2020版高考数学一轮复习第三章第四节第3课时利用导数研究函数零点问题精练文.docx

第3课时利用导数研究函数零点问题1.已知函数f(x)=a+xln x(aR).(1)求f(x)的单调区间;(2)试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.解析(1)函数f(x)的定义域是(0,+),f (x)=(x)ln x+x1x=x(lnx+2)2x.令f (x)0,解得xe-2,令f (x)0,解得0x2e时, f(x)0,无零点,a=2e时, f(x)=0,有1个零点,a2e时, f(x)0;当x(3-23,3+23)时, f (x)0,所以f(x)=0等价于x3x2+x+1-3a=0.设g(x)=x3x2+x+1-3a,则g(x)=x2(x2+2x+3)(x2+x+1)20,仅当x=0时g(x)=0,所以g(x)在(-,+)单调递增.故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.又f(3a-1)=-6a2+2a-13=-6a-162-160,故f(x)有一个零点.综上, f(x)只有一个零点.3.(2018重庆调研)设函数f(x)=-x2+ax+ln x(aR).(1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间;(2)设函数f(x)在13,3上有两个零点,求实数a的取值范围.解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+),当a=-1时,f (x)=-2x-1+1x=-2x2-x+1x,令f (x)=0,得x=12(负值舍去),当0x0,当x12时, f (x)0,f(x)的单调递增区间为0,12,单调递减区间为12,+.(2)令f(x)=-x2+ax+ln x=0,得a=x-lnxx,令g(x)=x-lnxx,其中x13,3,则g(x)=1-1xx-lnxx2=x2+lnx-1x2,令g(x)=0,得x=1,当13x1时,g(x)0,当10,g(x)的单调递减区间为13,1,单调递增区间为(1,3,g(x)min=g(1)=1,由于函数f(x)在13,3上有两个零点,g13=3ln 3+13,g(3)=3-ln33,3ln 3+133-ln33,实数a的取值范围是1,3-ln33.4.(2019贵州贵阳模拟)已知函数f(x)=kx-ln x(k0).(1)若k=1,求f(x)的单调区间;(2)(一题多解)若函数f(x)有且只有一个零点,求实数k的值;(3)比较e3与3e的大小.解析(1)k=1,f(x)=x-ln x,定义域为(0,+),则f (x)=1-1x,由f (x)0得x1,由f (x)0得0x0),令g(x)=lnxx(x0),则g(x)=1-lnxx2,当x=e时,g(x)=0;当0x0;当xe时,g(x)0,要使f(x)仅有一个零点,则k=1e.解法二:f(x)=kx-ln x,则f (x)=k-1x=kx-1x(x0,k0).当x=1k时,f (x)=0;当0x1k时,f (x)1k时, f (x)0.f(x)在0,1k上单调递减,在1k,+上单调递增,f(x)min=f1k=1-ln 1k,f(x)有且只有一个零点,1-ln 1k=0,即k=1e.解法三:k0,函数f(x)有且只有一个零点即为直线y=kx与曲线y=ln x相切,设切点为(x0,y0),由y=ln x得y=1x,k=1x0,y0=kx0,y0=lnx0,k=1e,x0=e,y0=1,实数k的值为1e.(3)由