2017学年甘肃省西北师大附中高三（上）开学数学试卷（理科）（含解析）

2016-2017学年甘肃省西北师大附中高三（上）开学数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）已知集合，则AB，C，D2（5分）设，则二项式展开式中含项的系数是AB192CD63（5分）已知，为虚数单位，且，则的值为A4BCD4（5分）已知、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的一点，若，且的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是A2B3C4D55（5分）公差不为0的等差数列中，数列是等比数列，且，则A4B8C16D366（5分）阅读如图所示的程序框图，输出的结果的值为A0BCD7（5分）某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为ABCD8（5分）把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为ABCD9（5分）已知直线（其中，与圆交于，是坐标原点，则ABCD210（5分）已知函数，且，则A0BC100D1020011（5分）已知四面体的外接球的球心在上，且平面，若四面体的体积为，则该球的体积为ABCD12（5分）函数的最大值是ABCD1二、填空题13（5分）观察下列等式：，由以上等式推测到一个一般的结论：对于， 14（5分）若，满足约束条件，则目标函数的最大值是 15（5分）某一排共12个座位，现甲、乙、丙三人按如下要求入座，每人左右两旁都有空座位，且三人的顺序是甲必须在另两人之间，则不同的座法共有 16（5分）设集合，函数，且，则的取值范围是三、解答题17（10分）已知在中，所对的边分别为，若且（）求角、的大小；（）函数，求函数单调递增区间，指出它相邻两对称轴间的距离18（12分）盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：（1）取到的2只都是次品；（2）取到的2只中正品、次品各一只；（3）取到的2只中至少有一只正品19（12分）如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，为中点（）证明：平面；（）求二面角的余弦值20（12分）已知各项均不相等的等差数列的前四项和，且，成等比数列（）求数列的通项公式；（）设为数列的前项和，若对恒成立，求实数的最小值21（12分）已知，为上动点，过作轴于，为上一点，且（）求点的轨迹的方程；（）若，过的直线与曲线相交于、两点，则是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由22（12分）设函数（）当时，求函数的极值；（）当时，讨论函数的单调性；（）若对任意及任意，恒有成立，求实数的取值范围2016-2017学年甘肃省西北师大附中高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）已知集合，则AB，C，D【考点】：交集及其运算【专题】11：计算题【分析】由题意求出集合与集合，然后求出【解答】解：集合，对于，解得，则，故选：【点评】本题考查集合的基本运算，函数的值域与函数的定义域的求法，考查集合的交集的求法2（5分）设，则二项式展开式中含项的系数是AB192CD6【考点】67：定积分、微积分基本定理；：二项式定理【专题】11：计算题；15：综合题【分析】先由题中条件：“，”求得值，再利用二项式定理的通项公式结合待定系数法即可求得含项的系数【解答】解：二项式的通项公式为，令，得，故展开式中含项的系数是故选：【点评】本小题设计巧妙，综合考查定积分和二项式定理，是一道以小见大的中档题，不可小视3（5分）已知，为虚数单位，且，则的值为A4BCD【考点】：复数的运算【分析】利用复数相等，求出、的值，然后化简求值即可【解答】解：由，有故选：【点评】本题考查复数相等，复数代数形式的混合运算，是基础题4（5分）已知、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的一点，若，且的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是A2B3C4D5【考点】83：等差数列的性质；：双曲线的性质【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】本题考查的是双曲线的简单性质，要求出双曲线的离心率，关键是要根据已知构造一个关于离心率，或是关于实半轴长与焦距的方程，解方程即可求出离心率，注意到已知条件中，且的三边长成等差数列，结合双曲线的定义，我们不难得到想要的方程，进而求出离心率【解答】解：设，不妨设在第一象限，则由已知得，方程两边同除得：即，解得或（舍去），故选：【点评】解题过程中，为了解答过程的简便，我们把未知设为，设为，这时要求离心率，我们要找出，之间的关系，则至少需要三个方程，由已知中，若，且的三边长成等差数列，我们不难得到两个方程，此时一定要注意双曲线的定义，即点到两个焦点的距离之差的绝对值为定值5（5分）公差不为0的等差数列中，数列是等比数列，且，则A4B8C16D36【考点】83：等差数列的性质；87：等比数列的性质【专题】11：计算题【分析】先根据等差数列的等差中项的性质可知代入，即可求的的值，进而根据等比中项的性质求的答案【解答】解：，即，由知，故选：【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的基本性质纵观近几年的高考，基本上是考查两个基本数列的通项公式和前项和公式的简单运用这种趋势近几年还会保持两类基本数列问题，是高考的热点6（5分）阅读如图所示的程序框图，输出的结果的值为A0BCD【考点】：循环结构【专题】11：计算题【分析】首先判断框图为“当型“循环结构，然后判断循环体并进行循环运算判断出规律，最后判断出最后的输出结果【解答】解：本框图为“当型“循环结构当满足时，执行循环体：根据，第1次循环：第2次循环：第3次循环：第4次循环：第5次循环：第6次循环：第7次循环：当为6的倍数时，的值为0时，为6的倍数，故此时时，故选：【点评】本题考查循环结构，通过进行运算找到循环体的规律，然后对程序进行运算，求输出结果本题为基础题7（5分）某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为ABCD【考点】：由三视图求面积、体积【专题】：空间位置关系与距离【分析】从三视图可以推知，几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，易求侧面积【解答】解：几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1四个侧面都是直角三角形，其中的高故其侧面积是故选：【点评】本题考查三视图求面积、体积，考查空间想象能力，是中档题8（5分）把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为ABCD【考点】：正弦函数的奇偶性和对称性【专题】57：三角函数的图象与性质【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令即可得到答案【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程故选：【点评】本小题综合考查三角函数的图象变换和性质图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视一般地，的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值9（5分）已知直线（其中，与圆交于，是坐标原点，则ABCD2【考点】：平面向量数量积的性质及其运算【分析】本题是考查平面几何、向量、解析几何有关知识，先求出圆心到直线的距离，这样得到特殊的直角三角形，求出圆心角，根据圆的半径知道向量的模是2，代入数量积公式求解【解答】解：圆心到直线的距离，故选：【点评】通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，注意与方程、函数等知识的联系，一般的向量问题的处理有两种思路，一种是纯向量式的，另一种是坐标式，两者互相补充10（5分）已知函数，且，则A0BC100D10200【考点】：分段函数的解析式求法及其图象的作法；：数列的求和；：数列递推式【专题】16：压轴题【分析】先求出分段函数的解析式，进一步给出数列的通项公式，再使用分组求和法，求解【解答】解：，由，得故选：【点评】本小题是一道分段数列的求和问题，综合三角知识，主要考查分析问题和解决问题的能力11（5分）已知四面体的外接球的球心在上，且平面，若四面体的体积为，则该球的体积为ABCD【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】11：计算题；：空间位置关系与距离【分析】设该球的半径为，则，故，由于是球的直径，所以在大圆所在平面内且有，由此能求出球的体积【解答】解：设该球的半径为，则，由于是球的直径，所以在大圆所在平面内且有，在中，由勾股定理，得：，所以面积，又平面，且，四面体的体积为，即，所以：球的体积故选：【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题12（5分）函数的最大值是ABCD1【考点】：三角函数的最值【专题】16：压轴题【分析】设，采用换元法把三角函数转化为二次函数，然后借助二次函数的图象和性质进行求解【解答】解：设，则；令，则是关于的二次函数，其图象关于直线对称；但是关于的增函数，而，从而，所以是关于的增函数，于是时，【点评】采用换元法把三角函数转化为二次函数是求解三角函最值的常用方法二、填空题13（5分）观察下列等式：，由以上等式推测到一个一般的结论：对于，【考点】：归纳推理【专题】16：压轴题；29：规律型【分析】由已知中的等式：，我们易得到等式左边是从一开始的奇数平方和减偶数平方和，右边式子的绝对值是一等差数列的前项和，由此不难归纳出答案【解答】解：由已知中等式：，由此我们可以推论出一个一般的结论：对于，故答案为：【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）14（5分）若，满足约束条件，则目标函数的最大值是4【考点】：简单线性规划【专题】11：计算题；13：作图题；59：不等式的解法及应用【分析】由题意作出其平面区域，将化为，相当于直线的纵截距，由几何意义可得【解答】解：由题意作出其平面区域，将化为，相当于直线的纵截距，则由与联立解得，；故；故答案为：4【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题15（5分）某一排共12个座位，现甲、乙、丙三人按如下要求入座，每人左右两旁都有空座位，且三人的顺序是甲必须在另两人之间，则不同的座法共有112【考点】：排列、组合及简单计数问题【专题】11：计算题【分析】根据题意，分3步来满足题意所给的限制条件，、先安排甲、乙、丙三人，、再在三人之间以及两端都安排一个空座位，、在这8个空位中，任取5个插入空座位；分别计算每一步的排法数目，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分3步来完成：、先安排甲、乙、丙三人，甲必须在另两人之间，有2种情况，排好后，包括两端共4个空位；、再在每个空位都安排一个空座位，有1种安排方法，排好后，包括两端共8个空位；、在这8个空位中，任取5个，插入空座位，有种安排方法；则共有种不同的安排方法；故答案为112【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题，关键是根据题意，设计分步或分类的方法来满足题目所给的限制条件16（5分）设集合，函数，且，则的取值范围是【考点】：函数的值【专题】11：计算题【分析】利用当，且，列出不等式，解出的取值范围【解答】解；：，2 ，故答案为：【点评】本题考查求函数值的方法，以及不等式的解法，解题的关键是确定的范围三、解答题17（10分）已知在中，所对的边分别为，若且（）求角、的大小；（）函数，求函数单调递增区间，指出它相邻两对称轴间的距离【考点】：三角函数的周期性；：正弦函数的单调性；：正弦定理【专题】11：计算题【分析】（）根据正弦定理求得和的关系进而得出进而根据求得，（）把（）中的，代入整理后根据正弦函数的性质可得函数的单调区间【解答】解：（）由题设及正弦定理知：，得或，即或当时，有，即，得，；当时，有，即不符题设，（）由（）及题设知：当时，为增函数即的单调递增区间为它的相邻两对称轴间的距离为【点评】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用解决本题的关键是，利用正弦定理把三角形边角问题转化为三角函数问题是解题的关键，三角形与三角函数、向量与三角函数高考考查的热点18（12分）盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：（1）取到的2只都是次品；（2）取到的2只中正品、次品各一只；（3）取到的2只中至少有一只正品【考点】：互斥事件的概率加法公式；：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式【专题】：概率与统计【分析】（1）从6只灯泡中有放回地任取两只，共有种不同取法，取到的两只都是次品的情况为种，由此能求出取到的2只都是次品的概率（2）取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品，有种取法；第一次取到次品，第二次取到正品，有种取法由此能求出取到的2只中正品、次品各一只的概率（3）利用对立事件概率公式能求出取到的2只中至少有一只正品的概率【解答】解：（1）从6只灯泡中有放回地任取两只，共有种不同取法，取到的两只都是次品的情况为种，取到的2只都是次品的概率（2）取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品，有种取法；第一次取到次品，第二次取到正品，有种取法取到的2只中正品、次品各一只的概率（3）取到的2只中至少有一只正品的概率【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要注意等可能事件概率计算公式的合理运用19（12分）如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，为中点（）证明：平面；（）求二面角的余弦值【考点】：直线与平面垂直；：二面角的平面角及求法【专题】11：计算题；14：证明题【分析】（1）欲证平面，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证与平面内两相交直线垂直，而，又，满足定理条件；（2）以为坐标原点，射线，分别为轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求出两半平面的法向量，求出两法向量的夹角即可【解答】证明：（）由题设，连接，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而所以为直角三角形，又所以平面（）解：以为坐标原点，射线，分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系设，0，则，0，1，0，的中点，故等于二面角的平面角，所以二面角的余弦值为【点评】本小题主要考查直线与平面垂直，以及二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力20（12分）已知各项均不相等的等差数列的前四项和，且，成等比数列（）求数列的通项公式；（）设为数列的前项和，若对恒成立，求实数的最小值【考点】84：等差数列的通项公式；87：等比数列的性质；：数列的求和【专题】15：综合题【分析】设出此等差数列的公差为，根据等差数列的前项和公式化简得到关于首项和公差的关系式，又，成等比数列，根据等比数列的性质得到关于首项和公差的另一关系式，两关系式联立即可求出首项和公差，根据首项和公差写出等差数列的通项公式即可；把中求出的数列的通项公式代入数列中，根据，列举出数列的前项和的每一项，抵消后得到的通项公式，将求出的的通项公式和的通项公式代入已知的不等式中，解出大于等于一个关系式，利用基本不等式求出这个关系式的最大值，即可得到实数的最小值【解答】解：设公差为，由已知得：，即，解得：或（舍去），故；，对恒成立，即，恒成立，又，的最小值为【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前项和公式化简求值，掌握等比数列的性质，掌握不等式恒成立时满足的条件，会利用基本不等式求函数的最小值，是一道中档题学生在求数列的前项和时，注意利用21（12分）已知，为上动点，过作轴于，为上一点，且（）求点的轨迹的方程；（）若，过的直线与曲线相交于、两点，则是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由【考点】：轨迹方程；：直线与圆锥曲线的综合【专题】11：计算题；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）设，则可设，根据又，可确定，进而可知点的坐标代入圆的方程，求得曲线的方程（）设，设出过点的直线的方程，与题