高考数学一轮总复习 第十章 第1节 分类加法计数原理与分步乘法课件.ppt

第十章计数原理 概率 随机变量及其分布 第1节分类加法计数原理与分步乘法 1 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理 2 能正确区分 类 和 步 并能利用两个原理解决一些简单的实际问题 要点梳理 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 质疑探究 计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理 提示 如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事 用分类加法计数原理 如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分 用分步乘法计数原理 基础自测 1 从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会 则不同的选法种数为 a 6b 5c 3d 2 解析 完成这件事 即选出1人当主持人 可分选女主持人和男主持人两类进行 分别有3种选法和2种选法 所以共有3 2 5种不同的选法 故选b 答案 b 2 4封不同的信投入3个不同的信箱中 所有投法的种数是 a 7b 12c 34d 43 解析 根据分步乘法计数原理4封不同的信投入3个不同的信箱共有3 3 3 3 34 种 投法 故选c 答案 c 3 在所有的两位数中 个位数字大于十位数字的两位数共有 a 50个b 45个c 36个d 35个 解析 根据题意 十位数上的数字分别是1 2 3 4 5 6 7 8的情况分成8类 在每一类中满足题目要求的两位数分别有8个 7个 6个 5个 4个 3个 2个 1个 由分类加法计数原理知 符合题意的两位数共有8 7 6 5 4 3 2 1 36 个 答案 c 4 从班委会5名成员中选出3名 分别担任班级学习委员 文娱委员与体育委员 其中甲 乙二人不能担任文娱委员 则不同的选法共有 种 用数字作答 解析 第一步 先选出文娱委员 因为甲 乙不能担任 所以从剩下的3人中选1人当文娱委员 有3种选法 第二步 从剩下的4人中选学习委员和体育委员 又可分两步进行 先选学习委员有4种选法 再选体育委员有3种选法 由分步乘法计数原理可得 不同的选法共有3 4 3 36种 答案 36 5 如图所示 在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中 与正八边形有公共边的三角形有 个 解析 把与正八边形有公共边的三角形分为两类 第一类 有一条公共边的三角形共有8 4 32 个 第二类 有两条公共边的三角形共有8 个 由分类加法计数原理知 共有32 8 40 个 答案 40 典例透析 考向一分类加法计数原理例1 1 2015 临沂模拟 a与b是i 1 2 3 4 的子集 若a b 1 2 则称 a b 为一个理想配集 若将 a b 与 b a 看成不同的 理想配集 则符合此条件的 理想配集 的个数是 a 4b 8c 9d 16 2 以m的值为标准分类 分为五类 第一类 m 1时 使n m n有6种选择 第二类 m 2时 使n m n有5种选择 第三类 m 3时 使n m n有4种选择 第四类 m 4时 使n m n有3种选择 第五类 m 5时 使n m n有2种选择 由分类加法计数原理 符合条件的椭圆共有20个 答案 20 解析 因为方程表示焦点在x轴上的椭圆 则m n 0 以m的取值进行分类 1 当m 1时 n值不存在 2 当m 2时 n可取1 只有1种选择 3 当m 3时 n可取1 2 有2种选择 4 当m 4时 n可取1 2 3 有3种选择 5 当m 5时 n可取1 2 3 4 有4种选择 由分类加法计数原理可知 符合条件的椭圆共有10个 答案 10 拓展提高 1 运用分类加法计数原理解决问题就是将一个比较复杂的问题分解为若干个 类别 先分类解决 然后将其整合 如何合理进行分类是解决问题的关键 2 要准确把握分类加法计数原理的两个特点 根据问题的特点确定一个适合的分类标准 完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类 提醒 对于分类问题所含类型较多时也可以考虑使用间接法 考向二分步乘法计数原理例2已知集合m 3 2 1 0 1 2 p a b a b m 表示平面上的点 则 1 p可表示平面上 个不同的点 2 p可表示平面上 个第二象限的点 解析 1 确定平面上的点p a b 可分两步完成 第一步确定a的值 共有6种确定方法 第二步确定b的值 也有6种确定方法 根据分步乘法计数原理 得到平面上的点的个数是6 6 36 2 确定第二象限的点 可分两步完成 第一步确定a 由于a 0 所以有3种确定方法 第二步确定b 由于b 0 所以有2种确定方法 由分步乘法计数原理 得到第二象限的点的个数是3 2 6 答案 1 36 2 6 拓展提高利用分步乘法计数原理解决问题时要注意 1 要按事件发生的过程合理分步 即考虑分步的先后顺序 2 各步中的方法互相依存 缺一不可 只有各步骤都完成才算完成这个事件 3 对完成各步的方法数要准确确定 活学活用2 1 设集合a 1 0 1 集合b 0 1 2 3 定义a b x y x a b y a b 则a b中元素的个数是 a 7b 10c 25d 52 2 用数字2 3组成四位数 且数字2 3至少都出现一次 这样的四位数共有 个 用数字作答 解析 1 由题意知本题是一个分步乘法计数原理 因为集合a 1 0 1 集合b 0 1 2 3 所以a b 0 1 a b 1 0 1 2 3 所以x有2种取法 y有5种取法 所以根据分步乘法计数原理得2 5 10 故选b 2 法一 用2 3组成四位数共有2 2 2 2 16 个 其中不出现2或不出现3的共2个 因此满足条件的四位数共有16 2 14 个 答案 1 b 2 14 考向三两个原理的综合应用例3 1 2015 福州模拟 某校学生会由高一年级5人 高二年级6人 高三年级4人组成 若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动 有 种不同的选法 2 2015 许昌模拟 从1 2 3 4 7 9六个数中 任取两个数作对数的底数和真数 则所有不同的对数的值的个数为 3 2015 银川模拟 从黄瓜 白菜 油菜 扁豆4种蔬菜品种中选取3种 分别种在不同土质的三块土地上 其中黄瓜必须种植 则不同的种植方法是 解析 1 分三类 高一 高二各一人 共有5 6 30种选法 高一 高三各一人 共有5 4 20种选法 高二 高三各一人 共有6 4 24种选法 由分类加法计数原理 共有30 20 24 74种选法 2 当取1时 1只能为真数 此时对数的值为0 不取1时 分两步 第一步 取底数 5种 第二步 取真数 4种 其中log43 log49 log32 log94 log24 log39 log42 log93 所以不同的对数的值的个数为1 5 4 4 17 3 若黄瓜种在第一块土地上 则有3 2 1 6种不同种植方法 同理 黄瓜种在第二块 第三块土地上 均有3 2 1 6种 故不同的种植方法共有6 6 6 18 种 答案 1 74 2 17 3 18 拓展提高用两个计数原理解决计数问题时 关键是明确需要分类还是分步 1 分类要做到 不重不漏 分类后再分别对每一类进行计数 最后用分类加法计数原理求和 得到总数 2 分步要做到 步骤完整 只有完成了所有步骤 才完成任务 根据分步乘法计数原理 把完成每一步的方法数相乘 得到总数 3 对于复杂问题 可同时运用两个计数原理或借助列表 画图的方法来帮助分析 创新探究应用两个计数原理求解涂色问题典例如图所示 将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色 并使同一条棱上的两端异色 如果只有5种颜色可供使用 则不同的染色方法总数为 审题视角染色问题是常见的计数应用问题 可从选颜色 选顶点进行分类 分步 从不同角度解决问题 解析 法一可分为两大步进行 先将四棱锥一侧面三顶点染色 然后再分类考虑另外两顶点的染色数 用分步乘法计数原理即可得出结论 由题设 四棱锥s abcd的顶点s a b所染的颜色互不相同 它们共有5 4 3 60 种 染色方法 当s a b染好时 不妨设其颜色分别为1 2 3 若c染2 则d可染3或4或5 有3种染法 若c染4 则d可染3或5 有2种染法 若c染5 则d可染3或4 有2种染法 可见 当s a b已染好时 c d还有7种染法 故不同的染色方法有60 7 420 种 法二以s a b c d顺序分步染色 第一步 s点染色 有5种方法 第二步 a点染色 与s在同一条棱上 有4种方法 第三步 b点染色 与s a分别在同一条棱上 有3种方法 第四步 c点染色 也有3种方法 但考虑到d点与s a c相邻 需要针对a与c是否同色进行分类 当a与c同色时 d点有3种染色方法 当a与c不同色时 因为c与s b也不同色 所以c点有2种染色方法 d点也有2种染色方法 由分步乘法 分类加法计数原理得不同的染色方法共有5 4 3 1 3 2 2 420 种 方法点睛两个计数原理综合应用的常见题型与求解策略 跟踪训练 用红 黄 蓝 白 黑五种颜色涂在 田 字形的4个小方格内 每格涂一种颜色 相邻两格涂不同的颜色 如果颜色可以反复使用 共有 种不同的涂色方法 解析 如图所示 将4个小方格依次编号为1 2 3 4 第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上 有5种不同的涂法 当第2个 第3个小方格涂不同颜色时 有a 12 种 不同的涂法 第4个小方格有3种不同的涂法 由分步乘法计数原理可知 有5 12 3 180 种 不同的涂法 当第2个 第3个小方格涂相同颜色时 有4种涂法 由于相邻方格不同色 因此 第4个小方格也有4种不同的涂法 由分步乘法计数原理可知 有5 4 4 80 种 不同的涂法 由分类加法计数原理可得 共有180 80 260 种 不同的涂法 答案 260 思维升华 方法与技巧 1 分类加法和分步乘法计数原理 都是关于做一件事的不同方法的种数的问题 区别在于 分类加法计数原理针对 分类 问题 其中各种方法相互独立 用其中任何一种方法都可以做完这件事 分步乘