20（12分）如图，已知，是椭圆上一点，过原点的斜率分别为，的两条直线与圆均相切，且交椭圆于，两点（1）求证：；（2）求得最大值21（12分）已知函数（1）若函数有两个极值点，求实数的取值范围；（2）对所有的，求的最小值从22-23两小题中选一题作答，若两题都作，则按第一题给分22（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系若曲线的极坐标方程为，直线为参数）过曲线的焦点，且与曲线交于，两点（1）写出曲线及直线直角坐标方程；（2）求23（10分）若关于的不等式的解集为，（1）求实数，的值；（2）若实数，满足，求证：2016-2017学年重庆市沙坪坝区南开中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（共12小题，每小题5分）1（5分）若，则为第四象限角，则的值等于ABCD【考点】：同角三角函数间的基本关系【专题】56：三角函数的求值【分析】利用同角三角函数的基本关系式求出，然后求解即可【解答】解：，则为第四象限角，故选：【点评】本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力2（5分）已知全集，则ABCD【考点】：交集及其运算；：补集及其运算【专题】11：计算题【分析】本题求集合的交集，由题设条件知可先对两个集合进行化简，再进行交补的运算，集合由求指数函数的值域进行化简，集合通过求集合的定义域进行化简【解答】解：由题意，故故选：【点评】本题考查补集的运算，解题的关键是理解掌握集合的交的运算与补的运算，运用指数函数与对数函数的知识对两个集合进行化简，本题是近几年高考中的常见题型，一般出现在选择题第一题的位置考查进行集合运算的能力3（5分）已知向量，且，则ABCD10【考点】91：向量的概念与向量的模；：数量积判断两个平面向量的垂直关系【专题】：平面向量及应用【分析】由题意可得，由此解得的值，可得 的坐标，从而根据向量的模的计算公式求得的值【解答】解：由题意可得，解得再由，可得，故选：【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，求向量的模，属于基础题4（5分）的值是A2B4C8D16【考点】：两角和与差的三角函数【专题】56：三角函数的求值【分析】把所求的式子的中间两项结合，首末两项结合，前两项由，利用两角和的正切函数公式化简后，即可得到与的关系式，利用多项式的乘法法则化简后，将求出的关系式代入即可求出前两项的乘积；后两项中的，同理可得后两项的乘积，把求得的两个积相乘即可得到所求式子的值，【解答】解：，即，同理，故选：【点评】此题考查学生两个运用两角和的正切函数公式化简求值，是一道基础题本题的突破点是由前两项和后两项的角加起来等于，所以把前两项结合后两项结合5（5分）下列说法错误的是A设是上的单调增函数，则是的必要不充分条件B若命题，则，C奇函数定义域为，且，那么（8）D命题“若，则”的逆否命题为“若，中至少有一个不为0，则”【考点】：命题的真假判断与应用【专题】38：对应思想；48：分析法；：简易逻辑【分析】，利用导数恒大于等于0，求出参数的范围；，含有量词的命题的否定，先换量词，再否定结论；，利用抽象函数的周期及性质判定；，且的否定是或【解答】解：对于，是上的单调增函数，则在上恒成立，即 ，是充要条件，故错；对于，含有量词的命题的否定，先换量词，再否定结论，故正确；对于，奇函数定义域为，由周期为2且，（8），故正确；对于，“”的否定是或，故正确故选：【点评】本题考查了简易逻辑中命题的否定及函数的性质，属于中档题6（5分）在中，若，则角的取值范围是ABCD【考点】：正弦定理【专题】11：计算题【分析】利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可求得的范围，进而利用余弦定理表示出的表达式，根据的范围求得的范围，进而求得的范围【解答】解：因为，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知，根据余弦定理所以故选：【点评】本题主要考查了解三角形问题考查了学生分析问题的基本的推理能力7（5分）函数，的图象如图所示，则的值为AB0C1D【考点】：由的部分图象确定其解析式【专题】57：三角函数的图象与性质【分析】利用的部分图象可确定振幅及周期，继而可求得，利用曲线经过，可求得，从而可得函数解析式，继而可求的值【解答】解：由图知，解得，又，故选：【点评】本题考查利用的部分图象确定解析式，的确定是关键，考查识图与运算能力，属于中档题8（5分）设函数，则使得成立的的取值范围是A，B，CD，【考点】：利用导数研究函数的单调性【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论【解答】解：函数为偶函数，且在时，导数为，即有函数在，单调递增，等价为，即，平方得，解得：，所求的取值范围是，故选：【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键9（5分）已知函数在，恰有3个零点，则实数取值范围为A，B，C，D，【考点】53：函数的零点与方程根的关系【专题】11：计算题；35：转化思想；：转化法；51：函数的性质及应用；56：三角函数的求值【分析】令可解得或，从而写出非负根中较小的有0，；从而可得且；从而解得【解答】解：令得，则或，；则或，则或；则非负根中较小的有：0，；则且；故，故选：【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，同时考查了三角函数的求值应用，属于中档题10（5分）已知的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为ABCD【考点】：三角函数的最值【专题】57：三角函数的图象与性质【分析】利用三角恒等变换可得，依题意可知，的最小值为，从而可得答案【解答】解：，周期，又存在实数，对任意实数总有成立，的最小值为，又，的最小值为故选：【点评】本题考查三角函数的最值，着重考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突出正弦函数的周期性的考查，属于中档题11（5分）设函数，其中，存在使得成立，则实数值是ABCD1【考点】：利用导数研究函数的最值【专题】31：数形结合；53：导数的综合应用【分析】把函数看作是动点与动点之间距离的平方，利用导数求出曲线上与直线平行的切线的切点，得到曲线上点到直线距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于，然后由两直线斜率的关系列式求得实数的值【解答】解：函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，动点在函数的图象上，在直线的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由得，解得，曲线上点到直线的距离最小，最小距离，则，根据题意，要使，则，此时恰好为垂足，由，解得故选：【点评】本题考查利用导数求曲线上过某点切线的斜率，考查了数形结合和数学转化思想方法，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题12（5分）已知函数，关于的方程有四个不等实根，恒成立，则实数的最大值为ABCD【考点】：三角函数的恒等变换及化简求值【专题】11：计算题；33：函数思想；56：三角函数的求值【分析】函数是分段函数，通过求导分析得到函数在上为增函数，在上为增函数，在上为减函数，求得函数在上，当时有一个最大值，所以，要使方程有四个实数根，的值一个要在内，一个在，内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解的取值范围【解答】解：，当时，恒成立，所以在，上为增函数；当时，由，得，当时，为增函数，当时，为减函数，所以函数的极大值为，极小值为：，令，由韦达定理得：，此时若，则当，且，此时方程至多有两个实根，若，则当，且，要使方程有四个实数根，则方程应有两个不等根，且一个根在内，一个根在内，再令，因为，则，则只需（1），即，所以，由解得：，由得到：，所以，故选：【点评】本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是分析出方程有四个实数根时的取值情况，此题属于中高档题二、填空题：（共4小题，每小题5分）13（5分）若，则1【考点】67：定积分、微积分基本定理【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用【分析】求出定积分，得到关于 的等式，解出【解答】解：因为，解得；故答案为：1【点评】本题考查了定积分的计算；关键是正确找出原函数，得到关于的方程解之14（5分）若，则，三者的大小关系为（用表示）【考点】：对数值大小的比较【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】根据对数函数和指数函数比较，与0，1的关系，即可得到答案【解答】解：，故答案为：【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，关键是找到和0，1和关系，属于基础题15（5分）在中，若三个内角、满足：，则的形状为钝角三角形（填锐角、直角或钝角）【考点】：三角形的形状判断【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形【分析】根据三角函数相关知识和恒等变换容易得到，结合角的范围从而得到或为钝角【解答】解：，即，可得：或，或为钝角即为钝角三角形故答案为：钝角【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦函数的图象和性质，考查了转化思想，属于基础题16（5分）若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，有下列命题：在内单调递增；和之间存在“隔离直线”，且的最小值为；和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是，；和之间存在唯一的“隔离直线” 其中真命题为（请填所有正确命题的序号）【考点】：命题的真假判断与应用【专题】11：计算题；：探究型；35：转化思想；51：函数的性质及应用【分析】求出的导数，检验在，内的导数符号，即可判断；、设、的隔离直线为，对一切实数成立，即有，又对一切成立，根据不等式的性质，求出，的范围，即可判断；存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为则隔离直线，构造函数，求出函数函数的导数，根据导数求出函数的最值【解答】解：，在，内单调递增，故对；、设、的隔离直线为，则对一切实数成立，即有，又对一切成立，则，即，即有且，同理，故对，错；函数和的图象在处有公共点，因此存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为则隔离直线方程为，即，由，可得当恒成立，则，只有，此时直线方程为：，下面证明，令，当时，当时，当时，则当时，取到极小值，极小值是0，也是最小值所以，则当时恒成立函数和存在唯一的隔离直线，故正确故答案为：【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的求导，利用导数求最值，属于难题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）已知函数，周期，为函数图象的一条对称轴，（1）求；（2）求的单调递增区间【考点】：正弦函数的单调性【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性以及图象的对称性求得的值（2）利用正弦函数的单调性，求得的单调递增区间【解答】解：（1）函数周期，为函数图象的一条对称轴，即，（2），令，求得，可得的调递增区间为，【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性以及图象的对称性，正弦函数的单调性，属于中档题18（12分）如图，在四棱锥中，直线平面，求证：直线平面（）若直线与平面所成的角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值【考点】：直线与平面垂直；：二面角的平面角及求法【专题】31：数形结合；35：转化思想；：空间位置关系与距离；：空间角【分析】（）由平面，可得又，可建立建立如图所示坐标系利用向量垂直与数量积的关系、线面垂直的判定定理即可得出（）由（），平面的一个法向量是，1，设直线与平面所成的角为，可得，解得设平面的一个法向量为，可得【解答】解：（）平面，又，故可建立建立如图所示坐标系由已知，2，1，4，0，4，0，平面（）由（），平面的一个法向量是，1，设直线与平面所成的角为，解得，即，0，设平面的一个法向量为，2，取， 显然二面角的平面角是锐角，二面角的平面角的余弦值为【点评】本题考查了空间线面位置关系、法向量的应用、向量垂直与数量积的关系、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（12分）已知在中，分别为，的对边，且满足（1）求的大小；（2）求的取值范围【考点】：正弦定理；：余弦定理【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形【分析】（1）根据正弦定理及同角三角函数间的基本关系化简已知的等式，由不为0，在等式两边都除以后，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，再由不为0，两边都除以，得到的值，然后由的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角的度数（2）由余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简所求可得，结合的范围，利用正弦函数的图象和性质即可得解【解答】解：由，及正弦定理得：，化简得：，由，得到：，由，得到，（2），【点评】此题考查学生灵活运用正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用诱导公式及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题20（12分）如图，已知，是椭圆上一点，过原点的斜率分别为，的两条直线与圆均相切，且交椭圆于，两点（1）求证：；（2）求得最大值【考点】：直线与椭圆的综合【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）推导出，是方程的两根，由此能利用韦达定理能求出为定值；（2）设，联立，由此利用椭圆性质，结合已知条件运用基本不等式能求出的最大值【解答】（1）证明：由圆与直线相切，可得，即，同理，即有，是方程的两根，可得（2）解：设，联立，解得，同理，当且仅当时，取等号，可得的最大值为【点评】本题考查两直线的斜率之积是否为定值的判断与求法，考查两线段的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、圆的性质的合理运用21（12分）已知函数（1）若函数有两个极值点，求实数的取值范围；（2）对所有的，求的最小值【考点】：利用导数研究函数的极值【专题】33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用【分析】（1）求出函数的导数，得到关于的不等式组，解出即可；（2）求出的单调区间，得到，以及，代入的表达式即可【解答】解：（1），由题意得在且有2个不同实根，且解得：；（2）由于，由（1）可得在，各有1个零点，设为，且函数在递增，在，递减，在递减，在，递增，的两个根是，代入得：，当时取最小值【点评】本题考查了函数的单