2017学年云南师大附中高三（上）适应性数学试卷（理科）（3）（含解析）

2016-2017学年云南师大附中高三（上）适应性数学试卷（理科）（3）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设全集，集合，则ABCD2（5分）已知复数，是的共轭复数，则为ABCD3（5分）下列说法正确的是A若命题，为真命题，则命题为真命题B“若，则”的否命题是“若，则”C命题：“”的否定：“，”D若是定义在上的函数，则“”是“函数是奇函数”的充要条件4（5分）已知双曲线，曲线在点处的切线方程为，则该双曲线的渐近线方程为ABCD5（5分）若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如，如图所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的中国剩余定理，执行该程序框图，则输出的A16B17C19D156（5分）已知公差不为0的等差数列满足，成等比数列，为数列的前项和，则的值为ABC2D37（5分）已知服从正态分布，则“”是“关于的二项式的展开式的常数项为3”的A充分不必要条件B必要不充分条件C既不充分又不必要条件D充要条件8（5分）已知某随机变量的概率密度函数为，则随机变量落在区间内的概率为ABCD9（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积是ABCD10（5分）某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有A35种B24种C18种D9种11（5分）在锐角中，若动点满足，则点轨迹与直线，所围成的封闭区域的面积ABCD12（5分）若二次函数的图象与曲线存在公共切线，则实数的取值范围为A，B，C，D，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置）13（5分）某校高三某班在一次语文周测中，每位同学的考试分数都在区间，内，将该班所有同学的考试分数分为七组：，绘制出如图3所示频率分布直方图，已知分数低于112分的有18人，则分数不低于120分的人数为 14（5分）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则 15（5分）记函数的导数为，的导数为，的导数为，若可进行次求导，则均可近似表示为：，若取，根据这个结论，则可近似估计 （用分数表示）16（5分）设数列为等差数列，且，若，记，则数列的前21项和为 三、解答题（共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）在中，角，所对的边分为，向量，且（1）求角的大小；（2）若，求边的最小值18（12分）如图甲，在直角梯形中，是的中点，是与的交点，将沿折起到的位置，如图乙（1）证明：平面；（2）若平面平面，求与平面所成的角19（12分）2016年11月21日是附中建校76周年校庆日，为了了解在校同学们对附中的看法，学校进行了调查，从全校所有班级中任选三个班，统计同学们对附中的看法，情况如下表：对附中的看法非常好，附中推行素质教育，身心得以全面发展很好，我的高中生活很快乐很充实班人数比例班人数比例班人数比例（1）从这三个班中各选一位同学，求恰好有2人认为附中“非常好”的概率（用比例作为相应概率）；（2）若在班按所持态度分层抽样，抽取9人，再从这9人中任意选取3人，记认为附中“非常好”的人数为，求的分布列和数学期望20（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上一点与椭圆右焦点的连线垂直于轴（1）求椭圆的方程；（2）与抛物线相切于第一象限的直线，与椭圆交于，两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与轴交于点，求直线斜率的最小值21（12分）设函数，（1）求函数的极大值；（2）若关于的不等式在，上恒成立，求实数的取值范围；（3）已知，试比较与的大小，并说明理由请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，它在点处的切线为直线（1）求直线的直角坐标方程；（2）已知点为椭圆上一点，求点到直线的距离的取值范围选修4-5：不等式选讲23已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范围2016-2017学年云南师大附中高三（上）适应性数学试卷（理科）（3）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设全集，集合，则ABCD【考点】：交、并、补集的混合运算【专题】37：集合思想；：定义法；：集合【分析】化简集合，求出的补集，由交集含义即可得到所求【解答】解：集合，故选：【点评】本题考查集合的运算，注意运用交、补集的含义，属于基础题2（5分）已知复数，是的共轭复数，则为ABCD【考点】：复数的模【专题】11：计算题；34：方程思想；：演绎法；：数系的扩充和复数【分析】求出，即可得出结论【解答】解：由，故选：【点评】本题考查复数的运算，考查学生的计算能力，正确化简是关键3（5分）下列说法正确的是A若命题，为真命题，则命题为真命题B“若，则”的否命题是“若，则”C命题：“”的否定：“，”D若是定义在上的函数，则“”是“函数是奇函数”的充要条件【考点】：命题的真假判断与应用【专题】：探究型；：定义法；：简易逻辑【分析】根据复合命题真假判断的真值表，可判断；写出原命题的否命题，可判断；写出原命题的否定命题，可判断；根据充要条件的定义，可判断【解答】解：选项中命题为假命题，故错误；选项中命题的否命题应为“若，则”，故错误；选项中结论应为必要不充分条件，故错误；故选：【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，复合命题，特称命题，充要条件等知识点，难度基础4（5分）已知双曲线，曲线在点处的切线方程为，则该双曲线的渐近线方程为ABCD【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；：双曲线的性质【专题】11：计算题；33：函数思想；35：转化思想；53：导数的综合应用；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用导数以及切线的斜率，切线方程，求出，然后求解双曲线的渐近线方程【解答】解：，曲线在点处的切线方程为：，渐近线方程为，故选：【点评】本题考查函数的导数的应用，双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力5（5分）若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如，如图所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的中国剩余定理，执行该程序框图，则输出的A16B17C19D15【考点】：程序框图【专题】35：转化思想；48：分析法；：算法和程序框图【分析】该程序框图的作用是求被3和5除后的余数为2的数，根据所给的选项，得出结论【解答】解：该程序框图的作用是求被3和5除后的余数为2的数，在所给的选项中，满足被3和5除后的余数为2的数只有17，故选：【点评】本题主要考查程序框图的应用，属于基础题6（5分）已知公差不为0的等差数列满足，成等比数列，为数列的前项和，则的值为ABC2D3【考点】：等差数列与等比数列的综合【专题】11：计算题；33：函数思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列【分析】利用等差数列以及等比数列的关系式，列出方程，转化求解即可【解答】解：由已知设公差为，成等比数列，则，可得，则故选：【点评】本题考查等差数列以及等比数列的性质的应用，数列求和，考查计算能力7（5分）已知服从正态分布，则“”是“关于的二项式的展开式的常数项为3”的A充分不必要条件B必要不充分条件C既不充分又不必要条件D充要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件【专题】：简易逻辑【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合正态分布已经二项式定理的内容进行判断即可【解答】解：若，则，若关于的二项式的展开式的常数项为3，则通项公式，由，得，即常数项为，解得或，即“”是“关于的二项式的展开式的常数项为3”的充分不必要条件，故选：【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，以及正态分布，二项展开式的应用，综合性较强8（5分）已知某随机变量的概率密度函数为，则随机变量落在区间内的概率为ABCD【考点】：频率分布折线图、密度曲线【专题】15：综合题；34：方程思想；：演绎法；：概率与统计【分析】由随机变量的概率密度函数的意义得，即可得出结论【解答】解：由随机变量的概率密度函数的意义得，故选：【点评】本题考查随机变量的概率密度函数的意义，考查定积分知识的运用，属于中档题9（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积是ABCD【考点】：由三视图求面积、体积【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；：空间位置关系与距离【分析】由三视图知四棱锥为长方体的一部分，可得外接球的直径，即可求出四棱锥的外接球的表面积【解答】解：由三视图知四棱锥为长方体的一部分，如图，所以外接球的直径，所以，所以四棱锥的外接球的表面积是，故选：【点评】本题考查三视图，考查四棱锥的外接球的表面积，确定几何体的形状是关键10（5分）某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有A35种B24种C18种D9种【考点】：计数原理的应用【专题】11：计算题；32：分类讨论；：数学模型法；：排列组合【分析】根据红包的性质进行分类，若甲乙抢的是一个2和一个3元的，若两个和2元或两个3元，根据分类计数原理可得【解答】解：若甲乙抢的是一个2和一个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有种，若甲乙抢的是两个和2元或两个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有种，根据分类计数原理可得，共有种，故选：【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题11（5分）在锐角中，若动点满足，则点轨迹与直线，所围成的封闭区域的面积ABCD【考点】：轨迹方程【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据向量加法的几何意义得出点轨迹，利用正弦定理解出，得出的面积，从而求出围成封闭区域的面积【解答】解：取的中点，连结则，三点共线点轨迹为直线在中，由正弦定理得，解得故选：【点评】本题考查了平面向量线性运算的几何意义，正弦定理解三角形，属于中档题12（5分）若二次函数的图象与曲线存在公共切线，则实数的取值范围为A，B，C，D，【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】15：综合题；34：方程思想；：构造法；53：导数的综合应用【分析】设公切线与、的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数的取值范围【解答】解：设公切线与的图象切于点，与曲线切于点，化简可得，得或，且，则，即，由得，设，则，在上递增，在上递减，（2），实数的取值范围为，故选：【点评】本题考查了导数的几何意义、斜率公式，导数与函数的单调性、最值问题的应用，及方程思想和构造函数法，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置）13（5分）某校高三某班在一次语文周测中，每位同学的考试分数都在区间，内，将该班所有同学的考试分数分为七组：，绘制出如图3所示频率分布直方图，已知分数低于112分的有18人，则分数不低于120分的人数为10【考点】：频率分布直方图【专题】38：对应思想；44：数形结合法；：概率与统计【分析】根据频率分布直方图，利用分数低于112分的人数和对应的频率组距与分数不低于120分的人数与对应的频率组距，即可得出所求的结果【解答】解：根据频率分布直方图得，分数低于112分的人数对应的频率组距为0.09，分数不低于120分的人数对应的频率组距为0.05，所求的人数为（人故答案为：10【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题目14（5分）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则【考点】：直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】15：综合题；34：方程思想；：演绎法；：直线与圆【分析】由题意可得：再利用倍角公式即可得出【解答】解：由已知，故答案为【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题15（5分）记函数的导数为，的导数为，的导数为，若可进行次求导，则均可近似表示为：，若取，根据这个结论，则可近似估计（用分数表示）【考点】63：导数的运算【专题】35：转化思想；52：导数的概念及应用；56：三角函数的求值【分析】，可得，代入即可得出【解答】解：，当时，（2）故答案为：【点评】本题考查了导数的运算法则、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（5分）设数列为等差数列，且，若，记，则数列的前21项和为21【考点】85：等差数列的前项和【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列；57：三角函数的图象与性质【分析】由，可知关于中心对称又数列为等差数列，故，且，再利用等差数列的求和公式即可得出【解答】解：由可知关于中心对称，又数列为等差数列，故，且，故的前21项的和故答案为：21【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）在中，角，所对的边分为，向量，且（1）求角的大小；（2）若，求边的最小值【考点】：正弦定理；：余弦定理【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形；：平面向量及应用【分析】（1）由题意，利用向量平行的坐标表示，正弦定理可得关于 的方程，从而可求，进而可求（2）由平面向量的数量积的运算可求，进而利用余弦定理可求的最小值【解答】（本小题满分12分）解：（1）向量，且，可得：，由正弦定理得：，即：，（6分）（2），可得：，解得：，又，当且仅当时，取等号，（12分）【点评】本题主要考查了向量平行的坐标表示，正弦定理，平面向量的数量积的运算，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18（12分）如图甲，在直角梯形中，是的中点，是与的交点，将沿折起到的位置，如图乙（1）证明：平面；（2）若平面平面，求与平面所成的角【考点】：直线与平面垂直；：直线与平面所成的角【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；：空间位置关系与距离；：空间角【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明：平面；（2）若平面平面，利用等体积即可求与平面所成的角【解答】（1）证明：在图甲中，是的中点，即在图乙中，又，平面，是平行四边形，平面 （6分）（2）解：由题意，平面平面，平面，平面，设到平面的距离为，由，故到平面的距离为，与平面所成的角为 （12分）【点评】本题考查了平面立体转化的问题，运用好折叠之前，之后的图形，对于空间直线平面的位置关系的定理要很熟练19（12分）2016年11月21日是附中建校76周年校庆日，为了了解在校同学们对附中的看法，学校进行了调查，从全校所有班级中任选三个班，统计同学们对附中的看法，情况如下表：对附中的看法非常好，附中推行素质教育，身心得以全面发展很好，我的高中生活很快乐很充实班人数比例班人数比例班人数比例（1）从这三个班中各选一位同学，求恰好有2人认为附中“非常好”的概率（用比例作为相应概率）；（2）若在班按所持态度分层抽样，抽取9人，再从这9人中任意选取3人，记认为附中“非常好”的人数为，求的分布列和数学期望【考点】：离散型随机变量及其分布列；：离散型随机变量的期望与方差【专题】35：转化思想；：概率与统计【分析】利用相互独立事件与互斥事件的概率计算公式即可得出利用超几何分布列的计算公式即可得出【解答】解：（）记这3位同学恰好有2人认为附中“非常好”的事件为，则（A）（）在班按照相应比例选取9人，则认为附中“非常好”的应选取6人，认为附中“很好”的应选取3人，则，1，2，3，且，1，2，即可得出，则的分布列为：0123则的期望值为：【点评】本题考查了相互独立事件与互斥事件的概率计算公式、超几何分布列的计算公式与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上一点与椭圆右焦点的连线垂直于轴（1）求椭圆的方程；（2）与抛物线相切于第一象限的直线，与椭圆交于，两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与轴交于点，求直线斜率的最小值【考点】：椭圆的标准方程；：直线与椭圆的综合【专题】15：综合题；34：方程思想；：转化法；：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由题意求得，把的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得，的值，则椭圆方程可求；（2）设切点坐标为，写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出的中点坐标，得到的垂直平分线方程，求出的坐标，进一步得到的斜率，然后利用基本不等式求直线斜率的最小值【解答】解：（1）点与椭圆右焦点的连线垂直于轴，将点坐标代入椭圆方程可得，又，联立可解得，椭圆的方程为；（2）设切点坐标为，则整理，得，设，联立，可得，的中点坐标为，的垂直平分线方程为，令，得，即，当且仅当时取得等号直线的斜率的最小值为【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，体现了整体运算思想方法，是中档题21（12分）设函数，（1）求函数的极大值；（2）若关于的不等式在，上恒成立，求实数的取值范围；（3）已知，试比较与的大小，并说明理由【考点】：利用导数研究函数的极值；：利用导数研究函数的最值【专题】33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用【分析】（1）求出的导数，得到的单调区间，从而求出的极大值即可；（2）问题转化为，令，求出函数的导数，根据函数的单调性求出的范围即可；（3）令（a），求出函数（a）的导数，根据的范围，求出函数的单调性，从而比较和的大小即可【解答】解：（1），则，当时，当时，在上单调递增，在上单调递减，当时，函数取得极大值1（2），令，则，（1），故当，在上恒成立时，使得函数在，上单调递增，在，上恒成立，故；经验证，当时，函数在，上恒成立；当时，不满足题意（3）令，则，故单调递增，又，当时，；当时，；当，【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的