2019年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示练习新人教A版.docx

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示1.设p:a,b,c是三个非零向量;q:a,b,c为空间的一个基底,则p是q的(B)(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:当非零向量a,b,c不共面时,a,b,c可以当基底,否则不能当基底.当a,b,c为基底时,一定有a,b,c为非零向量.因此pq,qp.故选B.2.在空间直角坐标系Oxyz中,下列说法正确的是(D)(A)向量的坐标与点B的坐标相同(B)向量的坐标与点A的坐标相同(C)向量与向量的坐标相同(D)向量与向量-的坐标相同解析:因为A点不一定为坐标原点,所以A不正确;同理B,C都不正确;由于=-,故选D.3.有以下三个命题:三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面;若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a,b共线;若a,b是两个不共线向量,而c=a+b(,R且0),则a,b,c构成空间的一个基底.其中真命题的个数是(C)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:正确,中,由平面向量的基本定理可知a,b,c共面,故为假命题.选C.4.若向量a,b,c是空间的一个基底,则一定可以与向量p=2a+b,q=2a-b构成空间的另一个基底的向量是(C)(A)a(B)b(C)c(D)a+b解析:因为p=2a+b,q=2a-b,所以a=p+q,所以a,p,q共面,故a,p,q不能构成空间的一个基底,排除A;因为b=p-q,所以b,p,q共面,故b,p,q不能构成空间的一个基底,排除B;因为a+b=p-q,所以a+b,p,q共面,故a+b,p,q不能构成空间的一个基底,排除D;故选C.5.如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是(D)(A)-a+b+c (B)a-b+c(C)a+b+c (D)a+b-c解析:=+=+=+-=a+b-c.故选D.6.已知平行六面体OABCOABC,=a,=c,=b,D是四边形OABC的对角线的交点,则(D)(A)=-a+b+c (B)=-b-a-c(C)=a-b-c (D)=a-b+c解析:=+=-+(+)=-+=a-b+c.故选D.7.如图,在四面体OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且OM=2MA,点N为BC的中点,则等于(B)(A)a-b+c(B)-a+b+c(C)a+b-c(D)a+b-c解析:连接ON(图略),=-=(+)-=(b+c)-a=-a+b+c.故选B.8.若向量i,j,k为空间直角坐标系上对应x轴,y轴,z轴上的单位向量,且设a=2i-j+3k,则向量a的坐标为 .解析:因为a=2i-j+3k,由空间向量的坐标表示可知,坐标(2,-1,3)与向量a=2i-j+3k对应,故向量a的坐标为(2,-1,3).答案:(2,-1,3)9.已知空间的一个基底a,b,c,m=a-b+c,n=xa+yb+2c,若m与n共线,则x= ,y= .解析:因为m与n共线,所以存在实数,使m=n,即a-b+c=xa+yb+2c,于是有解得答案:2-210.如图所示,直三棱柱ABCA1B1C1中,ABAC,D,E分别为AA1,B1C的中点,若记=a,=b,=c,则= (用a,b,c表示).解析:取BC中点为F,连EF,AF,则EFBB1,又ADBB1,所以EFAD,所以四边形ADEF为平行四边形,所以DEAF,所以=(+)=a+b.答案:a+b11.若a,b,c是空间的一个基底,且存在实数x,y,z,使得xa+yb+ zc=0,则x,y,z满足的条件是 .解析:若x0,则a=-b-c,即a与b,c共面.由a,b,c是空间的一个基底知a,b,c不共面,故x=0,同理y=z=0.答案:x=y=z=012.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,设=a,=b,=c,E,F分别是AD1,BD的中点.(1)用向量a,b,c表示,;(2)若=xa+yb+zc,求实数x,y,z的值.解:(1)如图,=+=-+-=a-b-c,=+=+=-(+)+(+)=(a-c).(2)=(+)=(-+)=(-c+a-b-c)=a-b-c,所以x=,y=-,z=-1.13.如图,已知正四面体ABCD的棱长为a,试建立恰当的坐标系并表示出各个顶点的坐标.解:建系不同,所得各点的坐标也不同.如图,过A作AG垂直于平面BCD,由于AB=AC=AD,所以G为BCD的中心,过G作GFCD,E为CD的中点,以G为原点,分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为BCD的边长为a,所以BE=a,GE=a.又BG=a,所以AG=a,所以A(0,0,a),B(0,-a,0),C(,a,0),D(-,a,0).14.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,点E,F分别在线段A1D,AC上,且EFA1D,EFAC,以 点D为坐标原点,DA,DC,DD1分别作为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图所示).(1)试求向量的坐标;(2)求证:EFBD1.解:(1)因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,根据题意知,为单位正交基底,设=i,=j,=k,所以向量可用单位正交基底i,j,k表示,因为=+,与共线,与共线,所以设=,=,则=+=(+)+(-)=(+)+(1-)+=(+)i+(1-)j+k,因为EFA1D,EFAC,即,所以=0,=0,又=-i-k,=-i+j,所以整理得即,解得所以=i+j-k所以的坐标是(,-)(2)因为=+=-i-j+k=-,即与共线,又EF与BD1无公共点,所以EFBD1.15.以棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则平面AA1B1B对角线交点的坐标为(B)(A)(0,)(B)(,0,)(C)(,0)(D)(,)解析:如图,由题意知平面AA1B1B对角线交点的横坐标为AB的中点值,竖坐标为AA1的中点值,纵坐标为0,所以平面AA1B1B对角线交点的坐标为(,0,).故选B.16.设OABC是四面体,G1是ABC的重心,G是OG1上的一点,OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为(A)(A)(,)(B)(,)(C)(,)(D)(,)解析:如图,由已知=(+)=+(+)=+(-)+(-)=+,从而x=y=z=.故选A.17.如图在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M为AC和BD的交点,若=a,=b,=c,则=.解析:=-=(+)-(+)=-+-=-a+b-c.答案:-a+b-c18.若a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3,且e1,e2,e3不共面,当d= a+ b+ c时,+= .解析:由已知d=(+)e1+(+)e2+(+)e3.所以故有+=3.答案:319