高三数学一轮复习 第7篇 第7节 立体几何中的向量方法课件 理.ppt

第7节立体几何中的向量方法 编写意图向量法是解决空间几何问题的一种常用解法 可将空间图形位置关系的判断证明问题转化为计算问题 体现了转化思想的应用 本节重点是利用空间向量解决平行垂直问题的证明及空间角 尤其是线面角 二面角 的计算问题 这部分内容是高考重点内容 为强化解题规范性特设置规范答题供学生参阅 考点突破 规范答题 夯基固本 夯基固本抓主干固双基 知识梳理 1 直线的方向向量和平面的法向量 1 直线的方向向量 直线l上的向量e或与e共线的向量叫做直线l的方向向量 显然一条直线的方向向量有个 2 平面的法向量 如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面 则称这个向量垂直于平面 记作n 此时向量n叫做平面 的法向量 显然一个平面的法向量有个 且它们是向量 无数 无数 共线 质疑探究 在求平面法向量时 所列方程组中有三个变量 但只有两个方程 如何处理 提示 给其中某一变量恰当赋值 求出该方程组的一组非零解 即可以作为平面法向量的坐标 2 线面垂直l a a k a1 ka2 b1 kb2 c1 kc2 3 面面平行 v v a2 a3 b2 b3 c2 c3 4 面面垂直 v v 0 a2a3 b2b3 c2c3 0 3 线面距 面面距均可转化为点面距再用 2 中方法求解 基础自测 1 若直线l 平面 直线l的方向向量为s 平面 的法向量为n 则下列结论正确的是 a s 1 0 2 n 1 0 1 b s 1 0 1 n 1 2 1 c s 1 1 1 n 1 2 1 d s 1 1 1 n 2 2 2 解析 直线与平面平行 直线的方向向量和平面的法向量垂直 经检验只有选项c中s n 0 故选c c 2 2014平顶山一摸 若平面 的法向量分别为n1 2 3 5 n2 3 1 4 则 a b c 相交但不垂直 d 以上均不正确 c 解析 n1 n2 0且n1与n2不共线 故平面 相交但不垂直 c 4 在空间直角坐标系oxyz中 平面oab的一个法向量为n 2 2 1 已知点p 1 3 2 则点p到平面oab的距离d等于 a 4 b 2 c 3 d 1 b 考点突破剖典例找规律 利用向量证明平行 垂直 考点一 反思归纳 1 向量方法证明空间平行关系的基本途径是 线线平行 直线与直线平行 只要证明它们的方向向量平行 线面平行 a 用线面平行的判定定理 证明直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行 b 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 面面平行 平面与平面的平行 除了用面面平行的判定定理转化为线面平行外 只要证明两平面的法向量平行即可 2 向量方法证明空间垂直关系的基本途径是 线线垂直 直线与直线的垂直 只要证明两直线的方向向量垂直 线面垂直 a 用线面垂直的定义 证明直线的方向向量与平面内的任意一条直线的方向向量垂直 b 用线面垂直的判定定理 证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直 c 证明直线的方向向量与平面的法向量平行 面面垂直 平面与平面的垂直 除了用面面垂直的判定定理转化为线面垂直外 只要证明两平面的法向量垂直即可 考点二向量法求线线角 线面角 例2 如图 四面体abcd中 ab bc bd两两垂直 ab bc bd 4 e f分别为棱bc ad的中点 1 求异面直线ab与ef所成角的余弦值 2 求ef与平面acd所成角的正弦值 反思归纳 1 向量法求异面直线所成角时应注意利用方向向量的夹角来求异面直线的夹角时 注意 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时 那么这个锐角或直角就是该异面直线所成的角 当异面直线的方向向量的夹角为钝角时 那么这个钝角的补角才是异面直线所成的角 2 利用向量法求线面角的方法 分别求出斜线和它在平面内的射影所在直线的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 锐角或直角时 或其补角 钝角时 通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角 取其余角就是斜线与平面所成的角 利用向量求二面角 考点三 例3 2014高考广东卷 如图 四边形abcd为正方形 pd 平面abcd dpc 30 af pc于点f fe cd 交pd于点e 1 证明 cf 平面adf 2 求二面角d af e的余弦值 反思归纳利用向量法求二面角的方法 1 分别求出二面角的两个面所在平面的法向量 然后通过两个面的法向量的夹角得到二面角的大小 但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角 2 分别在二面角的两个面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量 则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 1 利用向量解决立体几何问题 多利用直线的方向向量和平面的法向量 准确求出直线的方向向量和平面的法向量是解决问题的前提 但在具体解题过程中应灵活处理 助学微博 规范答题得高分有依据 向量法求空间角 典例 12分 2014高考陕西卷 四面体abcd及其三视图如图所示 过棱ab的中点e作平行于ad bc的平面分别交四面体的棱bd dc ca于点f g h 1 证明 四边形efgh是矩形 2 求直线ab与平面efgh夹角 的正弦值 满分展示 1 证明 由该四面体的三视图可知 bd dc bd ad ad dc bd dc 2 ad 1 由题设 bc 平面efgh 平面efgh 平面bdc fg 平面efgh 平面abc eh bc fg bc eh 2分 fg eh 同理ef ad hg ad ef hg 四边形efgh是平行四边形 3分又 ad dc ad bd ad 平面bdc ad bc ef fg 5分 四边形efgh是矩形 6分 答题模板