江苏省太仓市第二中学九年级数学下册《28.1.2 圆的对称性》课件（二） 华东师大版.ppt

本课内容 圆的轴对称性与垂径定理 m o a c b n 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 垂径定理 如图 mn是圆o的直径 ab是一条弦 且mn ab 利用圆的对称性 你能找出有哪些相等的量 1 ac bc 2 an bn am bm m o a c b n 直线mn过圆心o mn ab ac bc am bm an bn 垂径定理 垂径定理三种语言 定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 老师提示 垂径定理是圆中一个重要的结论 三种语言要相互转化 数形结合 形成整体 才能运用自如 cd ab 如图 cd是直径 am bm 文字语言 图形语言 几何语言 练一练 试金石 讲解 如图 已知在 o中 弦ab的长为8厘米 圆心o到ab的距离为3厘米 求 o的半径 e 解题小结 在解决有关弦的问题时 常作垂直于弦的半径 连接圆心和弦的一端点 即得半径 构成直角三角形 半弦 半径 弦心距 半弦2 弦心距2 半径2 已知 如图 在以o为圆心的两个同心圆中 大圆的弦ab交小圆于c d两点 试说明 ac bd 证明 过o作oe ab 垂足为e 则ae be ce de ae ce be de 所以 ac bd e 牛刀小试 例2 某居民区一处圆形下水管破裂 修理人员准备更换一段新管道 如图 污水水面宽度为60cm 水面至管道顶部距离为10cm 问修理人员应准备内径多大的管道 解 过点o作oc ab 垂足为点c 交 o与点d 连接oa c d 如果交换垂径定理的题设和结论的部分语句 会有一些什么样的结论呢 直线mn过圆心o mn ab ac bc 弧am 弧bm 弧an 弧bn 垂径定理 m o a c b n 直线mn过圆心 ac bc mn ab 弧am 弧bm 弧an 弧bn 探索一 结论 二 垂径定理的推论 o a b m n 一个圆的任意两条直径总是互相平分 但是它们不一定互相垂直 因此这里的弦如果是直径 结论就不一定成立 推论1 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 c d m o a c b n mn ab ac bc 直线mn过圆心o 弧am 弧bm 弧an 弧bn 探索二 推论1 2 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 m o a c b n mn ab ac bc 弧am 弧bm 直线mn过圆心o 弧an 弧bn 探索三 推论1 3 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 推论1 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 2 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 3 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 你可以写出相应的命题吗 垂径定理及其推论可概括成以下结论 如图 在下列五个条件中 只要具备其中两个条件 就可推出其余三个结论 cd是直径 am bm cd ab 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 m o a b n c d 作直径mn垂直于弦ab ab cd 直径mn也垂直于弦cd 于是弧am 弧bm 弧cm 弧dm 弧am 弧cm 弧bm 弧dm即弧ac 弧bd c d a b e 例 平分已知弧ab 已知 弧ab 作法 连结ab 作ab的垂直平分线cd 交弧ab于点e 点e就是所求弧ab的中点 求作 弧ab的中点 c d a b e f g 变式一 求弧ab的四等分点 m n c d a b m t e f g h n p 错在哪里 等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线 作ab的垂直平分线cd 作at bt的垂直平分线ef gh c a b e 变式二 你能确定弧ab的圆心吗 m n d c a b e m n o 你能破镜重圆吗 a b a c m n o 作弦ab ac及它们的垂直平分线m n 交于o点 以o为圆心 oa为半径作圆 破镜重圆 a b c m n o 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 作图依据 已知 ab cd是 o的两条平行弦 mn是ab的垂直平分线 求证 mn垂直平分cd m o a n c d b 圆内平行弦的垂直平分线是互相重合的 已知 ab cd是 o的两条平行弦 mn是ab的垂直平分线 求证 mn垂直平分cd m o a b n c d 分析 mn是ab的垂直平分线则有 mn过圆心o是直径 由ab cd mn ab则有 mn cd 由垂径定理 得 mn平分cd 所以 mn垂直平分cd m o b n c d 证明 mn是ab的垂直平分线 mn过圆心是直径 mn cd mn平分cd a ab cd mn ab mn垂直平分cd m o a b n c d 证明 由ab cd可得 弧ac 弧bd mn是ab的垂直平分线则有 mn过圆心o是直径 弧am 弧bm mn垂直平分cd 弧am 弧ac 弧bm 弧bd即弧cm 弧dm 挑战自我填一填 1 判断 垂直于弦的直线平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧 经过弦的中点的直径一定垂直于弦 圆的两条弦所夹的弧相等 则这两条弦平行 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧 例3已知 o的直径是50cm o的两条平行弦ab 40cm cd 48cm 求弦ab与cd之间的距离 c d 20 15 25 25 24 7 讲解 c d f ef有两解 15 7 22cm15 7 8cm 练习一 如图 o的半径为5 弦ab的长为8 m是弦ab上的动点 则线段om的长的最小值为 最大值为 3 5 练习二 如图 矩形abcd与圆o交于点a b e f de 1cm ef 3cm 则ab cm 5 练习三 如图 在圆o中 已知ac bd 试说明 1 oc od 2 ae bf 课堂小结 本节课探索发现了垂径定理的推论1和推论2 并且运用推论1等分弧 要分清推论1的题设和结论 即已知什么条件 可推出什么结论 这是正确理解应用推论1的关键 例3是基本几何作图 会通过作弧所夹弦的垂直平分线来等分弧 能够体会转化思想在这里的运用 回味引伸垂径定理及其推论