微积分论文

毕业论文（设计） 阜 阳 师 范 学 院 数学 专业毕业论文 题目： 微积分对现代科学的影响 姓 名： 陈亮 2013年 04月 01日 微积分对现代科学的影响 摘要 ： 从微积分的发展历史及各发展阶段数学家对微积分所引起的不同争论 ,来阐述微积分的发展对整个自然科学的发展所起的影响。 关键字 ： 微积分 ；牛顿 ；莱布尼兹 ；极限 1. 数学是自然科学 的 基础 数学是自然科学的基础学科 , 自然科学的发展离不开数学的发展。尤其是数学中的微积分理论 ,对整个自然科学的发展起了极大的推动作用 ,为自然科学中一些现象的解释提供了坚实的理论基础 ,使有限和无限、连续和离散、代数和几何形成了有机的结合与统一。在数学的众多学科分支中 ,就严谨性、应用性和简洁性而言 ,微积分应是最具代表性的学科之一。微积分以简洁、优美的形式把运动学问题、磁场问题、几何中曲线的切线问 题、函数中最值问题、曲线长度及曲面面积和立体体积问题总结于一个高度统一的理论体系之中。因而 ,这一理论的 产生被誉为数学史上乃至人类文明史上的伟大创造 ,受到历代数学家、物理学家、哲学家的盛赞。如果我们对其历史和现状作一番认真的考究 ,追溯这 一理论产生的历史 ,将会使我们更深刻的认识到数学对自然科学发展所起的深刻影响。于此 ,微积分提出之后 ,遭到了许多人的猛烈抨击 ,其中也包括一些著名的数学家。 牛顿继承和总结了先辈们的思想 ,作出了自己独到的 建树。他把自己的发现称为“流数术” ,称连续变化的量为流动量 ,无限小的时间间隔为瞬 ,而流量的速度称为流动率或流数。牛顿的“流数术”就是以流量、流数和瞬为基本概 念的微分学主观唯心论哲学家贝克莱 G. Berkeley是抨击微积分理论最强有力的人物。他愤恨牛顿的微积分理论给唯物论以支持 ,于是向流数术展 开了猛烈的攻击。 1734 年 ,贝克莱 出版了一本书 :分析学家 :或一答致不信神数学家的论文 ,其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘 ,教义的主旨有更清晰的陈述 ,或更明确的推理在这本书里 ,他嘲笑无穷小量是已死量的幽灵。他说如果取 x 的一个增量 i ,这里 i代表某一个不为零的量 ,则 xn 的增量被 i 除便是 nxn- 1+ n (n - 1) xn - 2i + + in - 1,现令 i = 0 2. 关于微积分的 思想的建立与发展 2 1 微积分使极限理论更加成熟 我们 知道微积分的基础是极限论 ,而牛顿、莱布尼兹的极限观念是十分模糊的 ,牛顿的瞬和流数 ,莱布尼兹的 dx 和 dy 究竟是什么含义 ? 在他们各自的著述中没有给出明确和一贯的定义 ,在运用时也显得前后不一。牛顿和莱布尼兹在使用无限小量时 ,有时视瞬或 dx 为无限小增量 ,而有 时视之为一个有限量加以运算 ,甚至把它作为零而忽略不计 ,这就在逻辑上造成明显的矛盾。牛顿曾用有限差值的 最初比和最终比 一种萌芽状态的极限概念来说明流数的意义。但是当差值还未达到零时 ,其比值不是最终的 ,而 当差值达到零时 ,它们比是 0 。怎样理解这样的最终比 ,牛顿也承认自己的方法只作出“简略的说明 ,而不是正确的论证。”而莱布尼兹的微积分论文发表以后 ,连当时在数学上颇有造诣的数学家 象 Bernoulli 兄弟 也颇感费解 :“与其说有一种说明 ,还不如说是一个谜。”究竟极限是什么 ? 无穷小是什么 ? 在今天很容易理 解。但在十九世纪以前还是一个数学上本质性的难题。基极限思想在当时也散见于各个时代著作中 ,如中国庄子 天下篇中“一尺之棰”、 Zeno 悖论、 Endoxus 的“穷竭法”、刘微的“割圆术”等和极限思想有直接关系 ,但这些都 只能说是对极限有些模糊认识而已。十八世纪 ,许多数学家为维护微积分的应用价值和美学价值 ,在回击来自数学界内外的攻击同时 ,竭尽所能使微积分在理论上严密化、逻辑化 ,在形式更趋完美。在十八世纪前期 ,许多数学家 ,尤其是英国数学家总是企图使微积分与欧几里得几何结合起来 ,他们试图借助于几何学中论证之严谨体系去完善微积分。但这一努力是失败的 ,打破这 一僵局的大数学家欧拉 ,他以代数方式研究微积分 ,力图用形式演算方式代替累赘的几何语言 ,使微积分建立在算术 和代数基础上。达朗贝尔把牛顿的“最终比”发展为一种极 限概念 ,并试图用极限加以定义和说明。他认为应以极限 理论作为微积分的理论基础 ,这一思想在数学界产生了极其深远的影响。直到 1821 年以后 ,柯西出版他的分析教 程、无穷小计算讲义、无穷小计算在几何中应用这几部具划时代意义的名著之后 ,微积分一系列基础概念及理正式明确地确定下来。自此以后 ,连续、导数、微分、积分、无穷级数的和概念也建立较坚实的理论基础之上 极限理论。我们现在所谓的极限的柯西定义或 年之后半个世纪经过维尔斯特拉斯的加工才完成的。柯西把整个极限过程用不等式来刻画 ,使无穷的 运算化为一系 列不等式的推导。维尔斯特拉斯将柯西的完成了现今的 - 方法 ,形成了微积分的严谨之美。 2 2 微积分 状态与过程的统一 微积分是十七世纪数学所达到的最高成就。微积分出 现以后 ,逐渐显示出它非凡的威力 ,过去许多数学家束手无策的问题 ,至此迎刃而解。恩格斯指出 :“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅表明状态 ,并且也表明过程 :运动。” 然而 ,在十九世纪以前 ,微积分理论历史发展始终包含着矛盾 :一方面纯粹分析及其应用领域中呈现出一个接一个的伟大发现与成就 ；另一方面则是基 础理论的含糊性。事实上 ,无论是牛顿还是莱布尼兹 ,他们对微积分所作的论 证都是不很严谨的和不清楚的。 在欧洲大陆方面 ,莱布尼兹的含糊也招致了尼文 Nieuwentijt ,荷兰哲学家 的反对。荷兰的物理学家和几何学家纽文 B.Nieuwentydt 也就一系列问题公开提出质问 :无限小量与零怎样区别 ? 无限个无限小量之和为什么能够是 有限量 ? 在推理过程中为什么能舍弃无限小量 ? 包括一大 批数学家也群起而攻之。尽管他们承认微积分的效用 ,欣赏微积分的美学价值 ,但却不能容忍这种方法的理论本身如此含糊甚 至令人感到荒谬。法国数学家罗尔 M. Rolle微积分为 :“巧妙的谬论的汇集。”法国思想家伏尔泰则说微积分是一种“精确的计算和度量其存在无从想象的东西的艺术”。贝克莱和尼文太对微积分的攻击纯粹是消极的 ,他们不能给微积分以严格的基础 ,但他们的论点都有一定道理 ,在一定程度上它激励了微积分进一步的建设性工作。例如突变函数论、非 线性泛函分析等学科的建立。因此 ,人们追求数学美 ,以达到精神上的愉悦 ,而这一点正是通过数学家经由数学的“神秘美”、“奇异美”和“朦胧美” ,而最终达到 完备的“统一美”和“和谐美”。 2.3微积分 分析与几何的统一 微积分的本原问题是指它同现实世界的关系问题，即它是产生于存在还是产生于纯思维的问题。唯物主义与唯心主义有着根本不同的看法。唯心主义认为纯数学产生于纯思维。它可以先验地，不需利用外部世界给我们提供的经验，而从头脑中创造出来。杜林、康德、贝克莱等唯心主义者就是这种观点的代表。牛顿、莱布尼茨是微积分的创立者。他们分别在研究质点运动和曲线的性质中，不自觉地把客观世界中的运动问题引进了数学。各自独立地创立了微积分。这个功劳是应该肯定的。但是，他们没有很好注意到微积分同现实世界 的亲缘关系。其运算出发点是先验的。所以，马克思把牛、莱的微积分称为 “神秘的微分学 ”唯物主义认为，微积分同所有的科学一样，它起源经验，然后又脱离外部世界，具有高度抽象性和相对独立性的一门崭新的科学恩格斯指出： “数学是从人的需要中产生的 ”微积分是从生产斗争和科学实验的需要中产生的。生产实践对微积分的创立起着决定的作用。从十五世纪开始，资本主义在西欧封建社会内部逐渐形成。到十七世纪，资本主义生产方式有了巨大发展。随着生产发展，自然科学技术也雨后春笋般地发展起来了。它们跑出来向数学敲门，提出了大量研究新课题。微积分 的创立就是为了处理十六、十七世纪在生产实践和科学实验中所遇到的一系列新问题。这些问题归纳起来大致分为四类：一是已知物体运动的路程与时间的函数关系，求速度和加速度；反过来，已知物体运动的速度和加速度与时间的函数关系，求路程。二是求曲线的切线。三是求函数的极大值、极小值。四是求曲线的弧长，求曲线所围成的面积，曲面所围成的体积等求积问题上述四类问题，形式各不相同，但有着共同的本质，即都是反映客观事物的矛盾运动过程。其中的量都在不断变化着。因此，研究常量的初等数学无法解决这些问题。生产和科研的需要，促使数学由研究常 量向研究变量转化。于是微积分在传统代数学的长期孕育中，经解释几何这个 “助产婆 ”的接生 “而分娩了 ”。所以，恩格斯说： “数学的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学。有了变数，辩证法进入了数学。有了变数，微分学和积分学也就立刻成了必要的了 ”。 3.牛顿 莱布尼茨公式 联结微分与积分的桥梁 唯物辩证法是关于普遍联系的科学。微分与积分是一对矛盾的两个方面。它们之间的联系集中表现在互逆关系上。微分是已知原函数求导数（微商）；积分则是已知导数求原函数。微分与积分的互逆关系，揭示了导数与原函数的对立统一关 系。原函数经过微分转化为导数。导数在积分过程中又还原为原函数。微分与积分相互转化的辩证过程普遍存在于自然界中。前面 说过，水分子的蒸发与凝聚的过程就是微分与积分矛盾转化的过程；在几何学中长与宽、面积与体积的相互转化；在物理学中路程与速度、速度与加速度的相互转化，都可以用微分与积分相互转化来描述。微分与积分这种相互联系、相互转化的辩证内容尽管在现实世界早已存在。但在数学领域里，这种互逆关系在 “牛顿 莱布尼茨公式 ”诞生前一直被隐藏，未被人们所认识。这是因为微分与积分在发展历史上各有渊源。在几何学中，前者和计算切线的斜率有关。后者则和计算曲边形的面积相联系。牛顿、莱布尼茨之所被认为是微积分的创立者，主要是他们发现了微分与积分的互逆关系，找到了根据导数求原函数的一种简便方法，从而把表面上互不相干的两种运算统一起来了，使微分与积分成为一种普遍意义的强有力的数学方法，为数学的发展开发开辟了一条新的康庄大道。 牛顿 莱布尼茨公式是微积分的基本原理。它表述为设函数 （ x)在（ ab)上连续。如果函数 F（ x)是函数 （ x)的一个原函数，则有： b （ x)dx F（ b)-F（ a) a 这个公式左边是一个定积分，右边是原函数在（ ab）两端值的差。它把数轴在一个区间的定积分同这个区间端点的原函数联系起来了，揭示了微分与积分的对立统一关系 。为了说明这个问题，我们从分析具体问题入手，先来考察质点在直线上的变速运动。设时刻 t 时质点在直线上的位置是 s（ t)，那么从时刻 t a 到时刻 t b 这一区间，质点运动的路程为 s（ b)-s（ a)。这是质点运动的一个方面。 再从另一个方面看。设已知质点在时刻 t 内的瞬时速度为 u(t)，我们用另一种方法可从 u（ t)计算出质点所走过的路程为： b u（ t)dta 由于这两个表达式都是表示同一质点在同一时间内所走过的路程，因而应该是相等的，即 b u（ t)dt S(b)-S（ a) a 从微分角度看，路程函数 S(t)的微商是速度函数 u(t)dS(t) u(t) 或 dS（ t) u（ t)dt dt b 从积分角度看，速度函数 u（ t)的积分值 u（ t)dt a 表达了路程函数 S(t)的两点值之差 S（ b)-S(a)。这里的 b 是任意固定的，有一个 b就有一个 S（ b)与之对应。这样当我们深入一步，从运动的角度看公式时，即把 b 视为变量 t，它给出了用定积分表达路程函数的方法： t u(t)dt S（ t)-S（ a) a t 这就用变上限的积分 u(t)dt表达了路程函数 S（ t)。因而 a dF（ x) (x)dx在区间（ ab）上的无限积累。微分与积分的同一性与差异性都包函在牛 莱公式之中。其同一性的一面是微分与积分共处于牛 莱公式之中，互相依存，互相贯通，在一定的条件下相互转化。原函数在微分条件下转化为导函数；导函数在积分条件下转化为原函数。微分把 “有限 ”转化 为 “无限 ”，而积分又把 “无限 ”转化 为 “有限 ”。牛 莱公式就是在这种 “有限 无限 有限 ”的转化 中，把定积分计算变为不定积分计算，把繁杂的极限计算转化为原函数两点值之差的运算。从而找到了计算定积分的捷径。然而，牛 莱公式的两边不是绝对 的同一，绝对的统一，绝对的转化，而的有差别的同一，对立的统一，有条件的转化。公式的两边仅仅是数量上的同一，两边各自的性质、地位与作用并不相同。这个不同正是微分与积分的差异性，即互逆关系的表现。归纳起有三个方面：其一，两者所反映的事物性质不同。在物理学中微分所描述的是物体运动的路程向速度转化以及速度向加速度转化的过程；而积分却反其道而行之，它描写的是加速度转化为速度，速度转化为路程的过程。在几何学中微分就是求曲线的切线；而积分是求弧长，求曲线所围成的面积，曲面所围成的体积。一般地讲，微分就是已知函数求函数的变 化率；而积分是根据函数的变化率求函数。其二、两者所处的地位不同。在微分与积分这对矛盾中，一般地说微分是矛盾的主要方面，居于支配地位；积分是矛盾的次要方面，居于被支配地位。微分是积分运算的前提和基础。进行积分运算，首先要 “化整为零 ”，进行无限分割，即微分。无微分就不可能进行积分。但是积分又不是消极被动的。在导函数向原函数转化过程中，最后是由积分来完成的。没有积分就无法完成这一转化。其三、各自的作用不同。微分是把整体分成无限多个无穷小量，完成以 “直 ”代 “曲 ”的转化；而积分又把无穷多的无限小量累积起来，实现以 “以 曲代直 ”。微积分的 “曲 ”与 “直 ”、 “有限 ”与 “无限 ”的相互转化 正是在微分与积分的相互作用、相互制约下实现的。它推动微积分的基本矛盾 “直 ”与 “曲 ”， “匀 ”与 “不匀 “的矛盾运动，解决了初等数学无法解决的矛盾。 4 实际问题思想的具体表现 说明 连续、可导、可微问题 微积分中对于无穷大与无界、极大 (小 )值与最大 (小 )值以及可导与连续等容易混淆的概念之间的关系，可以通过运用适当的反例进行准确理解把握。同时也能培养与提高学生的辩证思维能力。 情形 1 若函数 f（ x）在 a 连续， 则函数 f（ x）在 a 也连续， 但其逆命题不成立。 反例：函数 f（ x） =1， x?叟 0-1， x0，总存在 x=n，当 n时，有 f（ x） =n cosn =n G 然而，当 x时，若取 x=n +此时 f（ x） =n +cosn +=0。即 f（ x）并不趋于。 4 函数的极大 (小 )值与最大 (小 )值问题 情形 94可导函数的极值点一定是函数的驻点，但驻点不一定是函数的极值点。 反例： x=0 是函数 f（ x） =x3 的驻点，但不是其极值点。 情形 10 函数 f（ x） 的极大 (小 )值不一定就是最大 (小 )值。 反例：函数 f（ x） =x-4x+3x+1， x -1， 3，由于 f（ x） =4x-8x+3=4（ x-1） -1，易见 x=或 x=为 f（ x）的稳定点