2017学年贵州省黔东南州贵阳一中、凯里一中高三（上）适应性数学试卷（理科）（1）（含解析）

2016-2017学年贵州省黔东南州贵阳一中、凯里一中高三（上）适应性数学试卷（理科）（1）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）集合，则ABCD2（5分）若，则ABCD3（5分）已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则等于ABC9D104（5分）若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆的焦点和顶点，则双曲线的方程为ABCD5（5分）一个底面为正方形的棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为ABCD6（5分）某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内可填入的是A？B？C？D？7（5分）从5，6，7，8，9中任取两个不同的数，事件 “取到的两个数之和为偶数”，事件 “取到的两个数均为偶数”，则ABCD8（5分）已知，且，则ABCD9（5分）用数字5和3可以组成个四位数A22B16C18D2010（5分）若点（其中，为平面区域内的一个动点，点坐标为，为坐标原点，则的最小值为A13B17C16D1911（5分）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，则ABCD12（5分）定义在上的函数满足，若，则不等式为自然对数的底数）的解集为ABC，D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）13（5分）的二项展开式中，的系数与的二项式系数之和等于 14（5分）已知向量，满足，则 15（5分）数列满足，则数列的通项公式为 16（5分）“求方程的解”，有如下解题思路：设，则在上单调递减，且（2），所以原方程有唯一解，类比上述解题思路，不等式的解集是 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）在中，分别为内角，的对边，已知，（1）求；（2）求边长18（12分）新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据（其中（万元）表示购车价格，（元表示商业车险保费），设由这8组数据得到的回归直线方程为，李先生2016年1月购买一辆价值20万元的新车（1）试估计李先生买车时应缴纳的保费；（2）从2016年1月1日起，该地区纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如表：上一年的出险次数01234下一年的保费倍率0.8511.251.51.752连续两年没有出险打7折，连续三年没有出险打6折有评估机构从以往购买了车险的车辆中随机抽取1000辆调查，得到一年中出险次数的频数公布如表（并用相应频率估计车辆在2016年度出险次数的概率）一年中的出险次数01234频数5003801001541根据以上信息，试估计该车辆在2017年1月续保时应缴纳的保费（精确到元），并分析车险新政是否总体上减轻了车主负担，（假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保）19（12分）如图所示，四棱锥，为边长为2的正三角形，垂直于平面于，为的中点，求：（1）异面直线与所成角的余弦值；（2）平面与平面所成二面角的余弦值20（12分）如图，已知椭圆，点，是椭圆上的一点，且椭圆的离心率为，直线与椭圆交于点，且，是椭圆上异于，的任意两点，直线，相交于点，直线，相交于点（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线的斜率为定值21（12分）已知函数（1）若的最小值为0，求的值；（2）当的最小值为0时，若对，有恒成立，求实数的最小值；（3）当（2）成立时，证明：请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图所示，为圆外一点，与圆交于，两点，为圆的切线，为切点，的角平分线与和圆分别交于，两点（1）求证：；（2）求的值选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系中，圆，圆（1）以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，求圆和圆的极坐标方程，并求出这两圆的交点，的极坐标；（2）求这两圆的公共弦的参数方程选修4-5：不等式选讲24（1）证明柯西不等式：若，都是实数，则，并指出此不等式里等号成立的条件：（2）用柯西不等式求函数的最大值2016-2017学年贵州省黔东南州贵阳一中、凯里一中高三（上）适应性数学试卷（理科）（1）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）集合，则ABCD【考点】：交集及其运算【专题】11：计算题；37：集合思想；：定义法；：集合【分析】先分别求出集合和，由此能求出【解答】解：集合，故选：【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用2（5分）若，则ABCD【考点】：复数的运算【专题】11：计算题；35：转化思想；：数学模型法；：数系的扩充和复数【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由得答案【解答】解：，故选：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题3（5分）已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则等于ABC9D10【考点】85：等差数列的前项和【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【解答】解：，解得则故选：【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4（5分）若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆的焦点和顶点，则双曲线的方程为ABCD【考点】：椭圆的性质【专题】35：转化思想；：转化法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由椭圆的标准方程为：焦点在轴上，则，焦点，顶点，由题意可知：设双曲线的标准方程为：，焦距，则，即可求得双曲线的标准方程【解答】解：由椭圆的焦点在轴上，则，则椭圆的焦点，顶点，由双曲线的顶点和焦点分别为椭圆的焦点和顶点，则设双曲线的标准方程为：，焦距，则，双曲线的方程，故选：【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线及椭圆的简单几何性质，考查转化思想，属于基础题5（5分）一个底面为正方形的棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为ABCD【考点】：由三视图求面积、体积；：球内接多面体【专题】15：综合题；31：数形结合；44：数形结合法；：立体几何【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，底面是一个正方形，其中一个侧棱为棱锥的高，求出球的直径，即可得出结论【解答】解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形，斜边长为直径，外接球的表面积为，故选：【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积6（5分）某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内可填入的是A？B？C？D？【考点】：程序框图【专题】11：计算题；27：图表型；：试验法；：算法和程序框图【分析】根据框图的流程知，算法的功能是利用循环结束并输出的值，由输出的是67，得退出循环体的值为7，由此得判断框的条件【解答】解：模拟程序的运行，可得，执行循环体，不满足条件，执行循环体，不满足条件，执行循环体，由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出的值为67则判断框内可填入的是？故选：【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能，确定退出循环的值是关键，属于基础题7（5分）从5，6，7，8，9中任取两个不同的数，事件 “取到的两个数之和为偶数”，事件 “取到的两个数均为偶数”，则ABCD【考点】：条件概率与独立事件【专题】15：综合题；34：方程思想；：演绎法；：概率与统计【分析】用列举法求出事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为偶数”所包含的基本事件的个数，求（A），根据条件概率公式，即可得到结论【解答】解：从5，6，7，8，9中任取两个不同的数有10个事件 “取到的两个数之和为偶数”所包含的基本事件有：、，共4个，故（A），事件 “取到的两个数均为偶数”所包含的基本事件有共1个，故，故选：【点评】本题考查条件概率的计算公式，同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练程度属于基础题8（5分）已知，且，则ABCD【考点】：二倍角的三角函数【专题】11：计算题；35：转化思想；：转化法；56：三角函数的求值【分析】首先将所给式子平方求出，进而结合的范围得出，然后求出，再利用二倍角的余弦公式求出结果【解答】解：，且，（4分），（6分）又，从而有：，（9分）（12分）故选：【点评】本题考查了二倍角的余弦，解题过程中要注意根据角的范围判断角的符号，属于中档题9（5分）用数字5和3可以组成个四位数A22B16C18D20【考点】：排列、组合及简单计数问题【专题】12：应用题；32：分类讨论；：演绎法；：排列组合【分析】分类讨论，即可得出结论【解答】解：4个3，有1个四位数；3个3与1个5，有4个四位数；2个3与2个5，有6个四位数；1个3与3个5，有4个四位数；4个5，有1个四位数；共16个故选：【点评】本题考查利用计数原理解决问题，考查分类讨论的数学思想，比较基础10（5分）若点（其中，为平面区域内的一个动点，点坐标为，为坐标原点，则的最小值为A13B17C16D19【考点】：简单线性规划【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；：不等式【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的及其内部根据题意，将目标函数对应的直线进行平移，由此可得本题的答案【解答】解：点坐标为，点坐标为，作出不等式组表示的平面区域，得到如图的区域，其中，可得，将直线进行平移，可得当经过点时，目标函数达到最小值，故选：【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的取值范围，着重考查了向量的数量积、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题11（5分）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，则ABCD【考点】：直线与抛物线的综合【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】确定抛物线的焦点的坐标，直线与交于，两点，可求出点，的坐标，进而求出向量的坐标，利用求向量夹角余弦值的方法，即可得到答案【解答】解：抛物线的焦点为，点的坐标为直线代入抛物线方程，可得，或，两点坐标分别为，则，故选：【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，构造向量然后利用向量法处理是解答本题的重要技巧12（5分）定义在上的函数满足，若，则不等式为自然对数的底数）的解集为ABC，D【考点】：利用导数研究函数的单调性【专题】15：综合题；35：转化思想；：构造法；52：导数的概念及应用【分析】构造函数，研究的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设，则，在定义域上单调递增，又，不等式的解集为故选：【点评】本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）13（5分）的二项展开式中，的系数与的二项式系数之和等于28【考点】：二项式定理【专题】11：计算题；35：转化思想；：数学模型法；：二项式定理【分析】写出二项式的通项，求出的系数，再求出的二项式系数，作和得答案【解答】解：二项式的展开式的通项，取，得的系数为，的二项式系数为，的系数与的二项式系数之和等于故答案为：28【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是熟记二项展开式的通项并区分项的系数与二项式系数，是基础题14（5分）已知向量，满足，则【考点】：平面向量数量积的性质及其运算【专题】11：计算题；34：方程思想；41：向量法；：平面向量及应用【分析】由题意把两边平方，转化为关于的一元二次方程求解【解答】解：由，且，得，即，即，解得（舍，或故答案为：【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查一元二次方程的解法，是中档题15（5分）数列满足，则数列的通项公式为【考点】：数列递推式【专题】11：计算题【分析】两边同加1，可得，从而是以为首项，为公比的等比数列，故可求【解答】解：由题意，可得是以为首项，为公比的等比数列故故答案为：【点评】本题以数列递推式为载体，考查等比数列，关键是运用整体思想，把看成数列的通项，进行求解，也可以看成是等价转化成等比数列的一种解题方法16（5分）“求方程的解”，有如下解题思路：设，则在上单调递减，且（2），所以原方程有唯一解，类比上述解题思路，不等式的解集是，【考点】：类比推理【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；：简易逻辑【分析】根据题意，把不等式变形为，利用函数的单调性把该不等式转化为一元二次不等式，从而求出解集【解答】解：不等式变形为，；令，则；考察函数，知在上为增函数，；不等式可化为，解得或；不等式的解集为：，故答案为：，【点评】本题考查了合情推理的应用问题，解题时应把复杂的高次不等式转化为一元二次不等式，构造函数并利用函数的单调性进行转化是关键，是中档题三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）在中，分别为内角，的对边，已知，（1）求；（2）求边长【考点】：正弦定理；：余弦定理【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形【分析】（1）由已知利用二倍角的正弦函数公式，正弦定理可求的值，利用同角三角函数基本关系式可求的值（2）根据已知及余弦定理可得，即可解得的值【解答】（本小题满分12分）解：（1）在中，根据正弦定理，有，（2分），（4分）（6分）（2）在中，根据余弦定理，即，（8分）（10分）当时，且，与矛盾，（11分）（12分）【点评】本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18（12分）新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据（其中（万元）表示购车价格，（元表示商业车险保费），设由这8组数据得到的回归直线方程为，李先生2016年1月购买一辆价值20万元的新车（1）试估计李先生买车时应缴纳的保费；（2）从2016年1月1日起，该地区纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如表：上一年的出险次数01234下一年的保费倍率0.8511.251.51.752连续两年没有出险打7折，连续三年没有出险打6折有评估机构从以往购买了车险的车辆中随机抽取1000辆调查，得到一年中出险次数的频数公布如表（并用相应频率估计车辆在2016年度出险次数的概率）一年中的出险次数01234频数5003801001541根据以上信息，试估计该车辆在2017年1月续保时应缴纳的保费（精确到元），并分析车险新政是否总体上减轻了车主负担，（假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保）【考点】：离散型随机变量及其分布列；：离散型随机变量的期望与方差【专题】15：综合题；34：方程思想；49：综合法；：概率与统计【分析】（1）求出样本平均数，代入直线方程，即可求出线性回归方程；（2）求出2017年保费的期望倍率，即可估计2017年1月应缴纳保费【解答】解：（1）万元，元，（2分）直线经过样本中心，解得，（4分）则回归直线方程为，（5分）李先生购买20万元车时应缴纳保费元（6分）（2）设该车辆2017年的保费倍率为，则的可能取值为0.85，1，1.25，1.75，2且的分布列为0.8511.251.51.7520.50.380.10.0150.0040.001（9分）2017年保费的期望倍率为（10分）该车辆估计2017年1月应缴纳保费为【点评】本题考查线性回归方程，考查期望的计算，考查学生分析解决问题的了，属于中档题19（12分）如图所示，四棱锥，为边长为2的正三角形，垂直于平面于，为的中点，求：（1）异面直线与所成角的余弦值；（2）平面与平面所成二面角的余弦值【考点】：异面直线及其所成的角；：二面角的平面角及求法【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；：空间角【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值（2）求出平面法向量和平面法向量，利用向量法能求出平面与平面所成二面角的余弦值【解答】（本小题满分12分）解：（1）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，因为，所以，0，1，（2分），（3分），（5分）异面直线与所成角的余弦值为（6分）（2）设平面法向量为，可得令，则，（8分）又，设平面法向量为，可得令，则，（10分）平面与平面所成二面角的余弦值为（12分）【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值和二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用20（12分）如图，已知椭圆，点，是椭圆上的一点，且椭圆的离心率为，直线与椭圆交于点，且，是椭圆上异于，的任意两点，直线，相交于点，直线，相交于点（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线的斜率为定值【考点】：椭圆的标准方程；：直线与椭圆的综合【专题】32：分类讨论；：分类法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）根据椭圆的几何性质，利用离心率以及的长，求出、的值；（2）结合椭圆的方程，求出、的坐标，讨论：，斜率都存在时，利用斜率的关系，写出直线方程，与椭圆方程联立，求出、的坐标，计算的值；，中，有直线的斜率不存在时，求出、的坐标，计算的值；从而得出正确的结论【解答】解：（1）解：如图2，（1分） （2分）又，该椭圆的方程为（4分）（2）证明：由已知，为，为当，斜率都存在时，设，的斜率分别为，点坐标为，显然；，（6分），同理，（7分）则直线的方程为，直线的方程为，由解得，点的坐标为（8分）用代，用代，得到点坐标为，（9分）（10分）当，中，有直线的斜率不存在时，根据题目要求，至多只有一条直线斜率不存在，不妨设直线的斜率不存在，此时点为，设直线斜率仍为，由知，直线方程为，直线方程为，联立得交点直线方程为，直线方程为，联立得交点，综上所述，直线的斜率为定值（12分）【点评】本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆的综合应用问题，考查了分类讨论思想的应用问题，属于难题21（12分）已知函数（1）若的最小值为0，求的值；（2）当的最小值为0时，若对，有恒成立，求实数的最小值；（3）当（2）成立时，证明：【考点】：利用导数研究函数的最值【专题】14：证明题；35：转化思想；：转化法；53：导数的综合应用【分析】（1）利用导数法，可得当时，取最小值，解得求的值；（2）由（1）可得，分类讨论求出使，有恒成立的的范围，进而可得实数的最小值；（3）当（2）成立时，利用放缩法和裂项相消法，可证得：【解答】（本小题满分12分）（1）解：的定义域为，（1分）由，得当变化时，的变化情况如下表：0极小值（2分）当时，取最小值，（3分）（2）解：由（）得，由题意，对于恒成立当时，取，（1），不符合题意当时，令，令，得或（5分）当时，在上恒成立，在，上单调递减，当，时，在，上恒成立符合题意（6分）当时，当时，在上单调递增取，即，不满足题意（7分）综上，（8分）（）证明：由（）知，当时，在，上恒成立，即，（10分）（12分）【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的最值，放缩法证明不等式，裂项相消法求和，综合性可，计算量大，转化困难，属于难题请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图所示，为圆外一点，与圆交于，两点，为圆的切线，为切点，的角平分线与和圆分别交于，两点（1）求证：；（2）求的值【考点】：与圆有关的比例线段【专题】17：选作题；35：转化思想；：演绎法；：推理和证明【分析】（1）由